長方形の方程式。 矩形

式の剰余項の推定： , また .

サービスの割り当て。 このサービスは、長方形の公式を使用して定積分をオンラインで計算することを目的としています。

命令。 被積分関数f（x）を入力し、[解決]をクリックします。 結果のソリューションはWordファイルに保存されます。 ソリューションテンプレートもExcelで作成されます。 以下はビデオによる説明です。

関数エントリルール

例
≡x^2/（1 + x）
cos 2（2x +π）≡（cos（2 * x + pi））^ 2
≡x+（x-1）^（2/3）これは、関数の1つの値を使用する、積分を計算するための最も単純な求積式です。
(1)
どこ ; h = x 1-x0。
式（1）は、長方形の中心的な式です。 余りを計算してみましょう。 点ε0での関数y=f（x）をテイラー級数に展開してみましょう。
(2)
ここで、ε1; x∈。 （2）を統合します：
(3)

第2項では、被積分関数は奇数であり、積分の限界は点ε0に関して対称です。 したがって、2番目の積分はゼロに等しくなります。 したがって、（3）から次のようになります。 .
被積分関数の2番目の因子は符号を変えないので、平均値の定理によって次のようになります。 、 どこ 。 統合後、 . (4)
台形公式の剰余項と比較すると、長方形の公式の誤差は台形公式の誤差の2分の1であることがわかります。 この結果は、長方形の式で中点の関数の値をとる場合に当てはまります。
長方形の公式と区間の剰余項を取得します。 グリッドxi= a + ih、i = 0,1、...、n、h = x i + 1-xiが与えられるとします。 グリッドεi=ε0+ih、i = 1,2、..、n、ε0= a-h/2を考えます。 それで . (5)
残余期間 .
幾何学的には、長方形の式は次の図で表すことができます。

関数f（x）がテーブルで指定されている場合、長方形の左辺の式のいずれかが使用されます（均一なグリッドの場合）

または長方形の右辺の式

.
これらの式の誤差は、一次導関数によって推定されます。 間隔については、エラーは

; .
統合後、を取得します。

例。 n=5の積分を計算します。
a）台形公式による。
b）長方形の公式による。
c）シンプソンの公式による。
d）ガウスの公式による。
e）チェビシェフの公式による。
エラーを計算します。
決断。 5つの統合ノードの場合、グリッドステップは0.125になります。
解くときは、関数値のテーブルを使用します。 ここでf（x）= 1/xです。

	バツ		f（x）
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

a）台形公式：
I = h/2×;
I =（0.125 / 2）×= 0.696;
R = [-（b-a）/ 12]×h×y¢¢（x）;
f¢¢（x）= 2 /（x3）。
区間での関数の2階導関数の最大値は16です：max（f¢¢（x））、xн= 2 /（0.5 3）= 16、したがって
R = [-（1-0.5）/12]×0.125×16=- 0.0833;
b）長方形の公式：
左の式の場合I=h×（y0 + y1 + y2 + y3）;
I = 0.125×（2 + 1.6 + 1.33 + 1.14）= 0.759;
R = [（b-a）/ 6]×h2×y¢¢（x）;
R = [（1-0.5）/6]×0.1252×16= 0.02;
c）シンプソンの公式：
I =（2h / 6）×（y0 + y4 + 4×（y1 + y3）+ 2×y2）;
I =（2×0.125）/ 6×（2 + 1 + 4×（1.6 + 1.14）+ 2×1.33）= 0.693;
R = [-（b-a）/ 180]×h4×y（4）（x）;
f（4）（x）= 24 /（x5）= 768;
R = [-（1-0.5）/ 180]×（0.125）4×768 = - 5.2 e-4;
d）ガウス式：
I =（b-a）/2×;
x i =（b + a）/ 2 + t i（b-a）/ 2
（A i、t i-テーブル値）。

				t（n = 5）		A（n = 5）
x1	0.9765	y1	1.02	t1	0.90617985	A 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t2	0.53846931	A2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t3	0	A 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t4	-0.53846931	A4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t5	-0.90617985	A5	0.23692688

I =（1-0.5）/ 2×（0.2416 + 0.5408 + 0.7566 + 0.7777 + 0.4525）= 0.6923;
e）チェビシェフの公式：
I = [（b-a）/n]×Sf（x i）、i = 1..n、
x i =（b + a）/ 2 + [t i（b-a）]/2-積分区間を区間[-1;1]に短縮する必要があります。
n=5の場合

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

これらのポイントでx値と関数値を見つけましょう：

x1	0,958	f（x1）	1,043
x2	0,844	f（x2）	1,185
x3	0,75	f（x3）	1,333
x4	0,656	f（x4）	1,524
x5	0,542	f（x5）	1,845

関数値の合計は6.927です。
I =（1-0.5）/5×6.927=0.6927。

矩形は四辺形で、すべての角が直角です。

証拠

この特性は、平行四辺形の特徴3の作用によって説明されます（つまり、\ angle A = \ angle C、\ angle B = \ angle D）

2.反対側は等しい。

AB = CD、\ enspace BC = AD

3.反対側は平行です。

AB \ parallel CD、\ enspace BC \ parallel AD

4.隣接する側面は互いに垂直です。

AB \ perp BC、\ enspace BC \ perp CD、\ enspace CD \ perp AD、\ enspace AD \ perp AB

5.長方形の対角線は同じです。

AC = BD

証拠

によると プロパティ1長方形は平行四辺形で、AB=CDを意味します。

したがって、2本の脚に沿った\ Triangle ABD = \ Triangle DCA（AB = CDおよびAD-ジョイント）。

ABCとDCAの両方の数値が同一である場合、それらの斜辺BDとACも同一です。

したがって、AC=BDです。

すべての図の長方形のみ（平行四辺形からのみ！）対角線は同じです。

これも証明しましょう。

ABCDは、条件による平行四辺形\ Rightarrow AB = CD、AC=BDです。 \ Rightarrow \ Triangle ABD = \ Triangle DCAすでに3つの側面にあります。

\ angle A = \ angle D（平行四辺形の角のように）であることがわかります。 そして、\ angle A = \ angle C、\ angle B = \angleD。

私たちはそれを推測します \ angle A = \ angle B = \ angle C = \ angle D。 それらはすべて90^（\ circ）です。 合計は360^（\ circ）です。

証明済み！

6.正方形の対角線 合計に等しいその2つの隣接する辺の正方形。

このプロパティは、ピタゴラスの定理によって有効です。

AC ^ 2 = AD ^ 2 + CD ^ 2

7.対角線は、長方形を2つの同一の直角三角形に分割します。

\ Triangle ABC = \ Triangle ACD、\ enspace \ Triangle ABD = \ Triangle BCD

8.対角線の交点はそれらを二等分します。

AO = BO = CO = DO

9.対角線の交点は、長方形と外接円の中心です。

10.すべての角度の合計は360度です。

\ angle ABC + \ angle BCD + \ angle CDA + \ angle DAB = 360 ^（\ circ）

11.長方形のすべての角が正しいです。

\ angle ABC = \ angle BCD = \ angle CDA = \ angle DAB = 90 ^（\ circ）

12.長方形の外接円の直径は、長方形の対角線に等しくなります。

13.円は、常に長方形の周りに記述できます。

このプロパティは、長方形の反対側の角の合計が180 ^（\ circ）であるため有効です。

\ angle ABC = \ angle CDA = 180 ^（\ circ）、\ enspace \ angle BCD = \ angle DAB = 180 ^（\ circ）

14.長方形には、内接円を含めることができますが、同じ辺の長さ（正方形）の場合は1つだけにすることができます。

一般に 左長方形の式セグメント上 次のように (21) :

この式では バツ 0 = a、x n = b、一般的に積分は次のようになります:(式を参照してください 18 ).

hは次の式を使用して計算できます 19 .

y 0 、y 1 、...、y n-1 バツ 0 、 バツ 1 、...、バツ n-1 (バツ 私 = x i-1 + h).

右の長方形の式。

一般に 右長方形の式セグメント上 次のように (22) :

この式では バツ 0 = a、x n = b（左の長方形の式を参照してください）。

hは、左の長方形の式と同じ式を使用して計算できます。

y 1 、y 2 、...、y n点での対応する関数f（x）の値です バツ 1 、 バツ 2 、...、バツ n (バツ 私 = x i-1 + h).

ミディアムレクタングルフォーミュラ。

一般に 真ん中の長方形の式セグメント上 次のように (23) :

どこ バツ 私 = x i-1 + h.

この式では、前の式と同様に、関数f（x）の値の合計を乗算する必要がありますが、対応する値を代入するだけではありません バツ 0 、バツ 1 、...、バツ n-1関数f（x）に追加し、これらの各値に追加します h / 2（x 0 + h / 2、x 1 + h / 2、。。。、x n-1 + h / 2）そしてそれらを与えられた関数に代入するだけです。

hは、左の長方形の式と同じ式を使用して計算できます。 "[ 6 ]

実際には、これらのメソッドは次のように実装されます。

Mathcad ;

優れている .

Mathcad ;

優れている .

Excelで平均長方形の式を使用して積分を計算するには、次の手順を実行する必要があります。

左右の長方形の式を使用して積分を計算するときと同じドキュメントで作業を続けます。

セルE6にテキストxi+h / 2を入力し、セルF6にf（xi + h / 2）を入力します。

セルE7に数式=B7+ $ B $ 4/2を入力し、セルE8：E16の範囲にドラッグしてこの数式をコピーします

セルF7に数式=ROOT（E7 ^ 4-E7 ^ 3 + 8）を入力し、セルF8：F16の範囲にプルしてこの数式をコピーします

セルF18に数式=SUM（F7：F16）を入力します。

セルF19に数式=B4*F18を入力します。

セルF20に平均のテキストを入力します。

その結果、次のようになります。

回答：与えられた積分の値は13.40797です。

得られた結果に基づいて、中央の長方形の式は、左右の長方形の式よりも正確であると結論付けることができます。

1.モンテカルロ法

「モンテカルロ法の主なアイデアは、ランダムテストを繰り返し繰り返すことです。モンテカルロ法の特徴は、ランダムな数値（いくつかの数値）を使用することです。 確率変数）。 このような数値は、乱数ジェネレーターを使用して取得できます。 たとえば、TurboPascalプログラミング言語には標準機能があります ランダム、その値は区間に一様分布する乱数です 。 言われていることは、指定されたセグメントが特定の数の等間隔に分割され、ランダム関数の値が計算される場合を意味します 大きな数の場合、ほぼ同じ数のランダムな数が各間隔に分類されます。 流域プログラミング言語では、同様のセンサーがrnd関数です。 スプレッドシートMSExcelでは、関数 ランド 0以上1未満の均一に分散された乱数を返します（再計算すると変化します） "[ 7 ].

それを計算するには、次の式を使用する必要があります () :

ここで、（i = 1、2、…、n）は区間内にあるランダムな数です .

区間に均一に分布したランダムな数xiのシーケンスに基づいてこのような数を取得するには、変換x i = a +（b-a）xiを実行するだけで十分です。

実際には、このメソッドは次のように実装されます。

Excelでモンテカルロ法によって積分を計算するには、次の手順を実行する必要があります。

セルB1に、テキストn=を入力します。

セルB2に、テキストa=を入力します。

セルB3に、テキストb=を入力します。

セルC1に数値10を入力します。

セルC2に数値0を入力します。

セルC3に、数値3.2を入力します。

セルA5に、I、B5-xi、C5-f（xi）と入力します。

セルA6：A15は、n = 10であるため、数値1、2、3、...、10で埋められます。

セルB6に数式=RAND（）* 3.2を入力し（数値は0から3.2の範囲で生成されます）、セルB7：B15の範囲にプルしてこの数式をコピーします。

数式=ROOT（B6 ^ 4-B6 ^ 3 + 8）をセルC6に入力し、この数式をセルC7：C15の範囲にドラッグしてコピーします。

セルB16に「sum」、B17に「（b-a）/ n」、B18に「I=」というテキストを入力します。

セルC16に数式=SUM（C6：C15）を入力します。

セルC17に数式=（C3-C2）/C1を入力します。

セルC18に数式=C16*C17を入力します。

その結果、次のようになります。

回答：与えられた積分の値は13.12416です。

意味。

矩形これは、2つの反対側が等しく、4つの角度すべてが等しい四辺形です。

長方形は、長辺と短辺の比率だけが異なりますが、四隅すべてが正しい、つまりそれぞれ90度です。

長方形の長辺はと呼ばれます 長方形の長さ、および短い 長方形の幅.

長方形の辺もその高さです。

長方形の基本的なプロパティ

長方形は、平行四辺形、正方形、またはひし形にすることができます。

1.長方形の反対側の長さは同じです。つまり、次のようになります。

AB = CD、BC = AD

2.長方形の反対側は平行です：

3.長方形の隣接する辺は、常に垂直です。

AB┴BC、BC┴CD、CD┴AD、AD┴AB

4.長方形の4つの角はすべてまっすぐです。

∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°

5.長方形の角度の合計は360度です。

∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°

6.長方形の対角線の長さは同じです。

7.長方形の対角線の二乗の合計は、辺の二乗の合計に等しくなります。

2d2 = 2a2 + 2b2

8.長方形の各対角線は、長方形を2つの同一の図形、つまり直角三角形に分割します。

9.長方形の対角線は交差し、交差点で半分に分割されます。

		AO = BO = CO = DO =	d
			2

10.対角線の交点は長方形の中心と呼ばれ、外接円の中心でもあります。

11.長方形の対角線は、外接円の直径です。

12.反対の角度の合計は180度であるため、円は常に長方形の周りに記述できます。

∠ABC=∠CDA=180°∠BCD=∠DAB=180°

13.反対側の合計が互いに等しくないため、長さがその幅と等しくない長方形に円を刻印することはできません（円は、長方形の特殊なケースである正方形にのみ刻印できます）。

長方形の辺

意味。

長方形の長さその辺の長い方のペアの長さを呼び出します。 長方形の幅その辺の短い方のペアの長さに名前を付けます。

長方形の辺の長さを決定するための式

1.対角線と反対側の観点から見た長方形の辺（長方形の長さと幅）の式：

a=√ d 2-b 2

b=√ d 2-a 2

2.面積と反対側の観点から見た、長方形の辺（長方形の長さと幅）の式：

b = dcos	β
	2

長方形の対角線

意味。

対角長方形長方形の反対側の角の2つの頂点を接続するセグメントはすべて呼び出されます。

長方形の対角線の長さを決定するための式

1.長方形の2つの辺に関する長方形の対角線の式（ピタゴラスの定理による）：

d=√ a 2 + b 2

2.面積と任意の辺に関する長方形の対角線の式：

4.外接円の半径に関する長方形の対角線の式：

d = 2R

5.外接円の直径に関する長方形の対角線の式：

d = D o

6.対角線に隣接する角度の正弦と、この角度の反対側の辺の長さに関する長方形の対角線の式：

8.対角線と長方形の面積との間の鋭角の正弦に関する長方形の対角線の式

d =√2S： sinβ

長方形の周囲

意味。

長方形の周囲長方形のすべての辺の長さの合計です。

長方形の周囲の長さを決定するための式

1.長方形の2つの辺に関する長方形の周囲の式：

P = 2a + 2b

P = 2（a + b）

2.面積と任意の辺に関する長方形の周囲の式：

P =	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3.対角線と任意の辺に関する長方形の周囲の式：

P = 2（a+√ d 2-a 2）= 2（b+√ d 2-b 2)

4.外接円と任意の辺の半径に関する長方形の周囲の式：

P = 2（a+√4R2- a 2）= 2（b+√4R2- b 2)

5.外接円と任意の辺の直径に関する長方形の周囲の式：

P = 2（a+√Do2- a 2）= 2（b+√Do2- b 2)

長方形エリア

意味。

長方形エリア長方形の辺で囲まれたスペース、つまり長方形の周囲内のスペースと呼ばれます。

長方形の面積を決定するための式

1.2辺の長方形の面積の式：

S = a b

2.周囲と任意の辺を通る長方形の面積の式：

5.外接円と任意の辺の半径に関する長方形の面積の式：

S=a√4R2- a 2=b√4R2- b 2

6.外接円と任意の辺の直径に関する長方形の面積の式：

S\u003da√Do2- a 2=b√Do2- b 2

長方形に外接する円

意味。

長方形に外接する円円は、長方形の4つの頂点を通過する円と呼ばれ、その中心は長方形の対角線の交点にあります。

長方形に外接する円の半径を決定するための式

1.2つの辺を通る長方形の周りに外接する円の半径の式：

数学の基本的な概念の1つは、長方形の周囲長です。 このトピックには多くの問題があり、その解決策は周長式とそれを計算するスキルなしでは実行できません。

基本概念

長方形は、すべての角度が右で反対側がペアワイズで等しく平行である四辺形です。 私たちの生活では、テーブルの表面やノートなど、多くの図形が長方形の形をしています。

例を考えてみましょう。土地の境界に沿って柵を設置する必要があります。 それぞれの辺の長さを知るために、あなたはそれらを測定する必要があります。

米。 1。 土地区画長方形の形。

土地区画には、2 m、4 m、2 m、4 mの長さの側面があります。したがって、柵の全長を調べるには、すべての側面の長さを追加する必要があります。

2 + 2 + 4 + 4 = 2 2 + 4 2 =（2 + 4）2 = 12 m

一般に周囲長と呼ばれるのはこの値です。 したがって、周囲を見つけるには、図のすべての辺を追加する必要があります。 文字Pは、周囲を示すために使用されます。

長方形の図形の周囲長を計算するために、長方形に分割する必要はありません。定規（巻尺）でこの図形のすべての辺を測定し、それらの合計を見つける必要があります。

長方形の周囲長は、mm、cm、m、kmなどで測定されます。 必要に応じて、タスクのデータは同じ測定システムに変換されます。

長方形の周囲長は、mm、cm、m、kmなどのさまざまな単位で測定されます。 必要に応じて、タスクのデータは1つの測定システムに変換されます。

形状周長式

長方形の反対側が等しいという事実を考慮に入れると、長方形の周囲の式を導き出すことができます。

$ P =（a + b）* 2 $、ここでa、bは図の側面です。

米。 2.長方形、反対側がマークされています。

周囲を見つける別の方法があります。 タスクが片側だけに与えられ、\ u200b \ u200bの領域が図の場合、領域を通して反対側を表現するために使用できます。 次に、式は次のようになります。

$ P =（（2S + 2a2）\ over（a））$、ここでSは長方形の面積です。

米。 3.辺がa、bの長方形。

エクササイズ ：長方形の辺が4cmと6cmの場合、長方形の周囲長を計算します。

決断：

式$P=（a + b）*2$を使用します

$ P =（4 + 6）* 2 = 20 cm $

したがって、図の周囲長は$ P = 20cm$です。

周囲長は図形のすべての辺の合計であるため、半周長は1つの長さと幅のみの合計です。 半周長に2を掛けて、周長を求めます。

面積と周囲長は、任意の図形を測定するための2つの基本的な概念です。 それらは関連していますが、混同しないでください。 面積を増減すると、それに応じて周囲が増減します。

私たちは何を学びましたか？

長方形の周囲を見つける方法を学びました。 また、その計算式にも精通しました。 このトピックは、数学の問題を解くときだけでなく、実際の生活でも遭遇する可能性があります。

トピッククイズ

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