Многогранник
Многогранник - это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Многогранник называется выпуклым
Многогранник называется выпуклым ,если он расположен по одну сторону каждого плоского многоугольника на его поверхности.
Евклид (предположительно 330- 277 до н.э.) – математик Александрийской школы Древней Греции,автор первого дошедшего до нас трактата по математике «Начала» (в 15 книгах)
боковыми гранями .
Призма-многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники Ф и Ф1, лежащие в параллельных плоскостях, называют основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями .
Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от числа вершин основания.
Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой ; если боковое ребро призмы не перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной . У прямой призмы боковые грани - прямоугольники.
Основания призмы равны.
Основания призмы равны.
У призмы основания лежат в параллельных плоскостях.
У призмы боковые ребра параллельны и равны.
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.
Оказывается,что призма может быть не только геометрическим телом,но и художественным шедевром.Именно призма стала основой картин Пикассо,Брака,Грисса и т.д.
Оказывается,что снежинка может принять форму шестигранной призмы,но это будет зависеть от температуры воздуха.
В III веке до н. э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днём- столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.
Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. На его строительство ушло 20 лет, а завершён он был около 280 года до н.э.
В XIV веке маяк был уничтожен землетрясением. Его обломки использовали при строительстве военного форта. Форт не раз перестраивался и до сих пор стоит на месте первого в мире маяка.
Мавсол был правителем Карий. Столицей области был Галикарнас. Мавсол женился на своей сестре Артемизии. Он решил построить гробницу для себя и своей царицы. Мавсол мечтал о величественном памятнике, который бы напоминал миру о его богатстве и могуществе. Он умер до окончания работ над гробницей. Руководить строительством продолжила Артемизия. Гробница была построена в 350 году до н. э. Она была названа Мавзолеем по имени царя.
Пепел царственной четы хранился в золотых урнах в усыпальнице в основании здания. Ряд каменных львов сторожил это помещение. Само сооружение напоминало греческий храм, окружённый колоннами и статуями. На вершине здания находилась ступенчатая пирамида. На высоте 43 м над землёй её венчало скульптурное изображение колесницы, запряжённой лошадьми. На ней, вероятно, стояли статуи царя и царицы.
Спустя восемнадцать столетий землетрясение разрушило Мавзолей до основания. Ещё триста лет прошло, прежде чем археологи приступили к раскопкам. В 1857 году все находки были перевезены в Британский музей в Лондоне. Теперь на месте, где когда-то был Мавзолей, осталась лишь горстка камней.
кристаллы .
Существуют не только геометрические формы,созданные руками человека.Их много и в самой природе.Воздействие на облик земной поверхности таких природных факторов,как ветер,вода,солнечный свет,весьма стихийно и носит беспорядочный характер.Однако песчаные дюны,галька на морском берегу,кратер потухшего вулкана имеют,как правило,геометрически правильные формы.В земле иногда находят камни такой формы,как будто их кто-то тщательно выпиливал,шлифовал,полировал.Это - кристаллы .
параллелепипедом .
Если основание призмы есть параллелограмм,то он называется параллелепипедом .
Моделями прямоугольного параллелепипеда служат:
классная комната
Оказывается,что кристаллы кальцита,сколько их не дроби на более мелкие части,всегда распадаются на осколки,имеющие форму параллелепипеда.
Городские здания чаще всего имеют форму многогранников.Как правило,это обычные параллелепипеды.И лишь неожиданные архитектурные решения украшают города.
1.Является ли призма правильной, если её ребра равны?
а)да; в) нет. Обоснуйте свой ответ.
2.Высота правильной треугольной призмы равна 6 см. Сторона основания равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности этой призмы.
3. Площади двух боковых граней наклонной треугольной призмы равны 40 и 30 см2. Угол между этими гранями прямой. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
4. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведены сечения A1BC и CB1D1. В каком отношении эти плоскости делят диагональ AC1.
1) тетраэдр, имеющий 4 грани, 4 вершины, 6 ребер;
2) куб - 6 граней, 8 вершин, 12 ребер;
3) октаэдр - 8 граней, 6 вершин, 12 ребер;
4) додекаэдр - 12 граней, 20 вершин, 30 ребер;
5) икосаэдр - 20 граней, 12 вершин, 30 ребер.
Фалеса Милетского , основателя ионийской Пифагора Самосского
Ученые и философы Древней Греции восприняли и переработали достижения культуры и науки Древнего Востока. Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс и др. ездили в Египет и Вавилон для изучения музыки, математики и астрономии. Не случайно зачатки греческой геометрической науки связаны с именем Фалеса Милетского , основателя ионийской школы. Ионийцы, населявшие территорию, которая граничила с восточными странами, первыми заимствовали знания Востока и стали их развивать. Ученые ионийской школы впервые подвергли логической обработке и систематизировали математические сведения, позаимствованные у древневосточных народов, в особенности у вавилонян. Фалесу, главе этой школы, Прокл и другие историки приписывают немало геометрических открытий. Об отношении Пифагора Самосского к геометрии Прокл пишет в своем комментарии к "Началам" Евклида следующее: "Он изучал эту науку (т. е. геометрию), исходя от первых ее оснований, и старался получать теоремы при помощи чисто логического мышления". Прокл приписывает Пифагору, кроме известной теоремы о квадрате гипотенузы, еще построение пяти правильных многогранников:
Тела Платона
Тела Платона -это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Октаэдр (рис.3).
Октаэдр -восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.3).
Додекаэдр -двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников. (рис.4).
Икосаэдр -двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.5).
Достоверных сведений о жизни и научной деятельности Пифагора не сохранилось. Ему приписывается создание учения о подобии фигур. Он, вероятно, был среди первых ученых, рассматривавших геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а как абстрактную логическую науку.
Грани додекаэдра являются правильными пятиугольниками. Диагонали же правильного пятиугольника образуют так называемый звездчатый пятиугольник - фигуру, которая служила эмблемой, опознавательным знаком для учеников Пифагора. Известно, что пифагорейский союз был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживавшим за ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома звездчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся у хозяина и щедро его вознаградил.
В школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин, т. е. таких, отношение между которыми невозможно выразить никаким целым или дробным числом. Примером может служить отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны, равное Ц2. Число это не является рациональным (т. е. целым или отношением двух целых чисел) и называется иррациональным, т.е. нерациональным (от латинского ratio - отношение).
Тетраэдр (рис.1).
Тетраэдр -четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. (рис.1).
Куб или правильный гексаэдр (рис.2).
Тетраэдр -четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. (рис.1).
Тетраэдр -четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. (рис.1).
Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.2).
Пирамида
Пирамида -многогранник, который состоит из плоского многоугольника- основание пирамиды, точки, не лежащие в плоскости основания-вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания
Определение . Пирамида, основание которой - правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр, называется правильной.
На рисунке изображена правильная шестиугольная пирамида.
На рисунке изображены пятиугольная пирамида SABCDE и ее развертка. Треугольники, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями пирамиды; общую вершину боковых граней - вершиной пирамиды; многоугольник, которому не принадлежит эта вершина,- основанием пирамиды; ребра пирамиды, сходящиеся в ее вершине,- боковыми ребрами пирамиды. Высота пирамиды - это отрезок перпендикуляра, проведенного через ее вершину к плоскости основания, с концами в вершине и на плоскости основания пирамиды. На рисунке отрезок SO - высота пирамиды.
Среди замечательных греческих ученых V - IV вв. до н.э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский.
Евклид не применяет термина "объем". Для него термин "куб", например, означает и объем куба. В ХI книге "Начал" изложены среди других и теоремы следующего содержания.
1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики .
2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований .
3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам .
Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур.
Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.
Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом.
В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой - параллелограммы . Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными . На рисунке 1 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 2- прямой параллелепипед.
Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Моделями прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечная коробка.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями . Например, имеются спичечные коробки с измерениями 15, 35, 50 мм. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба - равные квадраты.
Рассмотрим некоторые свойства параллелепипеда.
Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Из теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда :
1. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. 2. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны
Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют. Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют. Ребра многогранника - это стороны многоугольников. Ребра многогранника - это стороны многоугольников. Вершины многогранника - это вершины многоугольника. Вершины многогранника - это вершины многоугольника. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани.
Правильные многогранники Если грани многогранника являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер, то выпуклый многогранник называется правильным. Если грани многогранника являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер, то выпуклый многогранник называется правильным.
Октаэдр - это многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится 4 грани. Октаэдр - это многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится 4 грани. Правильная форма алмаза – октаэдр
«Виды многогранников» - Правильные звездчатые многогранники. Додекаэдр. Малый звездчатый додекаэдр. Многогранники. Гексаэдр. Тела Платона. Призматоид. Пирамида. Икосаэдр. Октаэдр. Тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Звездчатый октаэдр. Две грани. Закон взаимности. Математик. Тетраэдр.
«Геометрическое тело многогранник» - Многогранники. Призмы. Существование несоизмеримых величин. Пуанкаре. Грань. Измерение объемов. Грани параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед. Мы часто встречаем пирамиду на улице. Многогранник. Интересные факты. Александрийский маяк. Геометрические формы. Расстояние между плоскостями. Мемфис.
«Каскады многогранников» - Ребро куба. Ребро октаэдра. Куб и додекаэдр. Единичный тетраэдр. Додекаэдр и икосаэдр. Додекаэдр и тетраэдр. Октаэдр и икосаэдр. Многогранник. Правильный многогранник. Октаэдр и додекаэдр. Икосаэдр и октаэдр. Единичный икосаэдр. Тетраэдр и икосаэдр. Единичный додекаэдр. Октаэдр и тетраэдр. Куб и тетраэдр.
««Многогранники» стереометрия» - Многогранники в архитектуре. Сечение многогранников. Дайте название многограннику. Великая пирамида в Гизе. Платоновы тела. Исправить логическую цепочку. Многогранник. Историческая справка. Звездный час многогранников. Решение задач. Цели урока. «Игра со зрителями». Соответствуют ли геометрические фигуры и их названия.
«Звёздчатые формы многогранников» - Большой звездчатый додекаэдр. Многогранник, изображенный на рисунке. Звездчатые многогранники. Боковые ребра. Звездчатые кубооктаэдры. Звездчатый усеченный икосаэдр. Многогранник, полученный усечением звездчатого усеченного икосаэдра. Вершины большого звездчатого додекаэдра. Звездчатые икосаэдры. Большой додекаэдр.
«Сечение многогранника плоскостью» - Сечение многогранников. Многоугольники. Разрезы образовали пятиугольник. След секущей плоскости. Сечение. Найдём точку пересечения прямых. Плоскость. Построй сечение куба. Постройте сечение призмы. Находим точку. Призма. Методы построения сечений. Полученный шестиугольник. Сечение куба. Аксиоматический метод.
Всего в теме 29 презентаций
