Графики и формули, които ги определят. Функции и графики

1. Дробна линейна функция и нейната графика

Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.

Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационални числа. По същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно на два полинома.

Ако една дробна рационална функция е частното на две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция на формата

y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.

Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията функцията е постоянна). Линейната дробна функция е дефинирана за всички реални числа с изключение на x = -d/c. Графиките на дробни линейни функции не се различават по форма от графиката y = 1/x, която познавате. Извиква се крива, която е графика на функцията y = 1/x хипербола. При неограничено нарастване на x по абсолютна стойност, функцията y = 1/x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се доближават до абсцисата: десният се приближава отгоре, а левият отдолу. Правите, към които се приближават клоновете на хипербола, се наричат нейни асимптоти.

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy 7 пъти и изместване с 2 единични сегменти нагоре.

Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по подобен начин, като се подчертае „цялата част“. Следователно графиките на всички дробни линейни функции са хиперболи, изместени по различни начини по координатните оси и опънати по оста Oy.

За да се построи графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се трансформира дробта, определяща тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим правите линии, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцията не е дефинирана при x = -1. Това означава, че правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем до какво се приближават стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.

За да направите това, разделете числителя и знаменателя на дробта на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Когато x → ∞ дробта ще клони към 3/2. Това означава, че хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.

Пример 3.

Начертайте графика на функцията y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Нека изберем "цялата част" на фракцията:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване с 2 единични сегмента нагоре по оста Oy.

Област D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията нараства на всеки интервал от областта на дефиниране.

Отговор: Фигура 1.

2. Дробна рационална функция

Да разгледаме дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.

Примери за такива рационални функции:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцията y = P(x) / Q(x) представлява частното от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се конструира точно , с всички подробности. Често обаче е достатъчно да се използват техники, подобни на тези, които вече представихме по-горе.

Нека дробта е правилна дроб (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.

Построяване на графики на дробни рационални функции

Нека разгледаме няколко начина за конструиране на графики на дробна рационална функция.

Пример 4.

Начертайте графика на функцията y = 1/x 2 .

Решение.

Използваме графиката на функцията y = x 2, за да построим графика на y = 1/x 2 и използваме техниката на „разделяне“ на графиките.

Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).

Няма точки на пресичане с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.

Отговор: Фигура 2.

Пример 5.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Тук използвахме техниката на факторизация, редукция и редукция до линейна функция.

Отговор: Фигура 3.

Пример 6.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Областта на дефиниране е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо ординатата. Преди да изградим графика, нека трансформираме израза отново, като подчертаем цялата част:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Обърнете внимание, че изолирането на цялата част във формулата на дробна рационална функция е едно от основните при конструирането на графики.

Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. правата линия y = 1 е хоризонтална асимптота.

Отговор: Фигура 4.

Пример 7.

Нека разгледаме функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитаме да намерим точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно нашата крива не може да се „издигне“ много високо, т.к знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направим това, трябва да решим уравнението x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Това уравнение няма реални корени. Това означава, че нашето предположение е неправилно. За да намерите най-голямата стойност на функцията, трябва да разберете при какво най-голямо A ще има решение уравнението A = x/(x 2 + 1). Нека заменим първоначалното уравнение с квадратно: Ax 2 – x + A = 0. Това уравнение има решение, когато 1 – 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голямата стойност A = 1/2.

Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.

Все още имате въпроси? Не знаете как да чертаете функции?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Дължината на сегмента върху координатната ос се определя по формулата:

Дължината на сегмент в координатната равнина се намира по формулата:

За да намерите дължината на сегмент в триизмерна координатна система, използвайте следната формула:

Координатите на средата на сегмента (за координатната ос се използва само първата формула, за координатната равнина - първите две формули, за триизмерна координатна система - и трите формули) се изчисляват по формулите:

функция– това е съответствие на формуляра г= f(х) между променливи величини, поради което всяка разглеждана стойност на някаква променлива величина х(аргумент или независима променлива) съответства на определена стойност на друга променлива, г(зависима променлива, понякога тази стойност се нарича просто стойността на функцията). Имайте предвид, че функцията приема тази стойност на един аргумент хможе да съответства само една стойност на зависимата променлива при. Въпреки това, същата стойност приможе да се получи с различни х.

Функционален домейн– това са всички стойности на независимата променлива (аргумент на функцията, обикновено this х), за които е дефинирана функцията, т.е. значението му съществува. Посочена е зоната на дефиниция д(г). Като цяло вече сте запознати с тази концепция. Домейнът на дефиниране на функция иначе се нарича домейн на допустимите стойности или VA, които отдавна сте успели да намерите.

Функционален диапазонса всички възможни стойности на зависимата променлива на дадена функция. Определен д(при).

Функцията се увеличававърху интервала, в който по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията. Функцията намалявавърху интервала, в който на по-голяма стойност на аргумента съответства по-малка стойност на функцията.

Интервали на постоянен знак на функция- това са интервалите на независимата променлива, през които зависимата променлива запазва своя положителен или отрицателен знак.

Функционални нули– това са стойностите на аргумента, при които стойността на функцията е равна на нула. В тези точки графиката на функцията пресича абсцисната ос (ост OX). Много често необходимостта да се намерят нулите на функция означава необходимостта просто да се реши уравнението. Също така често необходимостта да се намерят интервали на постоянство на знака означава необходимостта просто да се реши неравенството.

функция г = f(х) са наречени дори х

Това означава, че за всякакви противоположни стойности на аргумента, стойностите на четната функция са равни. Графиката на четната функция винаги е симетрична по отношение на ординатната ос на операционния усилвател.

функция г = f(х) са наречени странно, ако е дефинирано на симетрично множество и за всяко хот областта на дефиницията важи равенството:

Това означава, че за всякакви противоположни стойности на аргумента, стойностите на нечетната функция също са противоположни. Графиката на нечетна функция винаги е симетрична спрямо началото.

Сумата от корените на четните и нечетните функции (пресечните точки на оста x OX) винаги е равна на нула, т.к. за всеки положителен корен хима отрицателен корен - х.

Важно е да се отбележи, че някои функции не трябва да бъдат четни или нечетни. Има много функции, които не са нито четни, нито нечетни. Такива функции се наричат общи функции, и за тях нито едно от дадените по-горе равенства или свойства не е изпълнено.

Линейна функцияе функция, която може да бъде дадена с формулата:

Графиката на линейна функция е права линия и в общия случай изглежда така (даден е пример за случая, когато к> 0, в този случай функцията е нарастваща; за случая к < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Графика на квадратична функция (парабола)

Графиката на парабола е дадена от квадратична функция:

Квадратната функция, както всяка друга функция, пресича оста OX в точките, които са нейните корени: ( х 1 ; 0) и ( х 2 ; 0). Ако няма корени, тогава квадратичната функция не пресича оста OX; ако има само един корен, тогава в тази точка ( х 0 ; 0) квадратичната функция само докосва оста OX, но не я пресича. Квадратната функция винаги пресича оста OY в точка с координати: (0; ° С). Графиката на квадратична функция (парабола) може да изглежда така (фигурата показва примери, които не изчерпват всички възможни видове параболи):

при което:

ако коеф а> 0, във функция г = брадва 2 + bx + ° С, тогава клоните на параболата са насочени нагоре;
ако а < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координатите на върха на парабола могат да бъдат изчислени с помощта на следните формули. X топове (стр- на снимките по-горе) параболи (или точката, в която квадратният трином достига своята най-голяма или най-малка стойност):

Игрек топове (р- на фигурите по-горе) параболи или максимум, ако клоновете на параболата са насочени надолу ( а < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (а> 0), стойността на квадратния трином:

Графики на други функции

Силова функция

Ето няколко примера за графики на степенни функции:

Обратно порпорционалене функция, дадена от формулата:

В зависимост от знака на числото кГрафиката на обратно пропорционалната зависимост може да има две основни опции:

Асимптотае линия, до която графиката на функция се доближава безкрайно много, но не се пресича. Асимптотите за графиките на обратната пропорционалност, показани на фигурата по-горе, са координатните оси, към които графиката на функцията се приближава безкрайно близо, но не ги пресича.

Експоненциална функцияс основа Ае функция, дадена от формулата:

аГрафиката на експоненциална функция може да има две основни опции (даваме и примери, вижте по-долу):

Логаритмична функцияе функция, дадена от формулата:

В зависимост от това дали числото е по-голямо или по-малко от едно аГрафиката на логаритмична функция може да има две основни опции:

Графика на функция г = |х| както следва:

Графики на периодични (тригонометрични) функции

функция при = f(х) е наречен периодичен, ако има такова различно от нула число T, Какво f(х + T) = f(х), за всеки хот областта на функцията f(х). Ако функцията f(х) е периодичен с период T, тогава функцията:

Където: А, к, bса постоянни числа и кне равна на нула, също периодична с период T 1, което се определя по формулата:

Повечето примери за периодични функции са тригонометричните функции. Представяме графики на основните тригонометрични функции. Следната фигура показва част от графиката на функцията г= грях х(цялата графика продължава неограничено наляво и надясно), графика на функцията г= грях хНаречен синусоида:

Графика на функция г=cos хНаречен косинус. Тази графика е показана на следващата фигура. Тъй като синусовата графика продължава безкрайно по оста OX наляво и надясно:

Графика на функция г= tg хНаречен тангентоид. Тази графика е показана на следващата фигура. Подобно на графиките на други периодични функции, тази графика се повтаря неограничено по оста OX наляво и надясно.

И накрая, графиката на функцията г=ctg хНаречен котангентоид. Тази графика е показана на следващата фигура. Подобно на графиките на други периодични и тригонометрични функции, тази графика се повтаря неограничено по оста OX наляво и надясно.

Научете всички формули и закони във физиката, както и формули и методи в математиката. Всъщност това също е много лесно да се направи; има само около 200 необходими формули във физиката и дори малко по-малко в математиката. Във всеки от тези предмети има около дузина стандартни методи за решаване на проблеми с основно ниво на сложност, които също могат да бъдат научени и по този начин напълно автоматично и без затруднения да се решават повечето от КТ в точното време. След това ще трябва да мислите само за най-трудните задачи.

Явете се и на трите етапа на репетиционното изпитване по физика и математика. Всеки RT може да бъде посетен два пъти, за да се вземе решение за двете опции. Отново, на CT, в допълнение към способността за бързо и ефективно решаване на проблеми и познаване на формули и методи, вие също трябва да можете правилно да планирате времето, да разпределяте силите и най-важното, правилно да попълвате формуляра за отговор, без объркване на номерата на отговорите и проблемите или собственото ви фамилно име. Освен това по време на RT е важно да свикнете със стила на задаване на въпроси в проблемите, което може да изглежда много необичайно за неподготвен човек в DT.

Успешното, усърдно и отговорно изпълнение на тези три точки ще ви позволи да покажете отличен резултат на CT, максимума от това, на което сте способни.

Намерихте грешка?

Ако смятате, че сте открили грешка в учебните материали, моля, пишете за това по имейл. Можете също да съобщите за грешка в социалната мрежа (). В писмото посочете предмета (физика или математика), името или номера на темата или теста, номера на задачата или мястото в текста (страницата), където според вас има грешка. Също така опишете каква е предполагаемата грешка. Писмото ви няма да остане незабелязано, грешката или ще бъде коригирана, или ще ви бъде обяснено защо не е грешка.

Функционалната графика е визуално представяне на поведението на функция в координатна равнина. Графиките ви помагат да разберете различни аспекти на функция, които не могат да бъдат определени от самата функция. Можете да изградите графики на много функции и на всяка от тях ще бъде дадена специфична формула. Графиката на всяка функция се изгражда с помощта на специфичен алгоритъм (ако сте забравили точния процес на графиране на конкретна функция).

стъпки

Графика на линейна функция

Определете дали функцията е линейна.Линейната функция е дадена с формула на формата F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)или y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(например ), а графиката му е права линия. Така формулата включва една променлива и една константа (константа) без експоненти, знаци за корен или други подобни. Ако е дадена функция от подобен тип, е много лесно да се начертае графика на такава функция. Ето други примери за линейни функции:

Използвайте константа, за да маркирате точка на оста Y.Константата (b) е „y” координатата на точката, където графиката пресича оста Y. Това е точка, чиято „x” координата е равна на 0. Така, ако x = 0 се замества във формулата. , тогава y = b (константа). В нашия пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константата е равна на 5, т.е. точката на пресичане с оста Y има координати (0,5). Начертайте тази точка върху координатната равнина.

Намерете наклона на линията.То е равно на множителя на променливата. В нашия пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)с променливата “x” има коефициент 2; по този начин коефициентът на наклона е равен на 2. Коефициентът на наклона определя ъгъла на наклона на правата линия спрямо оста X, т.е. колкото по-голям е коефициентът на наклона, толкова по-бързо се увеличава или намалява функцията.

Запишете наклона като дроб.Ъгловият коефициент е равен на тангенса на ъгъла на наклон, т.е. съотношението на вертикалното разстояние (между две точки на права линия) към хоризонталното разстояние (между същите точки). В нашия пример наклонът е 2, така че можем да заявим, че вертикалното разстояние е 2, а хоризонталното разстояние е 1. Запишете това като дроб: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Ако наклонът е отрицателен, функцията е намаляваща.

От точката, където правата линия пресича оста Y, начертайте втора точка, като използвате вертикални и хоризонтални разстояния. Една линейна функция може да бъде начертана като графика с помощта на две точки. В нашия пример пресечната точка с оста Y има координати (0,5); От тази точка преместете 2 интервала нагоре и след това 1 интервал надясно. Маркирайте точка; ще има координати (1,7). Сега можете да нарисувате права линия.

С помощта на линийка начертайте права линия през две точки.За да избегнете грешки, намерете третата точка, но в повечето случаи графиката може да се начертае с помощта на две точки. Така сте начертали линейна функция.

Нанасяне на точки върху координатната равнина

Дефинирайте функция.Функцията се означава като f(x). Всички възможни стойности на променливата "y" се наричат домейн на функцията, а всички възможни стойности на променливата "x" се наричат домейн на функцията. Например, разгледайте функцията y = x+2, а именно f(x) = x+2.

Начертайте две пресичащи се перпендикулярни линии.Хоризонталната линия е оста X, вертикалната линия е оста Y.

Маркирайте координатните оси.Разделете всяка ос на равни сегменти и ги номерирайте. Пресечната точка на осите е 0. За оста X: положителните числа се нанасят отдясно (от 0), а отрицателните числа отляво. За оста Y: положителните числа се нанасят отгоре (от 0), а отрицателните числа отдолу.

Намерете стойностите на "y" от стойностите на "x".В нашия пример f(x) = x+2. Заменете конкретни стойности на x в тази формула, за да изчислите съответните стойности на y. Ако е дадена сложна функция, опростете я, като изолирате „y“ от едната страна на уравнението.

-1: -1 + 2 = 1
0: 0 +2 = 2
1: 1 + 2 = 3

Нанесете точките върху координатната равнина.За всяка двойка координати направете следното: намерете съответната стойност по оста X и начертайте вертикална линия (пунктирана); намерете съответната стойност на оста Y и начертайте хоризонтална линия (пунктирана линия). Маркирайте пресечната точка на двете пунктирани линии; по този начин сте начертали точка на графиката.

Изтрийте пунктираните линии.Направете това, след като нанесете всички точки от графиката върху координатната равнина. Забележка: графиката на функцията f(x) = x е права, минаваща през координатния център [точка с координати (0,0)]; графиката f(x) = x + 2 е права, успоредна на правата f(x) = x, но изместена нагоре с две единици и следователно минаваща през точката с координати (0,2) (тъй като константата е 2) .

Графика на сложна функция

Намерете нулите на функцията.Нулите на функцията са стойностите на променливата x, където y = 0, т.е. това са точките, в които графиката пресича оста X. Имайте предвид, че не всички функции имат нули, но те са първите стъпка в процеса на изобразяване на графики на всяка функция. За да намерите нулите на функция, приравнете я на нула. Например:

Намерете и маркирайте хоризонталните асимптоти.Асимптотата е линия, която графиката на функцията се доближава, но никога не пресича (т.е. в тази област функцията не е дефинирана, например при деление на 0). Маркирайте асимптотата с пунктирана линия. Ако променливата "x" е в знаменателя на дроб (напр. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), задайте знаменателя на нула и намерете „x“. В получените стойности на променливата "x" функцията не е дефинирана (в нашия пример начертайте пунктирани линии през x = 2 и x = -2), тъй като не можете да разделите на 0. Но асимптоти съществуват не само в случаите, когато функцията съдържа дробен израз. Затова се препоръчва да използвате здрав разум:

Намерете координатите на няколко точки и ги нанесете върху координатната равнина.Просто изберете няколко x стойности и ги включете във функцията, за да намерите съответните y стойности. След това начертайте точките върху координатната равнина. Колкото по-сложна е функцията, толкова повече точки трябва да намерите и начертаете. В повечето случаи заместете x = -1; х = 0; x = 1, но ако функцията е комплексна, намерете три точки от всяка страна на началото.
- В случай на функция y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6)поставете следните x стойности: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Ще получите достатъчен брой точки.
- Изберете вашите x стойности разумно. В нашия пример е лесно да се разбере, че отрицателният знак няма значение: стойността на „y“ при x = 10 и при x = -10 ще бъде една и съща.
Ако не знаете какво да правите, започнете с включване на различни x стойности във функцията, за да намерите y стойностите (и следователно координатите на точките). Теоретично, графика на функция може да бъде конструирана само с помощта на този метод (ако, разбира се, се замести безкрайно разнообразие от стойности „x“).

Национален изследователски университет

Катедра Приложна геология

Реферат по висша математика

По темата: „Основни елементарни функции,

техните свойства и графики"

Завършено:

Проверено:

учител

Определение. Функцията, дадена с формулата y=a x (където a>0, a≠1) се нарича експоненциална функция с основа a.

Нека формулираме основните свойства на експоненциалната функция:

1. Областта на дефиниция е множеството (R) от всички реални числа.

2. Диапазон - множеството (R+) от всички положителни реални числа.

3. При a > 1 функцията нараства по цялата числова ос; на 0<а<1 функция убывает.

4. Е функция от общ вид.

, на интервала xО [-3;3]

Функция от вида y(x)=x n, където n е числото ОR, се нарича степенна функция. Числото n може да приема различни стойности: както цели, така и дробни, както четни, така и нечетни. В зависимост от това степенната функция ще има различна форма. Нека разгледаме специални случаи, които са степенни функции и отразяват основните свойства на този тип крива в следния ред: степенна функция y=x² (функция с четен показател - парабола), степенна функция y=x³ (функция с нечетен показател - кубична парабола) и функция y=√x (x на степен ½) (функция с дробна степен), функция с отрицателна цяло число (хипербола).

Силова функция y=x²

1. D(x)=R – функцията е дефинирана по цялата числова ос;

2. E(y)= и расте на интервала

Силова функция y=x³

1. Графиката на функцията y=x³ се нарича кубична парабола. Степенната функция y=x³ има следните свойства:

2. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;

3. E(y)=(-∞;∞) – функцията приема всички стойности в своята област на дефиниране;

4. Когато x=0 y=0 – функцията преминава през началото на координати O(0;0).

5. Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

6. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото).

, на интервала xО [-3;3]

В зависимост от числения фактор пред x³, функцията може да бъде стръмна/плоска и нарастваща/намаляваща.

Степенна функция с цяло отрицателно число:

Ако показателят n е нечетен, тогава графиката на такава степенна функция се нарича хипербола. Степенна функция с цяло число отрицателен показател има следните свойства:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) за всяко n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ако n е нечетно число; E(y)=(0;∞), ако n е четно число;

3. Функцията намалява по цялата област на дефиниция, ако n е нечетно число; функцията расте в интервала (-∞;0) и намалява в интервала (0;∞), ако n е четно число.

4. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото), ако n е нечетно число; функцията е четна, ако n е четно число.

5. Функцията преминава през точките (1;1) и (-1;-1), ако n е нечетно число и през точките (1;1) и (-1;1), ако n е четно число.

, на интервала xО [-3;3]

Степенна функция с дробен показател

Степенна функция с дробен показател (картинка) има графика на функцията, показана на фигурата. Степенна функция с дробен показател има следните свойства: (картинка)

1. D(x) ОR, ако n е нечетно число и D(x)=
, на интервала xО
, на интервала xО [-3;3]

Логаритмичната функция y = log a x има следните свойства:

1. Област на дефиниция D(x)О (0; + ∞).

2. Диапазон от стойности E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Функцията не е нито четна, нито нечетна (от общ вид).

4. Функцията нараства на интервала (0; + ∞) за a > 1, намалява на (0; + ∞) за 0< а < 1.

Графиката на функцията y = log a x може да се получи от графиката на функцията y = a x с помощта на трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x. Фигура 9 показва графика на логаритмичната функция за a > 1, а фигура 10 за 0< a < 1.