Силы тяжести и вес
По закону всемирного тяготения все тела на Земле испытывают силу ее притяжения.
Сила тяжести тела -_это мера его притяжения к Земле (с учетом влияния вращения Земли):
G = т g; [ G ] = ML T -2 .
Сипа тяжести зависит от масс Земли и притягиваемого ею тела, а также от расстояния между ними. Расстояние от центра Земли до ее поверхности на полюсе меньше (6357 км), а на экваторе больше (6378 км), поэтому сила тяготения на экваторе на 0,2% меньше, чем на полюсах.
Так как Земля вращается вокруг своей оси, тела на ее поверхности испытывают действие центробежной силы инерции (фиктивной) в неинерционной (вращающейся) системе отсчета. Она больше всего на экваторе и уменьшает там силу тяготения еще на 0,3% (по сравнению с положением на полюсах). Поэтому сила тяжести равна геометрической сумме сил тяготения (гравитационной) и центробежной (инерционной).
На каждое звено и на все тело человека действуют силы тяжести как внешние силы, вызванные притяжением и вращением Земли. Равно-действующая параллельных сил тяжести тела приложена к его центру тяжести.
Когда тело покоится на опоре (или подвешено), сила тяжести, приложенная к телу, прижимает его к опоре (или отрывает от подвеса). Это действие тела на опору (нижнюю или верхнюю) измеряется весом тела . Вес тела (статический) - это мера воздействия тела в покое на покоящуюся же опору (или подвес), мешающую его падению. Значит, сила тяжести и вес тела не одна и та же сила. Вес всего тела человека приложен не к нему самому, а к его опоре (сила тяжести - дистантная, вес - контактная сила). В фазе полета в беге веса нет, это случай невесомости.
При воздействии головы на шейные позвонки взаимодействуют голова и позвоночный столб. Таким образом, вес головы относительно всего тела человека - сила внутренняя, относительно же позвоночного столба - внешняя. Вес, например, штанги, удерживаемой человеком, для него, конечно, внешняя сила.
При движении тела с ускорением, направленным по вертикали, возникает вертикальная сила инерции. Она направлена в сторону, противоположную ускорению. Если сила инерции направлена вниз, то она складывается со статическим весом; сила давления на опору при этом увеличивается. Если же сила инерции направлена вверх, то она вычитается из статического веса; сила давления на опору уменьшается. В обоих случаях измененный вес называют динамическим, он больше или меньше статического. Динамический вес штанги в руках спортсмена действует на него извне (внешняя сила). Динамический вес туловища при выпрыгивании вверх действует на ноги внутри тела (внутренняя сила относительно всего тела и внешняя - относительно ног).
Силы реакции опоры
Действие веса тела на опору встречает противодействие, которое называют реакцией опоры (или опорной реакцией).
Реакция опоры - это мера противодействия опоры действию на нее тела, находящегося с ней в контакте (в покое или движении). Она равна силе действия тела на опору, направлена в противоположную сторону и приложена к этому телу.
Обычно человек, находясь на горизонтальной опоре, испытывает противодействие своему весу. В этом случае опорная реакция, как и вес тела, направлена перпендикулярно к опоре. Это нормальная (или идеальная) реакция опоры. Если поверхность не плоская, то опорная реакция перпендикулярна к плоскости, касательной к точке опоры.
Когда вес статический, то реакция опоры статическая; по величине она равна статическому весу. Если человек на опоре движется с ускорением, направленным вверх, то к статическому весу добавляется сила инерции и возникает динамическая реакция опоры. Реакция опоры - сила пассивная (реактивная). Она не может сама по себе вызвать положительные ускорения. Но без нее - если нет опоры, если не от чего оттолкнуться (или не к чему притянуться) - человек не может активно перемещаться.
Если отталкиваться от горизонтальной опоры не прямо вверх, то и сила давления на опору будет приложена не под прямым углом
к ее поверхности. Тогда реакция опоры также не будет перпендикулярна к поверх-ности, ее можно разложить нанормальную и касательную составляющие. Когда соприкасающиеся поверхности ров-ные, без выступов, шипов и т. п. (асфальт, подошва ботинка), то касательная состав-ляющая реакции опоры и есть сила трения.
Касательная реакция может быть обу-словлена не только трением (как, напри-мер, между лыжей и снегом), но и другими взаимодействиями (например, шипы бего-вых туфель, вонзившиеся в дорожку).
Равнодействующая нормальной и каса-тельной составляющих называется об-щей реакцией опоры. Она только при свободном неподвижном положении над опорой (или под опорой) проходит через ЦМ человека. Во время же движений, отталкивания или амортизации она обычно не проходит через ЦМ, образуя относи-тельно него момент.
Познакомимся с законом, который позволяет вычислять силу трения. Он был открыт французом Г.Амонтоном и проверен его соотечественником Ш.Кулоном, поэтому называется законом Амонтона-Кулона.
Рассмотрим тело, лежащее на опоре (см. левую часть чертежа). Тело действует на опору своим весом W, который направлен вниз. По третьему закону Ньютона опора реагирует на тело силой R , равной по модулю весу тела и противоположно направленной. По правилу параллелограмма силу реакции R можно представить суммой силы нормальной реакции N по перпендикуляру к поверхности и силы тангенциальной реакции T вдоль поверхности. Эта составляющая реакции – сила трения покоя .
Если мы расположим опору горизонтально, то она тоже будет реагировать на тело согласно третьему закону Ньютона (см. среднюю часть чертежа). В этом случае, как и ранее, сила реакции опоры R будет равной по модулю весу тела W и противоположно направленной. Наряду с этим, сила реакции одновременно будет и силой нормальной реакции, а сила тангенциальной реакции, сила трения, будет отсутствовать. Если теперь к телу приложить внешнюю силу F, направленную вдоль поверхности, то мы снова вызовем появление силы тангенциальной реакции. В этом случае она будет силой трения скольжения (см. правую часть чертежа).
Опыты показывают: при движении одного тела по поверхности другого модуль силы трения скольжения пропорционален модулю силы нормальной реакции опоры, выражаясь законом Амонтона-Кулона :
Иначе говоря, закон Амонтона-Кулона указывает на пропорциональность двух сил: тангенциальной реакции опоры (силы трения скольжения) и нормальной реакции опоры (силы давления).
- Ранее мы умели силу трения только измерять, теперь...
- Закон Амонтона–Кулона носит двойное название потому, что...
- Чтобы пояснить новое обозначение в формуле закона, ...
- Если тело покоится, оно действует на опору только одной силой – ...
- Поскольку не только тело действует на опору, то есть происходит взаимодействие, то...
- Используя определение равнодействующей для двух сил «наоборот», ...
- Тангенциальная составляющая силы реакции опоры – это...
- При горизонтальном положении опоры её сила реакции, как и в первом случае, ...
- Во втором случае, согласно правилу нахождения равнодействующей, ...
- Справа на чертеже показано, что...
- Тангенциальная составляющая реакции опоры на правом чертеже является...
- Сформулируйте закон Амонтона-Кулона.
- Формула закона Амонтона-Кулона является скалярной, так как в неё входит...
- Формула закона Амонтона-Кулона с точки зрения математики...
Силы в механике
На любое тело, находящееся вблизи поверхности земли или лежащее на земле действует сила, равная произведению массы тела на ускорение свободного падения:.
\vec{F}_{T}=m\vec{g}
2. Сила реакции опоры (нормальной реакции, упругости опоры)
Сила, действующая о стороны опоры на лежащее на ней тело. Всегда направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения тела и опоры.
\vec{N} -сила реакции опоры.
Если тело лежит на внутренней поверхности сферы, сила \vec{N} направлена к центру сферы.
Если тело лежит на внешней поверхности сферы, сила \vec{N} направлена от центра сферы.
Сила, действующая со стороны нити (веревки, каната, троса, стержня и т.п.) на тело, которое висит на нити (веревке и т.п.). Направлена вдоль нити (и т.п.).
\vec{T}
4. Вес тела
Определение: - это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес.
Вес тела равен по модулю силе реакции опоры или силе натяжения нити, направлен в противоположную сторону и приложен к другому телу: либо опоре, либо нити.
\vec{N} -сила реакции опоры;
\vec{P} -вес тела.
\matrix{\vec{P}=-\vec{N}\\\mid\vec{P}\mid=\mid\vec{N}\mid}
\matrix{\vec{P}=-\vec{T}\\\mid\vec{P}\mid=\mid\vec{T}\mid}
5. Сила трения
a) Сила трения скольжения
Сила трения скольжения направлена противоположно относительной скорости тел и не зависит от площади соприкосновения поверхностей.
\vec{F}_{тр}
Модуль силы трения равен произведению коэффициента трения скольжения на модуль силы реакции опоры:
\vec{F}_{тр}=\mu N
\mu -коэффициент трения скольжения.
b) Сила трения качения
Действует на тело, которое не скользит, а катится по некоторой поверхности.
\vec{F}_{тр}
\vec{F}_{тр}=\mu _{1}N
\mu _{1} -коэффициент трения качения.
Коэффициент трения качения много меньше коэффициента трения скольжения
c) Сила трения покоя
Действует на тело, лежащее неподвижно на некоторой поверхности, которое мы пытаемся сдвинуть с места. Противоположно направлена внешней силе и равна ей по модулю.
\vec{F}_{тр.п.}
\vec{F}_{внешн.} - внешняя сила.
6. Схема решения задач
a) Нарисовать все силы, приложенные ко всем телам системы;
b) Выбрать системы отсчета (можно свою для каждого тела);
c) Спроектировать силы на оси;
d) Записать уравнения для второго закона Ньютона в проекциях для всех тел системы;
e) Записать кинематические связи, то есть связи между скоростями и ускорениями различных тел системы;
f) Решить полученную систему уравнений.
Отзывы
|
Александра |
|
Наталья Львовна замечательный преподаватель, который превосходно подготовит вас к ЕГЭ. Пришла к ней не с нулевыми знаниями, но хорошими их назвать нельзя. Хоть я и начала заниматься с января, мы успели пройти все темы на дополнительных занятиях. Каждая тема была разобрана и были прорешаны все типы задач, которые могли встретиться на экзамене. И действительно, на ЕГЭ я не столкнулась с трудностями в решении задач и написала экзамен на 94 балла. Очень советую этого преподавателя! |
|
Илья |
|
Заниматься у Натальи Львовны я начал с середины января, сразу после новогодних каникул. До начала занятий, были пробные экзамены по физике, а также подготовка к экзамену в школе, но результат был 60-70 баллов, при этом я получал отличные оценки по предмету. Занятия с Натальей Львовной проходили плодотворно и интересно, с этим репетитором я смог расширить свои знания по физике, а также закрепить школьную программу. Пройдя весенние интенсивы, я вышел на экзамен уверенным в своем результате. Получив 85 баллов, я смог поступить в желаемый ВУЗ с 1 волной. Хочу еще раз отблагодарить репетитора, который помог мне приблизиться к своим целям, сдать единый государственный экзамен на нужные баллы, поступить в вуз и начать обучение будущей профессии. |
|
Татьяна |
|
Моя дочь Полина училась в школе с «гуманитарным уклоном». Основными предметами с первого класса для неё были иностранные языки. Но, когда встал вопрос выбора профессии, дочь захотела поступать в технический ВУЗ. Очевидно, что школьная программа - не резиновая, и не удивительно, что при 8 учебных часах иностранных языков у неё был только один урок физики в неделю. Пришлось срочно искать решение. Нам повезло - мы нашли прекрасного репетитора. |
Реакции опор.
Мы выяснили, впрочем, это и без нас было известно, что у всего есть предел. За пределом у человека - смерть, у строительной конструкции - разрушение, но за жизнь сражаются все. Когда мы давили на линейку пальцем в одном из мест, где линейка опиралась на книги, победить линейку нам не удалось и мы своим пальцем чувствовали, как линейка упиралась, но не прогнулась ни на миллиметр. Причем, чем сильнее мы давили на линейку, тем сильнее она упиралась, при этом сила, с которой мы давили на линейку была сравнима с силой отпора.
В реальном мире все очень сложно - любое вещество, даже очень простое, устроено очень непонятно. Одни вещества состоят из атомов, соединенных в кристаллическую решетку, при этом материал может быть монокристаллическим или поликристаллическим. В других веществах атомы входят в состав молекул, которые могут быть и простыми и очень сложными. Но между всеми этими атомами или молекулами существует строгая связь. Все эти атомы и молекулы держатся на определенном природой расстоянии и когда мы давим пальцем на линейку, то мы пытаемся уменьшить расстояние между атомами или молекулами, а молекулы да атомы этого не хотят и сопротивляются, говоря научным языком возникает напряжение, т.е. расстояние между атомами или молекулами уменьшается, но если палец убрать, то атомы и молекулы вернутся на свои места.
Мало того, когда мы давим на линейку, деформации возникают не только в веществе линейки, но и книги, в том месте где на книгу опирается линейка, в веществе стола, на котором лежат книги и так далее, до самого земного ядра. Кстати говоря, для некоторых веществ термин напряжение можно понимать буквально - этот эффект положен в основу работы пьезоэлементов, но не будем отвлекаться. Так вот когда мы давим пальцем на линейку в точке опоры, то часть энергии переходит в упругие деформации, часть в неупругие деформации, часть в нагрев вещества, еще какая-то часть в звуковые колебания и так далее, одним словом процесс сложный, но вот за что я люблю строительную механику, так это за то, что в строймехе все просто, потому как строительная механика придумана не для того, чтобы усложнять нам жизнь, а чтобы жизнь и, в частности, расчет строительных конструкций, упрощать.
В строительной механике этот сложный комплекс событий называется реакцией опоры. Считается, что когда мы прикладываем силу (сосредоточенную нагрузку) на опоре (см. рис.4.1), то возникает реакция опоры, численно равная приложенной нагрузке и направленная противоположно - красота! Таким образом, если мы приложили на опоре нагрузку 1 Ньютон, то на опоре возникает реакция тоже 1 Ньютон, при этом на второй опоре никакой нагрузки нет, поэтому и реакция опоры равна 0. Такое допущение позволяет заменить опоры, точнее опорные связи, реактивными силами - реакциями опор. Для простоты восприятия можно измерять силы в килограмм-силах, 1 кгс ≈ 10 Н (если быть более точным, то 1 кгс = 9.81 Н). И теперь, если рассматривать балку висящей в воздухе, то для того, чтобы балка не падала, другими словами находилась в состоянии статического равновесия, достаточно в одной точке приложить к балке две равные по значению, но противоположно направленные силы.
Рисунок 4.1. Замена опорных связей реактивными силами - опорными реакциями.
Уравнения статического равновесия (проекции сил).
Вроде все просто, но на самом деле мы воспользовались всеми основными аксиомами статики:
1. При всяком воздействии одного тела на другое тело в другом теле возникает противодействие, равное по значению воздействию, но направленное противоположно. В данном случае противодействие - это реакция опоры.
2. Механическое состояние тела не изменится, если освободить тело от связей и приложить к тем же точкам тела силы, равные действовавшим на них силам реакций связей. В данном случае мы заменили опоры опорными реакциями.
3. Если тело под воздействием системы сил находится в состоянии равновесия (покоя) или продолжает двигаться с постоянной скоростью, то такая система сил, является уравновешенной.
Таким образом мы можем составить первых два уравнения, удовлетворяющие условиям статического равновесия системы:
∑ у = Q - R лев - R пр = 0 (5.1) - для сил, действующих вдоль оси у .
∑ х = 0 (5.2) - для сил (которых в данном случае нет), действующих вдоль оси х .
Примечание : так как горизонтальных сил в данном случае нет, то и горизонтальная опорная реакция R H лев = 0 , при замене опорных связей на реактивные силы не показана для упрощения восприятия.
Всех нас в школе учили, что ось х проходит горизонтально, а ось у - вертикально, нарушать эту традицию не будем (хотя принципиального значения это не имеет). Так как реакция на правой опоре равна нулю, то получается, что реакция на левой опоре равна действующей силе, оказывается - это тоже одна из аксиом статики:
4. Две силы, приложенные к некоему телу, считаются уравновешенными тогда и только тогда, когда они равны по величине и действуют по одной прямой в противоположные стороны.
5. Не нарушая равновесного состояния тела, к нему можно приложить или отнять от него любую уравновешенную систему сил.
4.1. Определение опорных реакций.
Теперь немного усложним задачу. Наша линейка (то есть балка) лежит на двух опорах и когда мы давим на линейку пальцем между опорами, а говоря по-научному, прикладываем сосредоточенную нагрузку, то реакция возникает на обеих опорах. Так как статическое равновесие системы мы можем наблюдать даже и невооруженным глазом, то логично предположить, что суммарная реакция опор численно равна приложенной нагрузке. Определить значение реакций опор можно простым графическим методом (по линиям влияния):
Рисунок 5.2 . Графическое отображение изменения реакций опор в зависимости от расстояния приложения нагрузки.
Если у нас нагрузка Q = 1 кгс приложена на левой опоре, то реакция на левой опоре (на графике обозначена синим цветом) будет R лев = 1 кгс, а на правой опоре R пр = 0 кгс. Если соединить эти значения, то мы получим прямоугольный треугольник, у которого нижний катет - это длина балки, второй катет - это реакция на опоре, к которой приложена нагрузка, гипотенуза в данном случае показывает изменение реакции опоры по длине балки, эта линия и называется линией влияния. Если изобразить то же самое для реакции на правой опоре, то мы получим точно такой же треугольник, но для наглядности изобразим его перевернутым. В итоге мы получили обычный прямоугольник из двух прямоугольных треугольников, но на самом деле это магический прямоугольник (номограмма), который без особых расчетов позволяет определить реакцию на любой опоре в зависимости от точки приложения нагрузки:
Рисунок 5.3 . Графическое определение реакций опор.
Например, расстояние между книгами 20 см. Это значит, что расстояние между опорами (пролет нашей балки) - 20 см, а в общем случае l . Длина балки измеряется по оси х . Если приложить сосредоточенную нагрузку на некотором расстоянии от левой опоры, обозначим его литерой а , то значение реакции левой опоры будет равно длине отрезка, проведенного перпендикулярно длинному катету синего треугольника, а значение реакции правой опоры - это длина отрезка, проведенного перпендикулярно длинному катету красного треугольника. В сумме они составляют единицу, так как мы принимали значение нагрузки равное 1.
Определить реакцию опор можно и математическими формулами, описывающими пропорциональность прямоугольных треугольников: Если нагрузка приложена на расстоянии а от опоры при общей длине балки l , то реакция на правой опоре будет:
R пр = В = Qа/l (4.1)
а реакция на левой опоре будет:
R лев = А = Q(l - а)/l (4.2)
Конечно при расчетах все пользуются формулами, но наглядность треугольников нам еще пригодится.
При определении реакции опор от действия распределенной нагрузки, сначала определяется равнодействующая сила, т.е. распределенная нагрузка сводится к сосредоточенной, а потом определяются реакции опор в зависимости от точки приложения сосредоточенной нагрузки. Если распределенная нагрузка является равномерно распределенной и приложена по всей длине балки, то реакции опор будут А = В = ql/2. Как определить реакции опор в других случаях, надеюсь, станет понятно из дальнейшего описания.
Уравнения изгибающего момента, третье уравнение статического равновесия системы
Если мы положим 20 см линейку на книги и надавим пальцем посредине, то линейка прогнется на некоторое расстояние, если мы возьмем 40 см линейку такого же сечения и из такого же материала, обопрем ее на книги, уложенные на расстоянии 40 см, и приложим к линейке точно такую же нагрузку, то расстояние, на которое прогнется линейка, будет больше, в чем же дело? ведь ни нагрузка, ни материал балки, ни сечение балки не изменились, изменилась только длина балки.
Строительная механика это чудо объясняет так: силы, действующие на балку, это одно, а вот изгибающий момент, возникающий в рассматриваемом поперечном сечении при действии силы - это совсем другое.
Все мы помним Архимеда и его радость при открытии принципа рычага, так вот этот принцип действует везде, суть его сводится к следующему: чем больше рычаг, тем меньшую силу можно приложить для совершения одной и той же работы.
В теоретической и строительной механике используется понятие плечо силы, как более корректное, таким образом считается, что внутренние напряжения, возникающие в поперечном сечении балки под действием нагрузки, прямо пропорциональны плечу действующей силы. А это значит, что реакции опоры - это силы которые пытаются изогнуть балку, при этом точка опоры рычага - это наша сосредоточенная нагрузка. Такое изменение значения момента в зависимости от плеча силы в математике называется изменением значения функции в зависимости от переменной х , таким образом получается, что значение момента в любой точке нашей балки можно описать уравнением М = Рx . Формула вроде бы не сложная, но очень важная.
Получается, что на участке балки от начала до точки приложения силы Q на балку действует только одна сила - реакция опоры R лев (для простоты реакции на опорах часто обозначаются большими буквами, так как опор бывает много, крайнюю левую опору принято обозначать - "А ") и тогда уравнение момента на этом участке будет выглядеть:
М = Ах (0≤ х < a) (6.1)
а на участке после точки приложения силы Q до конца балки на балку действуют две силы - реакция опоры А и сама сила Q и тогда уравнение момента будет выглядеть так:
М = Ах - Q(x - a) (a ≤ x < l) (6.2)
В точке В на правой опоре балки уравнение моментов будет выглядеть так:
М B = Аl - Q(l - a) + В(l - l) (x = l) (6.3)
Эти уравнения описывают статическое равновесие системы. Например, на шарнирных опорах никакого изгибающего момента нет и действительно, решение уравнения (6.1) при х = 0 дает нам 0 и решение уравнения (6.3) при х = l дает нам тот же 0. Таким образом уравнение (6.3) является третьим уравнением статического равновесия и может быть записано в следующем виде :
ΣМ В = Al - Q(l - a) = 0 (6.4)
А еще уравнения (6.1) и (6.2) позволяют определить значение момента в любой точке балки, а если быть более точным, то в любом рассматриваемом поперечном сечении балки. Более того, решая эти уравнения, мы пользуемся методом сечений, о котором речь чуть ниже, а пока рассмотрим следующий наглядный пример:
Балка на двух шарнирных опорах.
7.1. Для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине балки, определить изгибающий момент в любой точке поперечного сечения на левом участке балки проще простого: нужно умножить реакцию одной из опор на расстояние от этой опоры до точки приложения нагрузки (на участке балки от х=0 до х= l/2). В математическом выражении это будет выглядеть так:
М=(Q/2)x (7.1)
Так как в данном случае реакция каждой из опор равна половине от действующей нагрузки. Максимальное значение изгибающего момента также будет посредине, т.е. на расстоянии l/2 от начала балки и будет составлять:
M=(Q/2)(l/2) = Ql/4 (7.2)
Полное уравнение моментов, на участке где l/2 < x < l , выглядит так:
∑М х = (Q/2)х - Q(х - l/2) (7.3)
Под действием нагрузки и реакции опор на балку действует изгибающий момент, причем значение этого изгибающего момента для каждой точки, а правильнее выражаясь, поперечного сечения балки, разное. В опорных точках изгибающий момент равен 0, вне зависимости от того, где приложена нагрузка, так как опоры у нас шарнирные. Максимальный изгибающий момент действует в одном из поперечных сечений балки, когда сосредоточенная нагрузка приложена посредине.
Для наглядности при решении задач расчета конструкций принято строить "эпюры" изгибающего момента и действующих сил, чтобы потом было проще определить положение поперечного сечения в котором действуют максимальная поперечная или продольная сила или изгибающий момент. По своей сути эпюры - это графики для функций описываемых соответствующими уравнениями. Например, если нагрузка приложена посредине балки, то эпюры будут выглядеть так:
Рисунок 7.1 . Эпюры поперечных сил и моментов, действующих в поперечных сечениях балки.
Эпюра "Q" отображает изменение сил, действующих на балку, а точнее - изменение касательных напряжений в поперечных сечениях балки. Так по нашей эпюре видно, что вначале балки значение эпюры резко изменяется с 0 на Q/2 - это вступает в действие реакция опоры. Посредине балки, там где приложена сила Q , значение эпюры резко изменяется на величину "Q " и теперь составляет - Q/2 , в конце балки в действие вступает вторая реакция опоры равная Q/2 , таким образом значение эпюры изменяется с - Q/2 на 0 . Знаки "+" и "-" означают направление действия сил. Если сила направлена вверх (параллельно оси у ), то такая сила считается положительной, если сила направлена вниз, то такая сила считается отрицательной.
Эпюра "М" отображает изменение изгибающего момента, действующего на балку, а точнее - изменение нормальных напряжений в поперечных сечениях балки (о внутренних напряжениях, нормальных и касательных, речь чуть ниже). Так по нашей эпюре видно, что в начале балки изгибающий момент равен 0 и это логично так как плечо силы, в данном случае опорной реакции, равно нулю, далее значение изгибающего момента увеличивается пропорционально изменению длины плеча силы. Посредине балки, там где приложена сила Q , на эпюре "М" наблюдается перелом, так как в действие вступает еще одна сила - приложенная сосредоточенная нагрузка, которая в 2 раза больше по значению реакции опоры.
Далее под действием двух противоположно направленных, приложенных в разных точках и не одинаковых по значению сил значение изгибающего момента уменьшается и в конце балки на правой опоре значение изгибающего момента опять равно 0. По эпюре изгибающих моментов можно визуально определить значение максимального изгибающего момента в поперечном сечении балки.
В данном случае все просто и без эпюр вполне можно было бы обойтись, но в дальнейшем, если придется учитывать действие разных нагрузок, в том числе и распределенных, для балки на нескольких опорах или с защемленными концами, наличие правильно построенной эпюры изгибающего момента поможет точно определить положение поперечного сечения балки (и не только балки), в котором изгибающий момент - максимальный.
Даже без долгих математических расчетов видно, что чем ближе точка приложения нагрузки к середине балки тем больше значение момента и чем ближе точка приложения силы к одной из опор, тем ближе значение момента к нулю и это логично, максимальный момент возникает при максимальном плече действия силы, поэтому при расчете балки на динамические перемещающиеся сосредоточенные нагрузки (например по балке будут ходить люди или на балку будет опираться колесо автомобиля) нет необходимости рассчитывать сечение балки при всех положениях нагрузки, достаточно рассчитать балку на нагрузку, приложенную в самом слабом месте - посредине.
В данном случае знак "-" на эпюре моментов не более, чем условность. Каково бы ни было направление действия момента, в рассматриваемом поперечном сечении всегда будет и растянутая и сжатая зона. В данном случае эпюра показывает, что растянутой будет нижняя часть сечения. Вообще момент считается положительным, если пытается вращать балку по часовой стрелке относительно рассматриваемой точки сечения. Иногда считается наоборот, но это не более чем вопрос удобства. В данном случае по эпюре моментов уже видно, вверх или вниз будет прогибаться балка, без построения эпюр углов поворота и прогибов (об этих эпюрах поговорим чуть позже). Другими словами, намного важнее понимать, где в результате действия нагрузки будет сжатая, а где растянутая зона поперечного сечения балки, знак момента при этом имеет второстепенное значение.
Если взять ту же линейку, один конец линейки всунуть между книгами, а лучше между кирпичами, а второй конец оставить на весу, то мы получим модель консольной балки. Особенность консольной балки в том, что у нее только одна опора, причем жесткое защемление не позволяет балке свободно вращаться вокруг этой опоры. Так как опора только одна, то где бы мы ни приложили нагрузку к балке реакция опоры всегда будет равна приложенной нагрузке. Если мы как и в случае с балкой на шарнирных опорах попробуем убрать опору, заменив ее реакцией, то условие равновесия системы не будет соблюдаться, две равные по значению, противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой, будут вращать балку вокруг некоторой точки "о":
Рисунок 8.1 . Возникновение вращающего момента при приложении равных сил в разных точках.
Как видно из рисунка 8.1 и понятно из описания природы момента, чем больше расстояние между точками приложения сил, тем больше будет вращающий момент. Чтобы соблюсти условие равновесия системы нам необходимо приложить к балке другой вращающий момент, т.е. еще одну пару сил, которая будет пытаться вращать балку в противоположную сторону.
Изгибающий момент, возникающий на жесткой опоре консольной балки при действии сосредоточенной нагрузки:
M = -Qx (8.1)
Изгибающий момент, возникающий на жесткой опоре консольной балки при действии распределенной нагрузки по всей длине балки:
M = -(ql)l/2 = -ql 2 /2 (8.2)
На схеме это можно изобразить с помощью условного обозначения изгибающего момента (известного нам из первой части), но нас сейчас интересует конкретика. Так как балка у нас имеет вполне осязаемые высоту и ширину, то логично было бы приложить эти силы к балке, или, выражаясь более точно, к поперечному сечению балки и тут даже глазом, невооруженным сопроматом, видно, что чем больше высота балки, тем меньшие силы можно прикладывать к самому верху и к самому низу балки, чтобы значение момента было одинаковым:
Рисунок 8.2 . Увеличение значения сил при уменьшении высоты балки при одинаковом вращающем моменте.
При этом верхняя сила пытается балку растянуть, а нижняя сила пытается балку сжать. Вроде бы ничего сложного тут нет, все достаточно просто и понятно, но на самом деле мы открыли самую главную тайну сопромата:
Изгибающий момент, действующий на любую строительную конструкцию в некоторой точке, можно рассматривать как пару сил, действующих на поперечное сечение балки в этой точке.
Метод сечений
Такой подход позволяет нам при решении задач рассматривать не всю балку, а только ее часть, заменив отсутствующую часть парой сил, действующих на поперечное сечение балки. Так, например, мы могли бы не рассматривать всю балку (рисунок 7.2), а только правую половину, заменив левую половину моментом или парой сил.
А если в рассматриваемом поперечном сечении действуют касательные напряжения, определяемые по эпюре поперечных сил, и(или) нормальные напряжения, определяемые по эпюре нормальных сил, то для того, чтобы отсеченная часть балки находилась в равновесии, мы должны все эти нагрузки приложить к рассматриваемому поперечному сечению.
В этом и состоит суть метода сечений:
- При решении задач мы рассматриваем не всю балку, а только ее часть, отсеченную поперечным сечением.
- Чтобы эта часть оставалась в состоянии статического равновесия, мы должны приложить в рассматриваемом поперечном сечении внешние силы.
- Внутренние напряжения, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении - это реакция материала на действие внешних сил.
Таким образом, решая перечисленные выше уравнения, мы определяем значения внешнего изгибающего момента и теперь пришло время узнать, какой же будет на это реакция материала.
В данном случае мы приложили силы к самому верху и к самому низу балки (рисунок 8.2), но мы можем прикладывать эти силы в любых точках поперечного сечения балки, главное чтобы не изменялось значение внешнего момента. Сосредоточенные силы можно заменить распределенной нагрузкой, которая будет создавать такой же изгибающий момент, причем значение распределенной нагрузки может изменяться в зависимости от высоты балки и графически может быть обозначено так:
Рисунок 8.3. Изменение распределенной нагрузки по высоте балки.
Почему распределение нормальных напряжений по высоте поперечного сечения балки имеет такой странный вид, мы сейчас и узнаем.
Сила реакции опоры относится к силам упругости, и всегда направлена перпендикулярно поверхности. Она противостоит любой силе, которая заставляет тело двигаться перпендикулярно опоре. Для того чтобы рассчитать ее нужно выявить и узнать числовое значение всех сил, которые действуют на тело, стоящее на опоре.
Вам понадобится
- - весы;
- - спидометр или радар;
- - угломер.
Инструкция
- Определите массу тела с помощью весов или любым другим способом. Если тело находится на горизонтальной поверхности (причем неважно, движется оно или пребывает в состоянии покоя), то сила реакции опоры равна силе тяжести действующей на тело. Для того чтобы рассчитать ее умножьте массу тела на ускорение свободного падения, которое равно 9,81 м/с² N=m g.
- Когда тело движется по наклонной плоскости, направленной под углом к горизонту, сила реакции опоры находится под углом в силе тяжести. При этом она компенсирует только ту составляющую силы тяжести, которая действует перпендикулярно наклонной плоскости. Для расчета силы реакции опоры, с помощью угломера измерьте угол, под которым плоскость располагается к горизонту. Рассчитайте силу реакции опоры, перемножив массу тела на ускорение свободного падения и косинус угла, под которым плоскость находится к горизонту N=m g Cos(α).
- В том случае, если тело движется по поверхности, которая представляет собой часть окружности с радиусом R, например, мост, пригорок то сила реакции опоры учитывает силу, действующую по направлению из центра окружности, с ускорением, равным центростремительному, действующую на тело. Чтобы рассчитать силу реакции опоры в верхней точке, от ускорения свободного падения отнимите отношение квадрата скорости к радиусу кривизны траектории.
- Получившееся число умножьте на массу движущегося тела N=m (g-v²/R). Скорость должна быть измерена в метрах в секунду, а радиус в метрах. При определенной скорости значение ускорения, направленного от центра окружности, может сравняться, и даже превысить ускорение свободного падения, в этот момент сцепление тела с поверхностью пропадет, поэтому, например, автомобилистам, нужно четко контролировать скорость на таких участках дороги.
- Если же кривизна направлена вниз, и траектория тела вогнутая, то рассчитайте силу реакции опоры, прибавив к ускорению свободного падения отношение квадрата скорости и радиуса кривизны траектории, а получившийся результат умножьте на массу тела N=m (g+v²/R).
- Если известна сила трения и коэффициент трения, силу реакции опоры рассчитайте, поделив силу трения на этот коэффициент N=Fтр/μ.
