Arabă Bulgară Chineză Croată Cehă Daneză Olandeză Engleză Estonă Finlandeză Franceză Germană Greacă Ebraică Hindi Maghiară Islandeză Indoneziană Italiană Japoneză Coreeană Letonă Lituaniană Malgașă Norvegiană Persană Poloneză Portugheză Română Rusă Sârbă Slovacă Slovenă Spaniolă Suedeză Thai Turcă Vietnameză

definiție - Analiză_matematică

ÎN proces educațional analiza include:

În același timp, sunt date opțional elemente de analiză funcțională și teoria integralei Lebesgue, iar TFKP, calculul variațiilor și teoria ecuațiilor diferențiale sunt predate în cursuri separate. Rigoarea prezentării urmează modele de la sfârșitul secolului al XIX-lea și în special folosește teoria multimilor naivă.

Programul cursului de analiză predat la universitățile din Federația Rusă corespunde aproximativ cu programul cursului anglo-american „Calcul”.

Poveste

Predecesorii analizei matematice au fost metoda antică a epuizării și metoda indivizibililor. Toate cele trei direcții, inclusiv analiza, sunt legate de o idee inițială comună: descompunerea în elemente infinitezimale, a căror natură, totuși, părea destul de vagă autorilor ideii. abordare algebrică ( calcul infinitezimal) începe să apară în Wallis, James Gregory și Barrow. Noul calcul ca sistem a fost creat în întregime de Newton, care însă nu și-a publicat multă vreme descoperirile.

Data oficială de naștere a calculului diferențial poate fi considerată mai, când Leibniz a publicat primul său articol „O nouă metodă de înalte și scăzute...”. Acest articol, într-o formă concisă și inaccesibilă, a expus principiile unei noi metode numite calcul diferențial.

Leibniz și studenții săi

Aceste definiții sunt explicate geometric, în timp ce în Fig. incrementele infinitezimale sunt descrise ca finite. Considerarea se bazează pe două cerințe (axiome). Primul:

Se cere ca două mărimi care diferă una de cealaltă doar printr-o cantitate infinitezimală să poată fi luate [la simplificarea expresiilor?] indiferent una în loc de alta.

Continuarea fiecărei astfel de linii se numește tangentă la curbă. Investigand tangenta care trece prin punct, L'Hopital acorda o mare importanta cantitatii

atingând valori extreme la punctele de inflexiune ale curbei, dar nu se acordă o semnificație specială relației cu.

Este de remarcat să găsiți puncte extreme. Dacă, cu o creștere continuă a diametrului, ordonata crește mai întâi și apoi scade, atunci diferența este mai întâi pozitivă față de , și apoi negativă.

Dar orice valoare în continuă creștere sau scădere nu poate trece de la pozitiv la negativ fără a trece prin infinit sau zero... Rezultă că diferența dintre valoarea cea mai mare și cea mai mică trebuie să fie egală cu zero sau infinit.

Această formulare probabil nu este fără cusur, dacă ne amintim de prima cerință: să zicem, , apoi în virtutea primei cerințe

;

la zero, partea dreaptă este zero și partea stângă nu. Se pare că ar fi trebuit spus că poate fi transformat în conformitate cu prima cerință astfel încât la punctul maxim . . În exemple, totul se explică de la sine, iar doar în teoria punctelor de inflexiune L'Hopital scrie că este egal cu zero în punctul maxim, fiind împărțit la .

În continuare, folosind doar diferențiale, se formulează condiții extreme și un număr mare de sarcini complexe, referitoare în principal la geometria diferenţială în plan. La sfârșitul cărții, în cap. 10, stabilește ceea ce se numește acum regula lui L'Hopital, deși într-o formă neobișnuită. Fie ordonata curbei să fie exprimată ca o fracție, al cărei numărător și numitor dispar la . Atunci punctul curbei c are o ordonată egală cu raportul dintre diferenţialul numărătorului şi diferenţialul numitorului luat la .

Conform planului lui L'Hôpital, ceea ce a scris a constituit prima parte a Analizei, în timp ce a doua trebuia să conțină calcul integral, adică o metodă de găsire a conexiunii dintre variabile pe baza conexiunii cunoscute a diferențialelor lor. Prima sa prezentare a fost făcută de Johann Bernoulli în a sa Prelegeri de matematică despre metoda integrală. Iată o metodă pentru a lua majoritatea integralelor elementare și metode pentru a rezolva multe ecuatii diferentiale prima comanda.

Subliniind utilitatea practică și simplitatea noii metode, Leibniz a scris:

Ceea ce o persoană versată în acest calcul poate obține direct în trei rânduri, alți oameni învățați au fost nevoiți să caute urmând ocoluri complexe.

Euler

Schimbările care au avut loc în următoarea jumătate de secol sunt reflectate în tratatul amplu al lui Euler. Prezentarea analizei se deschide cu o „Introducere” în două volume, care conține cercetări asupra diferitelor reprezentări ale funcțiilor elementare. Termenul „funcție” apare pentru prima dată numai în Leibniz, dar Euler a fost cel care l-a pus pe primul loc. Interpretarea originală a conceptului de funcție a fost că o funcție este o expresie pentru numărare (germană. Rechnungsausdrϋck) sau expresie analitică.

O funcție de mărime variabilă este o expresie analitică compusă într-un fel din această cantitate variabilă și numere sau cantități constante.

Subliniind că „principala diferență dintre funcții constă în modul în care sunt compuse din variabile și constante”, Euler enumeră acțiunile „prin care cantitățile pot fi combinate și amestecate între ele; aceste acțiuni sunt: adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor; Aceasta ar trebui să includă și soluția ecuațiilor [algebrice]. Pe lângă aceste operații, numite algebrice, există multe altele, transcendentale, precum: exponențiale, logaritmice și nenumărate altele, livrate prin calcul integral.” Această interpretare a făcut posibilă manipularea cu ușurință a funcțiilor cu mai multe valori și nu a necesitat o explicație a câmpului pentru care funcția a fost considerată: expresia de numărare a fost definită pentru valori complexe ale variabilelor chiar și atunci când acest lucru nu a fost necesar pentru problema de sub considerare.

Operațiile în expresie erau permise numai în numere finite, iar transcendentalul pătrundea cu ajutorul unui număr infinit de mare. În expresii, acest număr este folosit împreună cu numerele naturale. De exemplu, o astfel de expresie pentru exponent este considerată acceptabilă

în care doar autorii de mai târziu au văzut tranziția ultimă. Au fost făcute diverse transformări cu expresii analitice, care i-au permis lui Euler să găsească reprezentări pentru funcții elementare sub formă de serie, produse infinite etc. Euler transformă expresii pentru numărare așa cum se întâmplă în algebră, fără a acorda atenție posibilității de a calcula valoarea lui o funcție la un punct pentru fiecare din formulele scrise.

Spre deosebire de L'Hopital, Euler examinează în detaliu funcțiile transcendentale și în special cele două clase ale lor cele mai studiate - exponențiale și trigonometrice. El descoperă că toate funcțiile elementare pot fi exprimate folosind operații aritmetice și două operații - luând logaritmul și exponentul.

Dovada în sine demonstrează perfect tehnica utilizării infinitului de mare. După ce a definit sinusul și cosinusul folosind cercul trigonometric, Euler a derivat următoarele din formulele de adunare:

Presupunând și , el obține

eliminând cantități infinitezimale de ordin superior. Folosind aceasta și expresie similară, Euler obține și celebra sa formulă

După ce a indicat diferite expresii pentru funcții care sunt acum numite elementare, Euler trece la considerarea curbelor pe un plan desenat prin mișcarea liberă a mâinii. În opinia sa, nu este posibil să se găsească o singură expresie analitică pentru fiecare astfel de curbă (vezi, de asemenea, Disputa șiruri). În secolul al XIX-lea, la instigarea lui Casorati, această afirmație a fost considerată eronată: conform teoremei lui Weierstrass, orice curbă continuă în sensul modern poate fi aproximativ descrisă prin polinoame. De fapt, Euler a fost cu greu convins de acest lucru, pentru că mai avea nevoie să rescrie trecerea la limită folosind simbolul.

Euler își începe prezentarea calculului diferențial cu teoria diferențelor finite, urmată în al treilea capitol de o explicație filozofică conform căreia „o cantitate infinitezimală este exact zero”, ceea ce, mai ales, nu se potrivea contemporanilor lui Euler. Apoi, diferențialele sunt formate din diferențe finite la un increment infinitezimal și din formula de interpolare a lui Newton - formula lui Taylor. Această metodă se întoarce în esență la lucrarea lui Taylor (1715). În acest caz, Euler are o relație stabilă, care, totuși, este considerată ca o relație a două infinitezimale. Ultimele capitole sunt dedicate calculului aproximativ folosind serii.

În calculul integral în trei volume, Euler interpretează și introduce conceptul de integrală după cum urmează:

Funcția a cărei diferență se numește integrală și se notează prin semnul plasat în față.

În general, această parte a tratatului lui Euler este dedicată unei probleme mai generale, din punct de vedere modern, a integrării ecuațiilor diferențiale. În același timp, Euler găsește o serie de integrale și ecuații diferențiale care conduc la noi funcții, de exemplu, -funcții, funcții eliptice etc. O dovadă riguroasă a naturii lor neelementare a fost dată în anii 1830 de Jacobi pentru funcțiile eliptice. şi de Liouville (vezi funcţiile elementare).

Lagrange

Următoarea lucrare majoră care a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea conceptului de analiză a fost Teoria funcţiilor analitice Povestirea amplă a lui Lagrange și Lacroix a lucrării lui Lagrange într-o manieră oarecum eclectică.

Dorind să scape cu totul de infinitezimal, Lagrange a inversat legătura dintre derivate și seria Taylor. Prin funcție analitică Lagrange a înțeles o funcție arbitrară studiată prin metode analitice. El a desemnat funcția însăși ca , oferind o modalitate grafică de a scrie dependența - mai devreme, Euler s-a descurcat doar cu variabile. Pentru aplicarea metodelor de analiză, conform lui Lagrange, este necesar ca funcția să fie extinsă într-o serie

ai căror coeficienţi vor fi funcţii noi. Rămâne să o numim derivată (coeficient diferențial) și să o notăm ca . Astfel, conceptul de derivat este introdus pe pagina a doua a tratatului și fără ajutorul infinitezimalelor. Rămâne de notat că

prin urmare coeficientul este de două ori mai mare decât derivata derivatei, adică

etc.

Această abordare a interpretării conceptului de derivată este folosită în algebra modernă și a servit drept bază pentru crearea teoriei funcțiilor analitice a lui Weierstrass.

Lagrange a operat cu serii precum cele formale și a obținut o serie de teoreme remarcabile. În special, pentru prima dată și destul de riguros a dovedit solubilitatea problemei inițiale pentru ecuații diferențiale obișnuite în serii de puteri formale.

Problema evaluării acurateții aproximărilor oferite de sumele parțiale ale seriei Taylor a fost pusă pentru prima dată de Lagrange: în cele din urmă Teorii ale funcţiilor analitice el a derivat ceea ce se numește acum formula lui Taylor cu un termen de rest în forma Lagrange. Cu toate acestea, spre deosebire de autorii moderni, Lagrange nu a văzut nevoia de a folosi acest rezultat pentru a justifica convergența seriei Taylor.

Întrebarea dacă funcțiile utilizate în analiză pot fi într-adevăr extinse într-o serie de puteri a devenit ulterior subiect de dezbatere. Desigur, Lagrange știa că în anumite puncte funcțiile elementare nu pot fi extinse într-o serie de puteri, dar în aceste puncte nu sunt diferențiabile în niciun sens. Cauchy în a lui Analiza algebrică a citat funcția ca contraexemplu

extins cu zero la zero. Această funcție este netedă peste tot pe axa reală și la zero are o serie Maclaurin zero, care, prin urmare, nu converge către valoarea . Față de acest exemplu, Poisson a obiectat că Lagrange a definit funcția ca o singură expresie analitică, în timp ce în exemplul lui Cauchy funcția este definită diferit la zero și la . Abia la sfârșitul secolului al XIX-lea a demonstrat Pringsheim că există o funcție infinit diferențiabilă, dată de o singură expresie, pentru care seria Maclaurin diverge. Un exemplu de astfel de funcție este expresia

Dezvoltare în continuare

În ultima treime a secolului al XIX-lea, Weierstrass a aritmetizat analiza, considerând justificarea geometrică ca fiind insuficientă, și a propus o definiție clasică a limitei prin limbajul ε-δ. El a creat și prima teorie riguroasă a mulțimii numerelor reale. În același timp, încercările de îmbunătățire a teoremei de integrabilitate Riemann au condus la crearea unei clasificări a discontinuității funcțiilor reale. Au fost descoperite și exemple „patologice” (funcții continue care nu sunt diferențiate nicăieri, curbe de umplere a spațiului). În acest sens, Jordan a dezvoltat teoria măsurării, iar Cantor a dezvoltat teoria mulțimilor, iar la începutul secolului al XX-lea, analiza matematică a fost oficializată cu ajutorul lor. O altă dezvoltare importantă a secolului al XX-lea a fost dezvoltarea analizei non-standard ca o abordare alternativă pentru justificarea analizei.

Secţiuni de analiză matematică

Vezi si

Bibliografie

Articole enciclopedice

Literatura educațională

Manuale standard

De mulți ani, următoarele manuale au fost populare în Rusia:

Unele universități au propriile ghiduri de analiză:

Matematica in universitate tehnica Colectie mijloace didacticeîn volumul 21.

Bogdanov Yu. Prelegeri de analiză matematică (în două părți). - Minsk: BSU, 1974. - 357 p.

Manuale avansate

Manuale:

Rudin U. Fundamentele analizei matematice. M., 1976 - o carte mică, scrisă foarte clar și concis.

Probleme de dificultate crescută:

G. Polia, G. Szege, Probleme și teoreme din analiză.

1. Perioada de creare a matematicii cantităților variabile. Crearea geometriei analitice, calcul diferenţial şi integral

În secolul al XVII-lea Începe o nouă perioadă în istoria matematicii - perioada matematicii cantităților variabile. Apariția sa este asociată în primul rând cu succesele astronomiei și mecanicii.

Kepler în 1609-1619 a descoperit și formulat matematic legile mișcării planetare. Până în 1638, Galileo a creat mecanica mișcării libere a corpurilor, a fondat teoria elasticității și a aplicat metode matematice pentru a studia mișcarea, pentru a găsi modele între calea mișcării, viteza și accelerația acesteia. Newton a formulat legea gravitației universale până în 1686.

Primul pas decisiv în crearea matematicii cantităților variabile a fost apariția cărții lui Descartes „Geometrie”. Principalele servicii ale lui Descartes pentru matematică sunt introducerea lui de mărimi variabile și crearea geometriei analitice. În primul rând, a fost interesat de geometria mișcării și, aplicând metode algebrice la studiul obiectelor, a devenit creatorul geometriei analitice.

Geometria analitică a început odată cu introducerea unui sistem de coordonate. În onoarea creatorului, un sistem de coordonate dreptunghiular format din două axe care se intersectează în unghi drept, scări de măsurare introduse pe ele și un punct de referință - punctul de intersecție al acestor axe - se numește sistem de coordonate pe un plan. Împreună cu a treia axă, este un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu.

Prin anii 60 ai secolului al XVII-lea. Au fost dezvoltate numeroase metode pentru a calcula zonele cuprinse de diferite linii curbe. A fost nevoie de o singură împingere pentru a crea un singur calcul integral din metode disparate.

Metodele diferențiale au rezolvat problema principală: cunoașterea unei linii curbe, găsirea tangentelor acesteia. Multe probleme de practică au condus la formularea unei probleme inverse. În procesul de rezolvare a problemei, a devenit clar că metodele de integrare erau aplicabile acesteia. Astfel, s-a stabilit o conexiune profundă între metodele diferențiale și integrale, care a creat baza unui calcul unificat. Cea mai veche formă de calcul diferențial și integral este teoria fluxiunilor, dezvoltată de Newton.

Matematicienii secolului al XVIII-lea a lucrat concomitent în domeniile științelor naturale și tehnologiei. Lagrange a creat bazele mecanicii analitice. Lucrările sale au arătat câte rezultate pot fi obținute în mecanică datorită metodelor puternice de analiză matematică. Lucrarea monumentală a lui Laplace „Celestial Mechanics” a rezumat toate lucrările anterioare în acest domeniu.

secolul al XVIII-lea a dat matematicii un aparat puternic - analiza infinitezimale. În această perioadă, Euler a introdus simbolul f(x) pentru o funcție în matematică și a arătat că dependența funcțională a fost principalul obiect de studiu în analiza matematică. Au fost dezvoltate metode pentru calcularea derivatelor parțiale, integralelor multiple și curbilinii și diferențialelor funcțiilor multor variabile.

În secolul al XVIII-lea Din analiza matematică au apărut o serie de discipline matematice importante: teoria ecuațiilor diferențiale, calculul variațiilor. În acest moment, a început dezvoltarea teoriei probabilităților.

Rădăcinile ideologice ale geometriei analitice se află în sol fertil matematica clasică greacă antică. Al doilea cel mai epocă după strălucitele „Principii” euclidiene este tratatul fundamental al lui Apollonius din Perga (c. 260 - 170 î.Hr....

Metodă analitică în rezolvarea problemelor planimetrice

Geometria analitică nu are un conținut strict definit și factorul determinant pentru aceasta nu este subiectul cercetării, ci metoda...

Cercetare Funcțională

Concepte cheie Maxim local. Minimum local. Extremul local. Monotonitatea funcției. 1. Extreme locale ale unei funcții Fie dată pe mulțimea X funcția y = f (x) și x0 punctul interior al mulțimii X...

Cercetare Funcțională

Să luăm în considerare câteva teoreme care ne vor permite să studiem în continuare comportamentul funcțiilor. Ele sunt numite teoreme fundamentale ale analizei matematice sau teoreme fundamentale ale calculului diferenţial...

Aplicarea unei integrale definite la rezolvarea problemelor practice

Aplicarea calculului diferențial și integral la rezolvarea problemelor fizice și geometrice în MATLab

Istoria conceptului de integrală este strâns legată de problemele de găsire a pătrarilor. Probleme despre cuadratura uneia sau alteia figuri plane a matematicii Grecia antică iar Roma le-a numit probleme pe care acum le clasificăm drept probleme de calculare a suprafețelor...

Folosind derivate și integrale pentru a rezolva ecuații și inegalități

la demonstrarea inegalităţilor TEOREMA 1 (Rolle) Fie ca funcţia f:R să îndeplinească condiţiile: 1) fC; 2) x(a,b) există f/(x); 3) f(a)=f(b). Atunci C(a,b): f/(C)=0. Semnificația geometrică a teoremei lui Rolle: când condițiile 1)-3) ale teoremei sunt îndeplinite pe intervalul (a...

Aplicarea derivatelor la rezolvarea problemelor

Secolul al XIX-lea este începutul unei noi, a patra perioade din istoria matematicii - perioada matematicii moderne.

Știm deja că una dintre direcțiile principale în dezvoltarea matematicii în perioada a patra este întărirea rigoarei demonstrațiilor în toată matematica, în special restructurarea analizei matematice pe baze logice. În a doua jumătate a secolului al XVIII-lea. s-au făcut numeroase încercări de reconstrucție a analizei matematice: introducerea definiției unei limite (D'Alembert și colab.), definirea derivatei ca limită a unui raport (Euler și colab.), rezultatele lui Lagrange și Carnot , etc., dar acestor lucrări le lipsea un sistem, iar uneori nu aveau succes. Cu toate acestea, au pregătit terenul pe care perestroika în secolul al XIX-lea. ar putea fi implementate. În secolul 19 Această direcție de dezvoltare a analizei matematice a devenit cea de conducere. A fost preluat de O. Cauchy, B. Bolzano, K. Weierstrass ș.a.

1. Augustin Louis Cauchy (1789−1857) a absolvit Ecole Polytechnique și Institutul de Comunicații din Paris. Din 1816, membru al Academiei din Paris și profesor la Ecole Polytechnique. În 1830−1838 În anii republicii, a fost în exil din cauza credințelor sale monarhiste. Din 1848, Cauchy a devenit profesor la Sorbona - Universitatea din Paris. A publicat peste 800 de lucrări despre analiza matematică, ecuații diferențiale, teoria funcțiilor unei variabile complexe, algebră, teoria numerelor, geometrie, mecanică, optică etc. Principalele domenii ale intereselor sale științifice au fost analiza matematică și teoria funcțiilor unui variabilă complexă.

Cauchy și-a publicat prelegerile de analiză, susținute la Ecole Polytechnique, în trei lucrări: „Curs de analiză” (1821), „Rezumat al prelegerilor de calcul infinitezimal” (1823), „Prelegere despre aplicațiile analizei la geometrie”, 2 volume. (1826, 1828). În aceste cărți, pentru prima dată, analiza matematică este construită pe baza teoriei limitelor. au marcat începutul unei restructurări radicale a analizei matematice.

Cauchy dă următoarea definiție a limitei unei variabile: „Dacă valorile atribuite succesiv aceleiași variabile se apropie de o valoare fixă pe termen nelimitat, astfel încât în cele din urmă să se deosebească de aceasta cât mai puțin posibil, atunci aceasta din urmă se numește limita tuturor celorlalte.” Esența problemei este bine exprimată aici, dar cuvintele „atât cât se dorește” în sine au nevoie de definiție și, în plus, definiția limitei unei variabile, și nu a limitei unei funcții, este formulată aici. În continuare, autorul demonstrează diverse proprietăți ale limitelor.

Atunci Cauchy dă următoarea definiție a continuității unei funcții: o funcție se numește continuă (într-un punct) dacă o creștere infinitezimală în argument generează o creștere infinitezimală în funcție, adică în limbajul modern.

Apoi el are diverse proprietăți ale funcțiilor continue.

Prima carte examinează, de asemenea, teoria seriei: dă definiția sumei unei serii de numere ca limită a sumei sale parțiale, introduce o serie de criterii suficiente pentru convergența seriilor de numere, precum și a seriei de puteri și a regiunii. a convergenţei lor – toate acestea atât în domeniul real cât şi în cel complex.

El prezintă calculul diferențial și integral în a doua sa carte.

Cauchy definește derivata unei funcții ca fiind limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, când incrementul argumentului tinde spre zero, iar diferența ca limită a raportului De aici rezultă că. Formulele derivate uzuale sunt discutate în continuare; în acest caz, autorul folosește adesea teorema valorii medii a lui Lagrange.

În calculul integral, Cauchy propune mai întâi integrala definită ca concept de bază. De asemenea, o introduce pentru prima dată ca limită a sumelor integrale. Aici demonstrăm o teoremă importantă privind integrabilitatea unei funcții continue. Integrala lui nedefinită este definită ca o funcție a argumentului că, în plus, aici sunt considerate expansiuni ale funcțiilor din seria Taylor și Maclaurin.

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea. un număr de oameni de știință: B. Riemann, G. Darboux și alții au găsit condiții noi pentru integrabilitatea unei funcții și chiar au schimbat însăși definiția unei integrale definite astfel încât să poată fi aplicată la integrarea unor funcții discontinue.

În teoria ecuațiilor diferențiale, Cauchy s-a preocupat în principal de dovezi ale teoremelor de existență fundamental importante: existența unei soluții la o ecuație diferențială obișnuită, mai întâi de ordinul întâi și apoi de ordinul al treilea; existența unei soluții pentru un sistem liniar de ecuații cu diferențe parțiale.

În teoria funcțiilor unei variabile complexe, Cauchy este fondatorul; Multe dintre articolele sale îi sunt dedicate. În secolul al XVIII-lea Euler și d'Alembert au pus doar începutul acestei teorii. La cursul universitar de teoria funcţiilor unei variabile complexe, întâlnim constant denumirea de Cauchy: condiţiile Cauchy - Riemann de existenţă a unei derivate, integrala Cauchy, formula integrală Cauchy etc.; multe teoreme asupra reziduurilor unei funcții se datorează și lui Cauchy. B. Riemann, K. Weierstrass, P. Laurent și alții au obținut și ei rezultate foarte importante în acest domeniu.

Să revenim la conceptele de bază ale analizei matematice. În a doua jumătate a secolului, a devenit clar că omul de știință ceh Bernard Bolzano (1781 - 1848) a făcut multe în domeniul analizei fundamentate înainte de Cauchy și Weierschtrass. Înainte de Cauchy, el a dat definiții ale limitei, continuității unei funcții și convergenței unei serii de numere, a dovedit un criteriu pentru convergența unei secvențe de numere și, de asemenea, cu mult înainte de a apărea în Weierstrass, teorema: dacă o mulțime de numere este delimitat deasupra (dedesubt), apoi are o margine superioară exactă (margine inferioară exactă. El a luat în considerare o serie de proprietăți ale funcțiilor continue; Să ne amintim că în cursul universitar de analiză matematică există teoremele Bolzano–Cauchy și Bolzano–Weierstrass asupra funcțiilor continue pe un interval. Bolzano a investigat și unele probleme de analiză matematică, de exemplu, a construit primul exemplu de funcție care este continuă pe un segment, dar nu are o derivată în niciun punct al segmentului. În timpul vieții sale, Bolzano a putut publica doar cinci lucrări mici, așa că rezultatele sale au devenit cunoscute prea târziu.

2. În analiza matematică s-a resimțit din ce în ce mai clar lipsa unei definiții clare a unei funcții. O contribuție semnificativă la soluționarea disputei despre ce se înțelege prin funcție a avut-o savantul francez Jean Fourier. A studiat teoria matematică a conductivității termice în solide și, în legătură cu aceasta, a folosit serii trigonometrice (seria Fourier)

aceste serii au devenit ulterior utilizate pe scară largă în fizica matematică, o știință care se ocupă cu metodele matematice pentru studiul ecuațiilor cu diferențe parțiale întâlnite în fizică. Fourier a demonstrat că orice curbă continuă, indiferent din ce părți diferite este compusă, poate fi definită printr-o singură expresie analitică - o serie trigonometrică și că acest lucru se poate face și pentru unele curbe cu discontinuități. Studiul lui Fourier asupra unor astfel de serii a ridicat încă o dată întrebarea ce se înțelege prin funcție. Poate fi considerată o astfel de curbă pentru a defini o funcție? (Aceasta este o reînnoire a vechii dezbateri din secolul al XVIII-lea despre relația dintre funcție și formulă la un nou nivel.)

În 1837, matematicianul german P. Direchle a dat pentru prima dată o definiție modernă a unei funcții: „este o funcție a unei variabile (pe un interval dacă fiecărei valori (pe acest interval) îi corespunde o valoare complet specifică, și nu contează cum această corespondență este stabilită - printr-o formulă analitică, un grafic, un tabel sau chiar doar în cuvinte.” Adăugarea este demnă de remarcat: „nu contează cum este stabilită această corespondență”, a câștigat destul de repede acceptarea generală.

3. Standardul modern de rigoare în analiza matematică a apărut pentru prima dată în lucrările lui Weierstrass (1815−1897) A lucrat mult timp ca profesor de matematică în gimnazii, iar în 1856 a devenit profesor la Universitatea din Berlin. Ascultătorii prelegerilor sale le-au publicat treptat sub formă de cărți separate, datorită cărora conținutul prelegerilor lui Weierstrass a devenit bine cunoscut în Europa. Weierstrass a fost cel care a început să folosească în mod sistematic limbajul în analiza matematică. El a dat o definiție a limitei unei secvențe, o definiție a limitei unei funcții în limbaj (care este adesea numită în mod incorect definiția Cauchy), a demonstrat riguros teoreme despre limite. și așa-numita teoremă Weierstrass asupra limitei unei secvențe monotone: o secvență crescătoare (descrescătoare), mărginită de sus (de jos), are o limită finită. A început să folosească conceptele limitelor exacte superioare și inferioare exacte ale unei mulțimi numerice, conceptul de punct limită al unei mulțimi, a demonstrat teorema (care are un alt autor - Bolzano): o mulțime numerică mărginită are un punct limită, și a examinat unele proprietăți ale funcțiilor continue. Weierstrass a dedicat multe lucrări teoriei funcțiilor unei variabile complexe, fundamentând-o cu ajutorul seriei de puteri. De asemenea, a studiat calculul variațiilor, geometria diferențială și algebra liniară.

4. Să ne oprim asupra teoriei mulţimilor infinite. Creatorul său a fost matematicianul german Cantor. Georg Kantor (1845-1918) a lucrat mulți ani ca profesor la Universitatea din Halle. A publicat lucrări despre teoria platourilor începând cu 1870. El a dovedit nenumărabilitatea mulțimii numerelor reale, stabilind astfel existența unor mulțimi infinite neechivalente, a introdus concept general puterile unui set, a aflat principiile de comparare a puterilor. Cantor a construit o teorie a numerelor transfinite, „improprie”, atribuind cel mai mic, cel mai mic număr transfinit puterii unei mulțimi numărabile (în special, mulțimii numerelor naturale), puterii mulțimii de numere reale - o mai mare, număr transfinit mai mare etc.; aceasta i-a dat ocazia să construiască o aritmetică a numerelor transfinite, similară cu aritmetica obișnuită a numerelor naturale. Cantor a aplicat sistematic infinitul actual, de exemplu, posibilitatea de a „epuiza” complet seria naturală de numere, în timp ce înaintea lui în matematica secolului al XIX-lea. a fost folosit doar infinitul potențial.

Teoria mulțimilor a lui Cantor a stârnit obiecții din partea multor matematicieni când a apărut, dar recunoașterea a venit treptat când importanța sa enormă pentru justificarea topologiei și teoria funcțiilor unei variabile reale a devenit clară. Dar au rămas lacune logice în teoria însăși, au fost descoperite paradoxuri ale teoriei mulțimilor. Iată unul dintre cele mai cunoscute paradoxuri. Să notăm prin mulțime toate astfel de mulțimi care nu sunt elemente ale lor. Includerea este valabilă și nu este un element, deoarece, prin condiție, numai astfel de mulțimi sunt incluse ca elemente care nu sunt elemente ale lor însele; dacă condiția este valabilă, includerea este o contradicție în ambele cazuri.

Aceste paradoxuri au fost asociate cu inconsecvența internă a unor seturi. A devenit clar că nu orice mulțime poate fi folosită în matematică. Existența paradoxurilor a fost depășită de creație deja la începutul secolului al XX-lea. teoria axiomatică a mulțimilor (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann etc.), care, în special, a răspuns la întrebarea: ce mulțimi pot fi folosite în matematică? Se dovedește că puteți folosi mulțimea goală, uniunea mulțimilor date, mulțimea tuturor submulțimii unei mulțimi date etc.

Filosofia este considerată punctul central al tuturor științelor, deoarece a inclus primele rădăcini ale literaturii, astronomiei, literaturii, științelor naturii, matematicii și alte domenii. De-a lungul timpului, fiecare domeniu s-a dezvoltat independent, matematica nu a făcut excepție. Primul „indiciu” de analiză este considerat a fi teoria descompunerii în cantități infinitezimale, pe care multe minți au încercat să o abordeze, dar era vagă și nu avea nicio bază. Acest lucru se datorează atașamentului față de vechea școală de știință, care era strictă în formulările sale. Isaac Newton a fost foarte aproape de a forma bazele, dar a fost prea târziu. Ca urmare, analiza matematică își datorează apariția ca sistem separat filozofului Gottfried Leibniz. El a fost cel care a introdus în lumea științifică concepte precum minim și maxim, puncte de inflexiune și convexitatea graficului unei funcții și a formulat bazele calculului diferențial. Din acest moment, matematica se împarte oficial în elementare și superioare.

Analiza matematică. Zilele noastre

Orice specialitate, fie ea tehnică sau umanitară, include analiza în cursul studiilor. Profunzimea studiului variază, dar esența rămâne aceeași. În ciuda întregului „abstract”, este unul dintre pilonii pe care se sprijină știința naturală în înțelegerea sa modernă. Cu ajutorul său, fizica și economia dezvoltate, este capabil să descrie și să prezică activitățile bursei și să ajute la construirea unui portofoliu optim de acțiuni. Introducerea în analiza matematică se bazează pe concepte elementare:

seturi;
operații de bază pe platouri;
proprietățile operațiilor pe mulțimi;
funcții (cunoscute și sub denumirea de mapări);
tipuri de funcții;
secvențe;
linii numerice;
limită de secvență;
proprietățile limitelor;
continuitatea functiei.

Merită evidențiat separat concepte precum set, punct, linie dreaptă, plan. Toate nu au definiții, deoarece sunt conceptele de bază pe care se construiește toată matematica. Tot ceea ce se poate face în acest proces este să explice exact ce înseamnă acestea în cazuri individuale.

Limita ca o continuare

Fundamentele analizei matematice includ limita. În practică, reprezintă valoarea la care se străduiește o secvență sau o funcție, se apropie cât se dorește, dar nu o atinge. Se notează lim, considerăm un caz special al limitei funcției: lim (x-1)= 0 pentru x→1. Din acest exemplu cel mai simplu este clar că, ca x→1, întreaga funcție tinde spre 0, deoarece dacă substituim limita în funcția însăși, obținem (1-1)=0. Informații mai detaliate, de la cazuri speciale elementare la cele complexe, sunt prezentate într-un fel de „Biblie” de analiză - lucrările lui Fichtenholtz. Acesta examinează analiza matematică, limitele, derivarea acestora și aplicarea ulterioară. De exemplu, derivarea numărului e (constanta lui Euler) ar fi imposibilă fără teoria limitelor. În ciuda abstractismului dinamic al teoriei, limitele sunt utilizate în mod activ în practică în economie și sociologie. De exemplu, nu puteți face fără ele atunci când calculați dobânda la un depozit bancar.

5.3 Analiză matematică

Fondatori stiinta moderna- Copernic, Kepler, Galileo și Newton - au abordat studiul naturii ca matematică. Studiind mișcarea, matematicienii au dezvoltat un astfel de concept fundamental ca o funcție sau o relație între variabile, de exemplu d = kt2, unde d este distanța parcursă de un corp în cădere liberă și t este numărul de secunde în care se află corpul. cădere liberă. Conceptul de funcție a devenit imediat central în determinarea vitezei la un moment dat în timp și a accelerației unui corp în mișcare. Dificultatea matematică a acestei probleme a fost că în orice moment corpul parcurge distanță zero în timp zero. Prin urmare, determinând valoarea vitezei la un moment de timp prin împărțirea traseului în timp, ajungem la expresia fără sens matematic 0/0.

Problema determinării și calculării ratelor instantanee de modificare a diferitelor cantități a atras atenția aproape tuturor matematicienilor secolului al XVII-lea, inclusiv Barrow, Fermat, Descartes și Wallis. Ideile și metodele disparate pe care le-au propus au fost combinate într-o metodă formală sistematică, aplicabilă universal de către Newton și G. Leibniz (1646 - 1716), creatorii calculului diferențial. Au existat dezbateri aprinse între ei pe tema priorității în dezvoltarea acestui calcul, Newton acuzându-l pe Leibniz de plagiat. Cu toate acestea, după cum au arătat cercetările istoricilor științei, Leibniz a creat analiza matematică independent de Newton. Ca urmare a conflictului, schimbul de idei între matematicienii din Europa continentală și Anglia ani lungi a fost întreruptă cu pagube aduse părții engleze. Matematicienii englezi au continuat să dezvolte ideile de analiză într-o direcție geometrică, în timp ce matematicienii Europei continentale, inclusiv I. Bernoulli (1667 - 1748), Euler și Lagrange au obținut un succes incomparabil mai mare în urma abordării algebrice sau analitice.

Baza oricărei analize matematice este conceptul de limită. Viteza la un moment dat este definită ca limita la care tinde viteza medie, când valoarea lui t se apropie de zero. Calculul diferențial oferă o metodă generală convenabilă din punct de vedere computațional pentru găsirea ratei de modificare a unei funcții pentru orice valoare a lui x. Această viteză se numește derivată. Din generalitatea notației este clar că conceptul de derivată este aplicabil nu numai în problemele legate de necesitatea de a găsi viteză sau accelerație, ci și în relație cu orice dependență funcțională, de exemplu, la o relație de la teorie economică. Una dintre principalele aplicații ale calculului diferențial este așa-numita. sarcini maxime și minime; Un alt domeniu important de probleme este găsirea tangentei la o curbă dată.

S-a dovedit că, cu ajutorul unui derivat, special inventat pentru a lucra cu probleme de mișcare, este posibil să se găsească și zone și volume limitate de curbe și respectiv suprafețe. Metodele geometriei euclidiene nu au avut generalitatea necesară și nu au permis obținerea rezultatelor cantitative cerute. Prin eforturile matematicienilor secolului al XVII-lea. Au fost create numeroase metode private care au făcut posibilă găsirea ariilor figurilor delimitate de curbe de un tip sau altul, iar în unele cazuri s-a remarcat legătura dintre aceste probleme și problemele de găsire a ratei de schimbare a funcțiilor. Dar, ca și în cazul calculului diferențial, Newton și Leibniz au fost cei care au realizat generalitatea metodei și, prin urmare, au pus bazele calculului integral.

Metoda Newton-Leibniz începe prin înlocuirea curbei care încadrează aria ce urmează a fi determinată printr-o succesiune de linii întrerupte care o aproximează, asemănătoare cu metoda de epuizare inventată de greci. Aria exactă este egală cu limita sumei ariilor a n dreptunghiuri când n merge la infinit. Newton a arătat că această limită poate fi găsită inversând procesul de găsire a ratei de schimbare a unei funcții. Operația inversă de diferențiere se numește integrare. Afirmația că însumarea poate fi realizată prin diferențierea inversă se numește teorema fundamentală a calculului. Așa cum diferențierea este aplicabilă unei clase mult mai largi de probleme decât găsirea vitezelor și accelerațiilor, integrarea este aplicabilă oricărei probleme care implică însumarea, cum ar fi problemele de fizică care implică adăugarea de forțe.

algoritmul lui Dijkstra

TEORIA GRAFURILOR este un domeniu al matematicii discrete, o caracteristică a căruia este o abordare geometrică a studiului obiectelor. Obiectul principal al teoriei grafurilor este graful și generalizările lui...

Oameni remarcabili ai statisticilor. P.L. Cebişev

Cel mai mare număr Lucrările lui Cebyshev sunt dedicate analizei matematice. În disertația sa din 1847 pentru dreptul la prelegere, Cebyshev explorează integrabilitatea anumitor expresii iraţionaleîn funcții algebrice și logaritmi...

Să analizăm manualele de algebră și începuturile analizei matematice ale unor autori precum A.N. Kolmogorov. și Mordkovich A.G. Într-un manual pentru clasele 10-11, 2008 institutii de invatamant editat de A.N. Kolmogorov, ai cărui autori: A.N...

Studierea proprietăților variabilelor aleatoare, planificarea unui experiment și analiza datelor

Să obținem dependența preciziei metodei de măsurare a rezistenței de factorii: A, C, E. Să calculăm z0j = (zmaxj + zminj)/2 (41) ?zj = (zmaxj - zminj)/2 (42 ) xj = (zj - z0j)/ ? zj (43) Să creăm o matrice de planificare...

Studiul unei metode de continuare a soluției în raport cu un parametru pentru sistemele de control automat neliniar

După ce am analizat materialul grafic și de testare de mai sus care descrie soluția sistemelor de ecuații algebrice neliniare prin metoda continuării soluției în raport cu un parametru, putem trage următoarele concluzii: 1...

Regresia este dependența valorii medii a unei valori Y de o altă valoare X. Conceptul de regresie într-un sens generalizează conceptul de dependență funcțională y = f(x)...

Studiu dependență statistică presiunea într-un gaz ideal Fermi-Dirac asupra temperaturii acestuia

Regresia liniară Pentru a găsi coeficienții a și b folosind metoda celor mai mici pătrate, s-au calculat următorii parametri necesari: = 3276,8479; = 495,4880; = 2580,2386; = 544,33; În cazul nostru, coeficienții a și b sunt, respectiv, egali: . Prin urmare...

Metode algebrice iterative pentru reconstrucția imaginilor

Examinând datele de calcul pentru aceste probleme, putem spune că pentru această metodă numărul de ecuații și numărul de necunoscute joacă un rol semnificativ...

Matematica si lumea modernă

Orice explicație precisă a unui fenomen sau a unuia este matematică și, invers, tot ceea ce este precis este matematică. Orice descriere exactă este o descriere în limbajul matematic adecvat...

Modelare matematică în probleme de calcul şi proiectare a sistemelor automate de control

Să analizăm sistemul necorectat folosind criteriile lui Mikhailov și Hurwitz. Să aflăm funcţia de transfer a întregului sistem Să compunem matricea Hurwitz a0=1; a1=7,4; a2=19; a3=10; Conform criteriului Hurwitz pentru aceasta...

Metoda celor mai mici pătrate

Să începem cu conceptul de analiză regresivă a varianței. Să ne uităm la acest concept folosind un exemplu dependență liniară. După metoda celor mai mici pătrate, ne putem imagina: , unde. Aici a doua relație este ecuația de regresie găsită, există valoare aleatorie cu medie...

Optimizare Minimax și multi-criterii

Înainte de a începe să luăm în considerare problema de optimizare în sine, vom cădea de acord asupra aparatului matematic pe care îl vom folosi. Pentru a rezolva probleme cu un singur criteriu, este suficient să poți lucra cu o funcție a unei variabile...

Variabilă aleatoare continuă

Analiza regresiei este o metodă de modelare a datelor măsurate și de studiere a proprietăților acestora. Datele constau din perechi de valori ale unei variabile dependente (variabila raspuns) si ale unei variabile independente (variabila explicativa)...

Caracteristicile limbajului matematicii

Pentru a descrie timpul, înțeles ca timpul lumii vieții, timpul existenței umane, limbajul fenomenologiei este cel mai convenabil. Dar o descriere fenomenologică a timpului și a eternității poate folosi limbajul matematic...

Metode numerice de rezolvare a ecuațiilor și sistemelor diferențiale obișnuite

De la reprezentarea grafică a soluției la un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi care descriu dinamica populațiilor a două specii care interacționează între ele în funcție de tipul „prădător-pradă” și ținând cont de interacțiunea intraspecifică, este clar...