Теория бифуркаций проявляется повсеместно в естествознании. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, не известны. Если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведении его решении может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо определить, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров

Весьма важным и продуктивным понятием естествознания является понятие динамической системы. Под динамической системой понимают математическую модель того или иного реального процесса, обладающую следующими свойствами. Во-первых, должен быть известен некоторый набор величин, который однозначно задает состояние системы. Во-вторых, должен быть известен закон, по которому можно однозначно определить состояние системы в любой момент времени, если известно ее начальное состояние. Это понятие является очень широким и поэтому примеры динамических систем можно найти практически во всех областях физики, биологии, химии и т.д.

Поведение динамической системы, в частности, установившиеся с течением времени режимы, могут зависеть от некоторых параметров. Оказывается, что при медленном изменении параметра могут происходить качественные перестройки установившихся режимов. Изучение таких перестроек при вариации параметров в динамических системах (причем, не только в отображениях, но и в дифференциальных уравнениях) составляет предмет теории бифуркаций. Она выявляет типичные бифуркации, изучает и классифицирует их. Теория бифуркаций является математической наукой.

Слово «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляет как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любо системе: динамической, экологической и т. д. Статья посвящена бифуркациям нелинейных динамических систем.

Часто при моделировании физических процессов часть переменных, изменения которых незначительны в рамках моделируемых процессов, принимают константами. В результате получается система более низкого порядка, чем исходная, но учесть влияние изменения членов, принятых за постоянные, становится невозможно. В этом случае члены можно рассматривать, как возмущения и описывать модель средствами теории бифуркаций.

Бифуркации допускают определенную классификацию. Во-первых, по минимальной величине размерности системы, для которой возможна данная бифуркация. А, во-вторых, по минимальному количеству параметров, необходимых для данного типа перестройки.

1. Понятие бифуркации

Бифуркации имеют фундаментальное значение при исследовании поведения динамических систем. Часто именно бифуркации определяют механизм возникновения многих сложных процессов. Остановимся на некоторых основных положениях теории бифуркации.

Пусть нелинейная модель автономной системы, представленная ДУ

\begin{equation} {dx \over dt} = F(x,\lambda) \end{equation}

характеризуется изменением параметра \(\lambda\). В реальной системе таким параметром может быть температура, давление, концентрация, коэффициент роста популяции и т. д. Следует подчеркнуть, что изучению подлежит не конкретная модель с фиксированным параметром, а семейство динамических моделей, поведение которых зависит от \(\lambda\).

При некотором значении параметра, называемым критическим значением, процессы в системе претерпевают качественное изменение. В этом случае структура (топология) разбиения фазового пространства (фазовой плоскости при размерности 2) на траектории также качественно изменяется. Такое свойство нелинейной системы принято называть бифуркацией (от латинского слова bifurcus – раздвоенный), а варьируемый параметр \(\lambda\), при котором наблюдается бифуркация – бифуркационным параметром.

Более строго, бифуркационным (критическим) значением параметра \(\lambda\) называется такое его значение, при котором динамическая система становится негрубой (структурно-неустойчивой).

Понятие грубости динамической системы было введено А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным. Динамическая система, представленная ДУ следующего вида

\[{dx_i \over dt} = F(x), x = 1, …, n \]

называется грубой в области \(G \subset {{\bf{R}}^n}\), если для любого \(\varepsilon > 0\) можно указать такое \(\delta > 0\), что при произвольных аналитических функциях \({Q_i}({x_1},\; \ldots ,\;{x_n}) = {Q_i}({\bf{x}})\) изменённой (другими словами – возмущённой) системы

\[\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {F_i}({\bf{x}}) + {Q_i}({\bf{x}}),i = 1,\; \ldots ,\;n\]

удовлетворяющих неравенству

\[\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {\left| {{Q_i}({\bf{x}})} \right| + \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {\frac{{\partial {Q_i}({\bf{x}})}}{{\partial {x_j}}}} \right|} } \right] < \delta } \]

существует такое взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение области в себя, при котором каждая траектория исходной (невозмущённой) системы отображается в соответствующую траекторию системы и обратно. При этом соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем \(\varepsilon \). Другими словами, грубыми являются такие динамические системы, у которых качественная структура фазовых траекторий не меняется при произвольном малом изменении правых частей исходного ДУ.

Для грубых динамических систем второго порядка выполняются следующие условия:

1. в области \(G \subset {{\bf{R}}^2} \)могут располагаться только простые особые точки (состояния равновесия) типа «узел», «фокус», «седло», т. е. такие, для которых действительные части корней характеристического уравнения линеаризованной системы отличны от нуля. Такие особые точки (их конечное число) называются грубыми;
2. в области \(G\) могут располагаться только простые предельные циклы, число которых конечно;
3. в области \(G\) отсутствуют сепаратрисы, идущие из седла в седло. Возможно существование сепаратрис сёдел, в одну сторону стремящиеся к узлу, фокусу, предельному циклу или при некотором значении \(t\) выходящие из области \(G\).

При нарушении этих условий динамическая система становится негрубой.

В соответствии с теорией бифуркаций в пространстве координат и параметра из точки бифуркации могут исходить несколько ветвей решения уравнения равновесия

\[{\bf{0}} = {\bf{F}}({\bf{x}},\;\lambda)\]

как устойчивых, так и неустойчивых. Графики зависимости координат положений равновесия от \(\lambda\) представляют собой бифуркационные диаграммы.

Простейшим примером бифуркации может служить следующая система

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \lambda x\]

которая имеет решение \(x(t) = {x_0}{e^{\lambda t}}\), определяющее экспоненциальный рост (убывание), если \(\lambda > 0(\lambda < 0)\) соответственно. Заметим, что приведенное выше уравнение определяет динамику цепной реакции \(\lambda > 0\) и распада ядра \(\lambda < 0\). Единственное состояние равновесия уравнения \(x = 0\) устойчиво при \(\lambda < 0\) и неустойчиво при \(\lambda > 0\).

Рис. 1.1 - Временная характеристика системы при различных значениях бифуркационного параметра

2. Классификация

Бифуркации принято классифицировать по числу нарушений условий гиперболичности собственных значений матрицы

\[{\bf{J}}({\bf{x}},\;{\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m}) = \left\| {\frac{{\partial {F_i}({\bf{x}},\;{\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m})}}{{\partial {x_j}}}} \right\|\]

Неподвижная точка называется гиперболической, если матрица Якоби \({\bf{J}}\), определённая в ней, не содержит собственных значений \({s_k} \) с нулевой действительной частью, т. е. \({\rm{Re}}\,{s_k} \ne 0\).

При рассмотрении многопараметрического пространства \(\Lambda \) точка этого пространства (\(\lambda \in \Lambda \)), в которой происходит качественное изменение поведения динамической системы, именуется точкой бифуркации. Для пространства \(\Lambda \) характерна задача определения числа параметров \(\{ {\lambda _q}\} \), которые должны присутствовать в модели для того, чтобы данная бифуркация относилась к типичной.

Собственные значения \({s_k} \) матрицы \({\bf{J}}\) представляют собой функции от параметров, т. е. \({s_k}({\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m})\). Тогда условия нарушения гиперболичности вида \({\rm{Re}}\,{s_k} = 0\) определяются системой уравнений, составленных относительно параметров. Например, для того, чтобы два действительных собственных значения одновременно обратились в ноль, необходимо найти решение системы двух уравнений относительно неизвестных

\[\begin{array}{l}
{s_1}({\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m}) = 0\\
{s_2}({\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m}) = 0
\end{array}\]

При этом возможны следующие типичные ситуации:

• если \(m = 1 \) , то решение в общем случае отсутствует; бифуркация не обнаруживается;
• если \(m = 2 \), то возможно решение; бифуркация может произойти в одной или нескольких точках \(\Lambda \);
• если \(m > 2 \), то в типичных случаях негиперболические точки будут располагаться на поверхности размерности \(m — 2 \) в \(\Lambda \) , т. е. могут образовываться поверхности бифуркации.

В общем случае, если необходимо удовлетворить \(k \) условиям нарушения гиперболичности, то возможные точки бифуркации будут располагаться на \((m — k)\) -мерной поверхности. Величину \(k \), определяющую количество условий нарушения гиперболичности, называют коразмерностью бифуркации. Разность между размерностью пространства и размерностью поверхности бифуркации представляет собой коразмерность поверхности.

Коразмерность бифуркации показывает, каким числом параметров должна определяться динамическая система, чтобы наблюдаемая в ней бифуркация была типичная. Другими словами, коразмерность бифуркации – наименьшая размерность пространства \(\Lambda \), в котором возможна бифуркация соответствующего типа. В дальнейшем для простоты понимания основных положений теории бифуркаций целесообразно ограничиться рассмотрением бифуркаций коразмерности 1, которые наблюдаются в однопараметрических системах. С бифуркациями более высокого порядка можно ознакомиться в специальной литературе.

Изучение распространённых типов бифуркаций производится на моделях первого и второго порядков, представленных определёнными ДУ. При этом в линеаризованных моделях возникает одно нулевое или два мнимых собственных значений матрицы Якоби.

2.1 Бифуркации в системах с простым движением

Негрубость системы означает негрубость тех или иных траекторий. Среди таких траекторий прежде всего выделяются устойчивые состояния равновесия и периодические движения, поскольку они являются математическим образом стационарных состояний и автоколебаний.

Состояние равновесия n-мерной системы \(\mathop x\limits^. = X(x)\) точка \(M({x^*})\), где \({x^*}\) — решение системы \(X(x) = 0\). Оно негрубое, если среди \({\lambda _{1,}}{\lambda _2}, …{\lambda _n}\) — корней характеристического уравнения \(\det (\frac{{\partial X({x^*})}}{{\partial x}} — \lambda E) = 0\) имеются корни, лежащие на мнимой оси. В случае, если \({\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} < 0,i = 1,…n \), состояние равновесия является устойчивым. Если имеются корни как с отрицательной, так и с положительной реальной частью, то состояние равновесия носит название седлового. К нему будут стремиться траектории как при \(t \to + \infty \), так и при \(t \to — \infty \) , в совокупности образуя устойчивое \({W^s}\) и неустойчивое \({W^u}\) многообразия. Периодическое решение \(x = \phi (t) \) этой системы будет негрубым, если среди мультипликаторов \({\rho _1},{\rho _2},…{\rho _{n — 1}}\) имеются равные по модулю 1. Если же \(\left| {{\rho _i}} \right| < 1\), периодическое движение устойчивое, и седловое, если среди мультипликаторов есть как лежащие внутри единичного круга, так и вне его.

В настоящее время основные (коразмерности 1) локальные и глобальные бифуркации таких траекторий подробно изучены.

Устойчивое состояние равновесия может:

1. исчезнуть, слившись с неустойчивым. В момент бифуркации у состояния равновесия, называемого седло-узел, только один характеристический корень лежит на мнимой оси и равен нулю.
2. потерять устойчивость. При этом из состояния равновесия будет рождаться (влипать в него) устойчивое (неустойчивое) периодическое движение, если в момент бифуркации состояние равновесия устойчиво (неустойчиво). Эта бифуркация, объясняющая генерацию колебаний, носит название Андронова-Хопфа.

Устойчивое периодическое движение может:

• исчезнуть, слившись с неустойчивым в момент бифуркации. Для \(n > 2\) негрубое периодическое движение носит название седло-узлового.
• потерять устойчивость с рождением устойчивого
  • периодического движения удвоенного периода, если мультипликатор равен (-1),
  • двумерного инвариантного тора, если \({\rho _{1,2}} = {e^{ \pm i\phi }}\), где \(\phi \ne 0,\pi ,\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3}\).

Устойчивые периодические движения могут также рождаться в результате следующих глобальных бифуркаций:

1. из траектории, идущей из седла с характеристическими корнями \({\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} < 0\), \(i=1, … ,n-1\), и седловой величиной \(\max {\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} + {\lambda _n} < 0\) в то же седло,
2. из траектории, идущей из седло-узла в него при исчезновении состояния равновесия,
3. при исчезновении седло-узлового периодического движения, все траектории неустойчивого многообразия которого, образуют в совокупности сильно сжимающуюся трубку, навивающуюся на периодическое движение. Эта бифуркация называется «катастрофой голубого неба» и ее особенность состоит в том, что при стремлении параметра к бифуркационному значению длина периодических движений стремится к бесконечности.

В случае коразмерности 1 седловые периодические движения могут рождаться из траектории, идущей 1) из седла в него же, 2) из негрубого состояния равновесия типа седло-седло в него же при его исчезновении (такое состояние равновесия образуется при слиянии двух грубых седел.)

Все перечисленные бифуркации не выводят из класса систем с простым поведением траекторий.

2.2 Бифуркации в системах со сложным движением

Основным признаком системы со сложным поведением траекторий является существование грубого предельного множества, состоящего из траекторий седлового типа, в котором всюду плотны постоянные движения и есть всюду плотная траектория. Такие множества называются гиперболическими. Наиболее универсальный критерий существования таких множеств связан с гомоклинической орбитой Пуанкаре - двояко асимптотической траекторией к седловому постоянному движению, по которой его устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются без касания. Наличие такой структуры гарантирует существование в любой ее малой окрестности одномерного гиперболического множества, но неустойчивого. По этой причине бифуркации, связанные с появлением или исчезновением гиперболического множества, получили общее название гомоклинических. Другим типичным случаем систем со сложным поведением траекторий являются системы с гомоклиническими петлями седло-фокуса с положительной седловой величиной. Гомоклинические бифуркации подразделяются на два типа: граничные, объясняющие переходы от простой динамики к сложной, и внутренние. Характерным примером бифуркации 1-го типа, показывающим, что системы с простой и сложной динамикой могут быть разделены бифуркационной поверхностью, является бифуркацией исчезновения состояния равновесия типа седло-седло с не менее, чем двумя двояко асимптотическими траекториями, а также ряд бифуркаций систем с негрубой гомоклинической траекторией Пуанкаре. Однако такому переходу может предшествовать бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода Шарковского-Фейгенбаума. Отметим также задачу о разрушении тора в связи с проблемой синхронизации.

В случае внутренних бифуркаций одной из основных задач является выделение в пространстве динамических систем областей негрубых систем. Впервые на это необычное явление было указано Смейлом в начале 60-х годов. Но наибольшую известность получили области Ньюхауса, в которых всюду плотны системы с негрубыми гомоклиническими траекториями Пуанкаре, имеющие постоянного движения любого порядка вырождения. Из этого следует вывод - для нелинейной динамики: полный качественный анализ моделей, допускающих негрубую гомоклиническую траекторию Пуанкаре, не реалистичен.

С открытием динамического хаоса в теории бифуркаций открылась новая глава, связанная с теорией странных аттракторов – притягивающих предельных множеств с неустойчивым поведением траекторий. В отличие, например, от постоянных движений, странные аттракторы не имеют унифицированной природы: они могут быть как многообразием (гладким или негладким), так и множествами с весьма сложной теоретико-множественной структурой. Исходя из интересов нелинейной динамики, от странных аттракторов требуется, чтобы они сохраняли свои свойства при малых возмущениях системы. Естественно, это так для гиперболических аттракторов. Но анализ ряда моделей показал, что таковыми могут быть и негрубые аттракторы. Характерным примером является странный аттрактор модели Лоренца \(\mathop x\limits^. = — \sigma (x — y),\mathop y\limits^. = — y + rx — xz,\mathop z\limits^. = — bz + xy\), негрубость которого обусловлена тем, что состояние равновесия типа седло принадлежит странному аттрактору. В размерности n>3 могут быть негрубые аттракторы, содержащие седло-фокус. Поскольку последние допускают гомоклинические касания, их (по выше приведенным причинам) принято называть «дикими». Понятно, что изучение бифуркаций, приводящих к возникновению странных аттракторов, стало одной из актуальных задач. Исторически эта проблема возникла в гидродинамике в связи с объяснением возникновения турбулентности. Именно в этой связи в 40-х годах Ландау и Хопф предложили такое объяснение на примере каскада бифуркаций торов с повышением их размерности. Гидродинамическое происхождение имеет и модель Лоренца. Здесь переход от простой динамики к странному аттрактору происходит в результате двух гомоклинических бифуркаций: граничной бифуркации гомоклинической восьмерки-бабочки седла, в результате которой рождается неустойчивое одномерное гиперболическое множество, и внутренней бифуркацией гомоклинического контура в момент, когда обе траектории, выходящие из седла, впервые устремятся к седловым постоянным движением, появившимся в результате граничной бифуркации. Однако такой, сравнительно простой сценарий, обусловлен тем, что модель Лоренца обладает симметрией \((— x, — y) \to (x,y)\). Отметим также следующий результат, имеющий пока чисто математическое значение, — ряд гиперболических аттракторов (соленоид Смейла-Вильямса, аносовский тор), могут рождаться в результате глобальных бифуркаций, связанных с исчезновением седло-узловых постоянных движенй и торов. Помимо странных аттракторов во многих прикладных исследованиях встречаются предельные множества, которые можно назвать квазиаттракторами, поскольку в них, кроме гиперболических множеств, содержатся устойчивые постоянные движения, причем даже в счетном множестве. Подобная ситуация возникает, например, в трехмерных системах с отрицательной дивергенцией. В компьютерных исследованиях динамика модели в областях Ньюхауса может вполне ассоциироваться с хаотическим поведением траекторий, поскольку п.д. могут иметь весьма большие периоды и узкие области притяжения.

3. Мягкая и жесткая потеря устойчивости

3.1 Понятие мягкой и жесткой потери устойчивости

Бифуркации условно можно разделить на мягкие и жёсткие, что наглядно демонстрируется следующим примером. На рис. 3.1 и рис. 3.2 изображён перестраиваемый профиль с шариком. В результате изменения какого-либо фактора (параметра), исходный профиль изменяет свою конфигурацию таким образом, что устойчивое равновесное состояние шарика теряется. При этом «рождаются» два новых устойчивых состояния равновесия, в один из которых и сваливается шарик. Вновь появившиеся состояния равновесия перестроившегося профиля располагаются в непосредственной близости от начального состояния равновесия, которое потеряло устойчивость. Бифуркации такого типа называют мягкими. Новый режим функционирования как бы постепенно появляется из режима, потерявшего устойчивость, и сосуществует рядом с ним.

Рис. 3.1 - перестраиваемый профиль с шариком

Характер перестроения профиля, изображённого на рис. 3.2, иной. Для значения параметра меньше критического шарик находится в устойчивом равновесном состоянии. Одновременно существует ещё одно потенциальное неустойчивое равновесное состояние. При перестроении профиля для критического значения параметра устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно. Далее они оба исчезают, и система «скачком» выбирает новый режим, который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима. Бифуркации такого типа относятся к жёстким. Именно жёсткие (скачкообразные) бифуркации в первую очередь являются предметом исследования теории катастроф.

Рис. 3.2 - перестраиваемый профиль с шариком

4. Виды бифуркаций

В следующем разделе будут описаны основные виды и примеры бифуркаций как непрерывных, так и дискретных (отражений) функций.

4.1 Касательная (седло-узловая) бифуркация

Пример седло-узловой бифуркации рассмотрим на примере системы, описываемой д.у.:

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \lambda — {x^2}\]

где \(\lambda \) - варьируемый параметр. Равновесные решения \(x_{{\rm{1}}{\rm{,2}}}^{\rm{}} = \pm \sqrt \lambda \) уравнения определены только для \(\lambda \ge 0\); при \(\lambda < 0\) равновесные состояния отсутствуют. Значение \(\lambda = 0\) является бифуркационным. На рис. 4.2 изображена соответствующая бифуркационная диаграмма. Как видно из рисунка, из точки бифуркации \((x = 0,\;\lambda = 0)\) выходят две ветви равновесных состояний, одна из которых устойчивая, а вторая - неустойчивая. При варьировании параметра в сторону увеличения значений из «ничего» рождаются два состояния равновесия, одно из которых устойчиво. Бифуркации такого рода относят к типу «седло-узел».

Рис. 4.1 - Временная характеристика системы с касательной (седло-узловой) бифуркацией

Рис 4.2 - Диаграмма касательной (седло-узловой) бифуркации

4.2 Транскритическая бифуркация (бифуркация типа «обмен устойчивости»)

Бифуркацию типа «обмен устойчивости» продемонстрируем на системе

\[\frac{{dx}}{{dt}} = x\lambda — {x^2}\]

Уравнение имеет два равновесных решения: \(x_1^{\rm{}} = 0,\;x_2^{\rm{}} = \lambda \). Первое решение устойчиво при и неустойчиво при; второе – устойчиво при \(\lambda < 0\) и неустойчиво при \(\lambda > 0\). Принято говорить, что оба решения «обмениваются устойчивостью» в точке бифуркации \((x = 0,\;\lambda = 0)\). На рис. 4.3, представлены соответствующие графики функций.

Рис. 4.3 - Временная характеристика системы с транскритической бифуркацией

Рис. 4.4 - Диаграмма транскритической бифуркации

4.3 Бифуркация «вилка»

Бифуркация типа «вилка» описывается ДУ вида

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \lambda x — {x^3}\]

Это уравнение имеет одно равновесное решение \(x_1^{\rm{}} = 0 \) при \(\lambda < 0\) и три равновесных решения \(x_1^{\rm{}} = 0,\;x_{{\rm{2}}{\rm{,3}}}^{\rm{}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda > 0\). Соответствующие графики функций (рис. 4.6) симметричны относительно оси \(x\). В данном случае из точки бифуркации выходят три ветви равновесных состояний: две устойчивые и одна неустойчивая.

Рис. 4.5 - Временная характеристика системы с бифуркацией «Вилка»

Рис. 4.4 - Диаграмма бифуркации «Вилка»

Бифуркация типа «вилка» широко рассматривается в теоретической физике, поскольку на ней основываются некоторые теории, объясняющие спонтанное нарушение симметрии (устойчивая равновесная точка \(x_1^{\rm{}} = 0 \) при \(\lambda < 0\) отвечает симметричному состоянию, например, отсутствию намагниченности, а рождающиеся устойчивые точки равновесия \({x^{\rm{}}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda > 0\) – состоянию с нарушенной симметрией). В частности, на этой бифуркации основана теория переходов II рода, предложенная Л. Д. Ландау. В ней чаще всего роль параметра \(\lambda\) играет отклонение температуры от критического значения, а величина \(x\) носит название «параметр порядка».
Рассмотренные бифуркации называются суперкритическими или нормальными. Их особенность заключается в том, что нелинейные члены \({x^2}\) и \({x^3}\) соответствующих уравнений оказывают влияние, способствующее получению устойчивых равновесных состояний системы. Однако при изменении знаков перед нелинейными членами, последние будут оказывать уже дестабилизирующее влияние на систему. В этих случаях возникают субкритические или обратные бифуркации.

4.4 Бифуркация Андронова – Хопфа (Hopf)

Кроме бифуркаций состояний равновесия в динамических системах при изменении параметра может происходить ещё одна перестройка структуры фазового портрета. Этот тип бифуркации рассматривает рождение предельного цикла из неподвижной точки и является более сложным, чем представленные выше.
Пусть нелинейная модель описывается следующим д. у.:

\[\frac{{dz}}{{dt}} = (\mu + j\eta)z — z{\left| z \right|^2}\]

где \(z \) – комплексная переменная; \(\mu + j\eta \) – комплексный параметр, причём \(j \) – мнимая единица, \(\mu \) – варьируемый бифуркационный параметр.

Уравнение представляет собой комплексный аналог бифуркации типа «вилка». С целью определения всех равновесных решений необходимо произвести замену комплексной переменной \(z \):

где \({x_1}\) и \({x_2}\) новые вещественные переменные.

В результате подстановки \(z \) в исходное ДУ получается система из двух уравнений первого порядка:

\[\begin{array}{l}
{{\dot x}_1} = [\mu — (x_1^2 + x_2^2)]{x_1} — \eta {x_2}\\
{{\dot x}_2} = [\mu — (x_1^2 + x_2^2)]{x_2} + \eta {x_1}
\end{array}\]

Таким образом, здесь осуществлён переход к модели второго порядка с вещественными параметрами. Полученные уравнения связаны между собой через комплексную переменную \(z \) и имеют следующие два стационарных решения:

\[{x_1} = {x_2} = 0 \ при \ z = 0 \\
x_1^2 + x_2^2 = {\left| z \right|^2} = \mu \ при \ z \ne 0\]

Первое решение является неустойчивым и совпадает с точкой бифуркации, а второе решение определяет окружность радиуса \(\sqrt \mu\) в пространстве координат \(({x_1},\;{x_2},\;\mu)\). На рис. 4.5 изображены фазовые траектории при фиксированных \(\mu \).

Рис. 4.5 - Фазовый портрет системы с бифуркацией Андронова – Хопфа

4.5 Бифуркации циклов

Образование в динамических системах второго порядка предельных циклов – соответствует бифуркации Андронова–Хопфа. Так, для модели, представленной системой ДУ

\[\begin{array}{l}
\frac{{d{x_1}}}{{dt}} = {x_2} — {x_1}(x_1^2 + x_2^2 — \lambda)\\
\frac{{d{x_2}}}{{dt}} = — {x_1} — {x_2}(x_1^2 + x_2^2 — \lambda)
\end{array}\]

точка \(\lambda = 0\) является бифуркационной точкой. При изменении \(\lambda \) с отрицательных значений на положительные от нулевого равновесного состояния \(({x_1} = 0,{x_2} = 0)\) ответвляется периодическая орбита \(x_1^2 + x_2^2 = \lambda \), соответствующая устойчивому предельному циклу. При этом происходит изменение характера особой точки: из устойчивой она становится неустойчивой (рис. 4.6).

Рис. 4.6 - Фазовый портрет системы с бифуркацией циклов

4.6 Бифуркация удвоения периода

Теперь рассмотрим бифуркации отражений. Одномерное отображение – это простейшая модель эволюционного процесса, когда состояние системы характеризуется единственной переменной, а время – дискретно. Примером может служить динамика численности биологической популяции, если наблюдение за ее численностью производится, например, один раз в год.

Простейшей моделью, описывающей бифуркацию удвоения периода, может служить логистическое отображение

\[{x_{n + 1}} = 1 — \lambda x_n^2\]

Его неподвижные точки ищутся из решения соответствующего квадратного уравнения #\({x_0} = 1 — \lambda x_0^2\), так что

\[{x_0} = \frac{{ — 1 \pm \sqrt {1 + 4\lambda } }}{{2\lambda }}\]

При \(\lambda = -0.25\) имеет место касательная бифуркация, в результате которой возникают неустойчивая и устойчивая точки.

Построим бифуркационную диаграмму (Рис. 4.7) с помощью команды математического пакета Maxima.

И средневековый латинский furcatus - раздвоенный, от латинского furca - двузубые вилы), разветвление, раздвоение. В теории колебаний и теории динамических систем бифуркация - это перестройка характера движения реальной системы (физической, химической, биологической), переход её в новое качественное состояние при малом плавном изменении одного или нескольких параметров. Значения параметров, при которых наблюдается бифуркация, называются бифуркационными. Математически бифуркация - это изменение структуры разбиения фазового пространства динамической системы на траектории при малом изменении её параметров.

Теория бифуркации даёт возможность понять как физические явления в механике (поведение частицы в потенциальной яме), оптике (условие возникновения лазерной генерации), теории колебаний (автоколебания), так и некоторые химические процессы (например, колебательные реакции типа реакции Белоусова - Жаботинского). Кроме того, теория бифуркации применима для описания ряда явлений в экологии и динамике популяций, условий сосуществования видов (хищник - жертва), процессов эволюции и мутаций в биологии, взаимодействия и развития социальных систем и др.

Простейшим примером бифуркации является рассмотренное Л. Эйлером выпучивание в ту или иную сторону вертикально нагруженного стержня при превышении критической нагрузки (рис. 1). Теория бифуркации универсальна. Знание основных типов бифуркации позволяет существенно облегчить исследование реальных систем, предсказать характер новых движений, возникающих в момент перехода системы в качественно другое состояние, оценить их устойчивость и область существования.

Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в начале 20 века. Важнейший вклад в её развитие сделан А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным, которые ввели понятие грубости (структурной устойчивости) динамических систем на плоскости. Грубые системы сохраняют качественную структуру разбиения фазового пространства на траектории при малых изменениях параметров. Нарушение условий грубости происходит при бифуркационных значениях параметров, когда система становится негрубой. Наиболее распространёнными типами поведения систем различного происхождения являются состояния равновесия и периодического движения. Математическим образом периодического движения является предельный цикл. Теория бифуркации для систем, обладающих состояниями равновесия и предельными циклами, разработана в основном А. А. Андроновым и его учениками.

Система находится в устойчивом состоянии (состоянии устойчивого равновесия), если при малом отклонении от него она возвращается вновь к этому состоянию (рис. 2а). В этом смысле такие положения равновесия словно притягивают к себе, поэтому они называются аттракторами (от английский attract - притягивать). Каждый аттрактор имеет свою область притяжения - множество начальных условий (координат и скоростей шарика, как на рисунке 2а), при отклонении от которых система с течением времени возвращается в это же состояние. Система находится в состоянии неустойчивого равновесия, если при малом отклонении от него она не возвращается в это состояние (рис. 2б).

Система, находящаяся в устойчивом стационарном состоянии, может испытывать бифуркацию, когда оно теряет устойчивость, например сливается с неустойчивым (рис. 3а-в). В этом случае с переходом параметра через бифуркационное значение (рис. 3б) система скачком переходит в другую область, удалённую от исходной (рис. 3в).

Бифуркация, при которой состояние устойчивого равновесия системы, наблюдаемое до перехода параметра через точку бифуркации, сменяется устойчивым периодическим движением, была исследована А. А. Андроновым и Э. Хопфом и носит их имя. Другой тип бифуркации Андронова - Хопфа - это жёсткое возбуждение, когда параметр системы изменяется так, что неустойчивый предельный цикл стягивается к стационарному устойчивому состоянию и в момент бифуркации сливается с ним. При этом область притяжения стационарного состояния системы и размеры предельного цикла уменьшаются до нуля, так что система теряет устойчивость и скачком переходит на другой режим движения.

Устойчивое периодическое движение также может претерпеть бифуркацию, либо слившись с неустойчивым периодическим движением, либо потеряв свою устойчивость. В последнем случае из периодических движений могут возникнуть периодические движения удвоенного периода или квазипериодические колебания (так называемый двумерный инвариантный тор). Квазипериодические колебания - это движения с двумя или более несоизмеримыми (рационально независимыми) частотами. Такие колебания наблюдаются, например, в системе двух связанных маятников с частотами ω 1 и ω 2 при ω 1 /ω 2 ≠ k/m, где k и m целые числа.

В нелинейных системах при изменении параметров допустима конечная (или даже бесконечная) последовательность бифуркаций, приводящая к появлению динамического хаоса (смотри также Странный аттрактор).

Лит.: Андронов А. А. и др. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М., 1967; Арнольд В. И. и др. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1986. Т. 5; Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М., 1990.

Диссипативные структуры

Диссипативная структура - одно из основных понятий теории струк­тур И. Пригожина. Система в целом может быть неравновесной, но уже определенным образом несколько упорядоченной, организован­ной. Такие системы И. Пригожинназвал диссипативными структурами (от лат. dissipation - разгонять, рассеивать свободную энергию), в которых при значительных отклонениях от равновесия возникают упорядоченные состояния. В процессе образования этих структур энтропия возрастает, изменяются и другие термодинамические функции системы. Это свидетельствует о сохранении в целом ее хаотичности. Диссипация как процесс рассеяния энергии играет важную роль в об­разовании структур в открытых системах. В большинстве случаев дис­сипация реализуется в виде перехода избыточной энергии в тепло. Образование новых типов структур указывает па переход от хаоса и беспорядка к организации и порядку. Эти диссипативные динамические микроструктуры являются прообразами будущих состояний си­стемы, так называемых фракталов (от лат. fractus - дробный, изрезан­ный). Большинство фракталов либо разрушается, полностью так и не сформировавшись (если они оказываются невыгодными с точки зре­ния фундаментальных законов природы), либо иногда остаются как отдельные архаичные остатки прошлого (например, древние обычаи пародов, древние слова и т. д.). В точке бифуркации (точке ветвления) идет своеобразный естественный отбор фрактальных образований. «Выживает» образование, оказавшееся наиболее приспособленным к условиям окружающей среды.

При благоприятных условиях новая структура (фрактал)«разра­стается» и преобразуется постепенно в новую макроструктуру - аттрактор. При этом система переходит в новое качественное состояние. В этом новом состоянии система продолжает свое наступательное дви­жение до следующей точки бифуркации, то есть до следующего нерав­новесного фазового перехода.

В целом диссипация как процесс рассеивания энергии, затухания движения и информации играет весьма конструктивную роль в образовании новых структур в открытых системах. Для диссипативной системы невозможно предсказать конкретный путь развития, поскольку трудно предугадать начальные реальные условия ее состояния.

Открытая нелинейная самоорганизующаяся система всегда подверже­на колебаниям. Именно в колебаниях система развивается и движется к относительно устойчивым структурам. Этому способствует посто­янный обмен системы энергией и веществом с окружающей средой.

Аномальные изменения в среде могут вывести систему из состояния динамического равновесия, и она станет неравновесной. Например, усиливающийся приток энергии в систему вызывает флуктуации и де­лает ее неравновесной и нерегулируемой. Организация системы все более расшатывается, изменяются свойства системы.

Если параметры системы достигают определенных критических значений, то система переходит в состояние хаоса.

Состояние максимальной хаотичности неравновесного процесса называют точкой бифуркации. Точки бифуркации - это точки равно­весия как устойчивого, так и неустойчивого точки «выбора» дальней­шего пути развития системы.

Для синергетики важны неустойчивые состояния. Появление не­устойчивых состояний создает потенциальную возможность системе перейти в повое качественное состояние. Оно будет характеризовать­ся новыми параметрами системы и новым режимом ее функциониро­вания.

В состояниях выбора пути, то есть в точках бифуркаций большое значение имеют случайные флуктуации (колебания). От них зависит, по какому пути из множества возможных система будет выходить из состояния неустойчивости. Многие флуктуации рассеиваются, неко­торые не оказывают влияния на дальнейший путь развития системы как очень слабые. Но при определенных, пороговых условиях за счет случайных внешних воздействий эти флуктуации могут усиливаться и действовать в резонанс, подталкивая систему к выбору определенно­го пути развития (определенной траектории).

В точках бифуркации самоорганизующаяся система, стоя перед вы­бором путей развития, образует множество диссипативных динамиче­ских микроструктур, как бы «эмбрионов» будущих состояний систе­мы - фракталов. Набор таких состояний в точках бифуркаций перед выбором дальнейшего пути и образует детерминированный, или дина­мический, хаос. Однако большинство этих будущих прообразов систе­мы - фрактальных образований гибнет в конкурентной борьбе. В ре­зультате выживает та микроструктура, которая является наиболее приспособленной к внешним условиям. Весь этот процесс носит слу­чайный и неопределенный характер. Выжившая в конкурентной борь­бе фрактальных образований формирующаяся макроструктура полу­чила название аттрактора (см. выше). В результате этого система пере­ходит в новое качественно более высокое организационное состояние. Направление движения этого аттрактора начинает подчиняться необ­ходимости. Система теперь ведет себя как жестко детерминированная.

Таким образом, аттрактор представляет собой отрезок эволюционного пути от точки бифуркации до определенного финала (им может быть другая точка бифуркации). Обычные аттракторы характеризуются ус­тойчивостью динамической системы. Аттрактор как бы притягивает к себе подобно магниту множество различных траекторий системы, определяемых разными начальными значениями параметров. Здесь очень важную роль играют кооперативные, совместные процессы, ко­торые основываются на когерентном, то есть согласованном, взаимо­действии всех элементов зарождающейся устойчивой структуры.

Аттрактор можно сравнить с конусом или воронкой, которые своей широкой частью обращены к зоне ветвления, то есть к точке бифурка­ции, а узкой частью - к конечному результату, то есть к упорядочен­ной структуре. Если система попадает в сферу действия определенно­го аттрактора, то она эволюционирует именно к нему. Разными путя­ми эволюция выходит па одни и те же аттракторы. В результате этого формируются параметры порядка, то есть устойчивого динамического состояния. В этом состоянии система может находиться до тех пор, пока в силу каких-либо причин, а также случайных флуктуации она вновь не придет в неустойчивое положение. Эти причины связаны с дисгармонией, несоответствием внутреннего состояния открытой си­стемы внешним условиям окружающей ее среды. Вследствие этого си­стема теряет свою устойчивость, возвращаясь к хаотическому состоя­нию, и у нее вновь появляется множество новых путей развития. Для наглядности бифуркационный процесс эволюции системы можно пред­ставить в виде бифуркационного дерева (рис. 8.1).

По подобному принципу в виде эволюционного дерева можно пред­ставить развитие биологических видов или антропогенеза.

В точках бифуркации даже маленькое случайное изменение может привести к серьезному возмущению системы. Поэтому самоорганизу­ющимся системам нельзя грубо навязывать определенные пути разви­тия. Здесь необходимо исследовать и найти пути совместной жизни природы и человека, стараться глубоко познать природу их совмест­ной эволюции, коэволюции.

Основы теории бифуркаций были заложены в начале XX в. фран­цузским математиком А. Пуанкаре и русским математиком А. Ляпу­новым. В дальнейшем эта теория получила развитие в школе русского физика А. Андронова. Теория бифуркаций в настоящее время находит широкое применение в междисциплинарных науках, а также в физике, химии, биологии.

Рис. 1. Бифуркационный характер эволюиии системы (X, Z- параметры системы, f - время, А и В - точки бифуркации)

Эволюционное движение системы обязательно связано с необхо­димостью перестройки адаптивных механизмов па качественно новый, более высокий уровень. Если система благодаря внутренней перестрой­ке смогла (успела) адаптироваться к новым условиям, то она приобре­тает новое, организационно более высокое, устойчивое состояние; если нет, то она разрушается и гибнет. В адаптированном устойчивом положении система может находиться до следующей случайной флуктуации, после которой ситуация повторяется. По этой схеме идет эво­люционное развитие всех систем па всех структурных уровнях, хотя скорость этого процесса различна. Так, химическая эволюция Вселен­ной продолжается от времени Большого взрыва до наших дней - это около 20 млрд лет, эволюция живой материи - 3,7 млрд лет, эволюция человека - около 2 млн лет, а человеческого общества - порядка не­скольких десятков тысяч лет.

С точки зрения синергетической самоорганизации жизнь зароди­лась в диапазоне сложных систем. В этом случае следует считать жизнь совокупностью («сборкой») физико-химических элементов.

С позиций синергетики закономерным представляется и эволюция мира живого, которая по линии развития древесных млекопитающих привела к появлению человека как биологического вида, а также чело­веческого общества как социальной системы.

Обзор

Бифуркация - это приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров.

Центральным понятием теории бифуркации является понятие (не)грубой системы (см. ниже). Берётся какая-либо динамическая система и рассматривается такое (много)параметрическое семейство динамических систем, что исходная система получается в качестве частного случая - при каком-либо одном значении параметра (параметров). Если при значении параметров, достаточно близких к данному, сохраняется качественная картина разбиения фазового пространства на траектории, то такая система называется грубой . В противном случае, если такой окрестности не существует, то система называется негрубой .

Таким образом в пространстве параметров возникают области грубых систем, которые разделяются поверхностями, состоящими из негрубых систем. Теория бифуркаций изучает зависимость качественной картины при непрерывном изменении параметра вдоль некоторой кривой. Схема, по которой происходит изменение качественной картины называется бифуркационной диаграммой .

Основные методы теории бифуркаций - это методы теории возмущений. В частности, применяется метод малого параметра (Понтрягина).

Бифуркация равновесий

В механических системах, как правило, установившиеся движения (положения равновесия или относительного равновесия) зависят от параметров . Значения параметров, при которых наблюдается изменение количества равновесий, называются их бифуркационными значениями . Кривые или поверхности, изображающие множества равновесий в пространстве состояний и параметров, называются бифуркационными кривыми или бифуркационными поверхностями . Прохождение параметра через бифуркационное значение, как правило, сопровождается изменением свойств устойчивости равновесий. Бифуркации равновесий могут сопровождаться рождением периодических и других, более сложных движений.

Основные понятия

См. также

Литература

1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М .: Наука, 1967.
2. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М .: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 488 с. (Справочная математическая библиотека.)
3. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М .: Наука. 1955.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теория бифуркаций" в других словарях:

Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Теория катастроф (значения). Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких… … Википедия

Теория катастроф: Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Катастрофизм (теория катастроф) система… … Википедия

Основная статья: Теория бифуркаций Каскад бифуркаций (Последовательность Фейгенбаума или сценарий удвоения периода) один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при… … Википедия

Совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ.… … Физическая энциклопедия

БИФУРКАЦИЯ, приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в нач. 20 в., затем эта теория была развита А. А. Андроновым и учениками … Энциклопедический словарь

- (от греч. katastrophe поворот, переворот), 1) совокупность приложений теории особенностей гладких (дифференцируемых) отображений и теории бифуркаций. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсеместно встречаются и их особенности … Естествознание. Энциклопедический словарь

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Юдович. Виктор Иосифович Юдович Дата рождения: 4 октября 1934(1934 10 04) Место рождения: Тбилиси, СССР Дата смерти … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Ласточкин хвост. Ласточкин хвост (англ. swallow tail) нерегулярная поверхность в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами. Рассмотрим… … Википедия

Основная статья: Теория бифуркаций Постоянная Фейгенбаума универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыта Митчеллом… … Википедия