ЕДНОМЕРНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Концепцията за случайна променлива. Дискретни и непрекъснати случайни променливи. Функция на вероятностното разпределение и нейните свойства. Плътност на разпределението на вероятностите и нейните свойства. Числени характеристики на случайни величини: математическо очакване, дисперсия и техните свойства, стандартно отклонение, мода и медиана; начални и централни моменти, асиметрия и ексцес.

1. Концепцията за случайна променлива.

Случаенсе нарича величина, която в резултат на тестове приема една или друга (но само една) възможна стойност, предварително известна, променяща се от тест на тест и в зависимост от случайни обстоятелства. За разлика от случайното събитие, което е качествена характеристика на резултат от случаен тест, случайната променлива характеризира резултата от теста количествено. Примери за случайна променлива са размерът на детайла, грешката в резултата от измерването на всеки параметър на продукт или среда. Сред случайните променливи, които се срещат в практиката, могат да се разграничат два основни типа: дискретни променливи и непрекъснати.

Отделене случайна променлива, която приема краен или безкраен изброим набор от стойности. Например честотата на попаденията с три изстрела; броят на дефектните продукти в партида от бройки; броя на повикванията, постъпили на телефонната централа през деня; броят на отказите на елементите на устройството за определен период от време при тестването му за надеждност; броят на изстрелите преди първото попадение в целта и др.

непрекъснатое случайна променлива, която може да приема произволна стойност от някакъв краен или безкраен интервал. Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен. Например грешка при измерване на обхвата на радар; време на работа на чипа; производствена грешка на части; концентрация на сол в морската вода и др.

Случайните променливи обикновено се обозначават с букви и т.н. и техните възможни стойности -, ии т.н. За да зададете случайна променлива, не е достатъчно да изброите всички нейни възможни стойности. Необходимо е също така да се знае колко често едни или други негови стойности могат да се появят в резултат на тестове при едни и същи условия, т.е. необходимо е да се зададат вероятностите за тяхното възникване. Наборът от всички възможни стойности на случайна променлива и съответните им вероятности представлява разпределението на случайна променлива.

2. Закони за разпределение на случайна величина.

разпределителен законСлучайна променлива е всяко съответствие между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности. Казва се, че една случайна променлива се подчинява на даден закон за разпределение. Извикват се две случайни променливи независима, ако законът за разпределение на един от тях не зависи от това какви възможни стойности е приела другата стойност. В противен случай се извикват случайни променливи зависим. Извикват се няколко случайни променливи взаимно независими, ако законите за разпределение на който и да е брой от тях не зависят от това какви възможни стойности са приели другите количества.

Законът за разпределение на случайна променлива може да бъде даден под формата на таблица, под формата на функция на разпределение, под формата на плътност на разпределение. Таблица, съдържаща възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности, е най-простата форма за определяне на закона за разпределение на случайна променлива:

Табличното присвояване на закона за разпределение може да се използва само за дискретна случайна променлива с краен брой възможни стойности. Табличната форма за определяне на закона на случайна променлива също се нарича серия на разпределение.

За яснота разпределителните серии са представени графично. В графично представяне в правоъгълна координатна система всички възможни стойности на случайна променлива се нанасят по абсцисната ос, а съответните вероятности се нанасят по ординатната ос. След това изградете точки и ги свържете с прави сегменти. Получената фигура се нарича разпределителен полигон(фиг. 5). Трябва да се помни, че връзката на върховете на ординатите се извършва само за яснота, тъй като в интервалите между и, и и т.н. случайна променлива не може да приема стойности, следователно вероятностите за нейното появяване в тези интервали са равни на нула.

Полигонът на разпределение, подобно на серията на разпределение, е една от формите за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива. Те могат да имат много различни форми, но всички имат едно общо свойство: сумата от ординатите на върховете на разпределителния полигон, която е сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайна променлива, винаги е равна на един. Това свойство следва от факта, че всички възможни стойности на случайна променлива образуват пълна група от несъвместими събития, чиято сума от вероятностите е равна на единица.

Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

Насоки

върху изучаването на темата "Случайни променливи" от студенти от Счетоводния факултет за задочно обучение (NISPO)

Горки, 2013 г

случайни променливи

Дискретни и непрекъснати случайни променливи

Едно от основните понятия в теорията на вероятностите е понятието случайна величина . Случайна величина Извиква се количество, което в резултат на тестване от набор от възможни стойности приема само една и не е известно предварително коя.

Случайните променливи са дискретни и непрекъснати . Дискретна случайна променлива (DSV) се нарича случайна променлива, която може да приеме краен брой стойности, изолирани една от друга, т.е. ако възможните стойности на това количество могат да бъдат преизчислени. Непрекъсната случайна променлива (CRV) извиква се случайна променлива, всички възможни стойности на която напълно запълват определен интервал от реалната линия.

Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука X, Y, Z и др. Възможните стойности на случайни променливи са обозначени със съответните малки букви.

Записване
означава „вероятността една случайна променлива хще приеме стойност, равна на 5, равно на 0,28".

Пример 1 . Зарът се хвърля веднъж. В този случай могат да се появят числа от 1 до 6, които показват броя на точките. Означаваме случайната променлива х=(брой отпаднали точки). Тази случайна променлива в резултат на теста може да приеме само една от шест стойности: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следователно, случайната променлива хима DSV.

Пример 2 . Когато се хвърли камък, той прелита на известно разстояние. Означаваме случайната променлива х=(дистанция на полет на камък). Тази случайна променлива може да приема произволна, но само една стойност от определен интервал. Следователно, случайната променлива хима NSV.

Закон за разпределение на дискретна случайна величина

Дискретна случайна променлива се характеризира със стойностите, които може да приеме, и вероятностите, с които се вземат тези стойности. Съответствието между възможните стойности на дискретна случайна променлива и съответните им вероятности се нарича закон на разпределение на дискретна случайна променлива .

Ако всички възможни стойности са известни
случайна величина хи вероятности
появата на тези стойности, се смята, че законът за разпределение на DSV хе известно и може да се напише като таблица:

Законът за разпределение на DSV може да бъде изобразен графично, ако се начертаят точки в правоъгълна координатна система
,
, …,
и ги свържете с прави линии. Получената фигура се нарича многоъгълник на разпределение.

Пример 3 . Зърното, предназначено за почистване, съдържа 10% плевели. 4 зърна са избрани на случаен принцип. Означаваме случайната променлива х=(брой плевели сред четирите избрани). Конструирайте закона за разпределение DSV хи разпределителен полигон.

Решение . Според примера. Тогава:

Записваме закона за разпределение на DSV X под формата на таблица и изграждаме многоъгълник на разпределение:

Математическо очакване на дискретна случайна променлива

Най-важните свойства на дискретната случайна променлива се описват от нейните характеристики. Една от тези характеристики е очаквана стойност случайна величина.

Нека се знае законът за разпределение на DSV х:

математическо очакване DSV хсумата от продуктите на всяка стойност на това количество със съответната вероятност се нарича:
.

Математическото очакване на случайна променлива е приблизително равно на средноаритметичното на всички нейни стойности. Следователно в практическите задачи средната стойност на тази случайна променлива често се приема като математическо очакване.

Пример 8 . Стрелецът нокаутира 4, 8, 9 и 10 точки с вероятности 0,1, 0,45, 0,3 и 0,15. Намерете математическото очакване на броя точки в един удар.

Решение . Означаваме случайната променлива х=(брой отбелязани точки). Тогава . Така очакваният среден брой точки, отбелязани с една стрелба, е 8,2, а с 10 стрелби е 82.

Основни свойства математическите очаквания са:

.

.

, където
,
.

.

, където хи Y

Разлика
Наречен отклонение случайна величина хот математическото си очакване. Тази разлика е случайна величина и нейното математическо очакване е равно на нула, т.е.
.

Дисперсия на дискретна случайна променлива

За характеризиране на случайна променлива, в допълнение към математическото очакване, се използва също дисперсия , което дава възможност да се оцени дисперсията (разсейването) на стойностите на случайна променлива около нейното математическо очакване. Когато се сравняват две хомогенни случайни променливи с еднакви математически очаквания, за „най-добра“ се счита тази, която има по-малък спред, т.е. по-малка дисперсия.

дисперсия случайна величина хсе нарича математическо очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване: .

При практически задачи се използва еквивалентна формула за изчисляване на дисперсията.

Основните свойства на дисперсията са:

.

.

, където хи Yса независими случайни променливи.

Дисперсията характеризира разпространението на случайна променлива около нейното математическо очакване и, както може да се види от формулата, се измерва в квадратни единици в сравнение с единиците на самата случайна променлива. Следователно, за да съпоставим мерните единици на разпространението на случайна променлива с мерните единици на самата стойност, въвеждаме стандартно отклонение
.

Пример 9 . Намерете дисперсията и стандартното отклонение на DSW хдадено от закона за разпределение:

Решение . Дисперсия на DSW хизчислено по формулата

Нека намерим математическото очакване на тази случайна променлива: . Записваме закона за разпределение за случайна променлива
:

,
.

Въпроси за самоконтрол на знанията

Какво е случайна променлива?

Коя случайна променлива се нарича дискретна и коя непрекъсната?

Как се нарича законът за разпределение на дискретна случайна променлива?

Какво се нарича математическо очакване на дискретна случайна променлива и какви са основните му свойства?

Какво е отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване?

Какво се нарича дисперсия на дискретна случайна променлива и какви са нейните основни свойства?

Защо е въведено стандартното отклонение и как се изчислява?

Задачи за самостоятелна работа

Дискретна случайна величина и закон за нейното разпределение

Наред с концепцията за случайно събитие в теорията на вероятностите се използва и по-удобна концепция случайна величина.

Определение. Случайна величинаНарича се величина, която в резултат на опита приема една от възможните си стойности, като предварително не е известно коя.

Ще означаваме случайни величини главни буквилатиница ( X, Y, Z,…), и техните възможни стойности в съответните малки букви ( x i, y i,…).

Примери:броя на точките, паднали при хвърляне на зар; броя на появяванията на герба при 10 хвърляния на монети; броят на изстрелите преди първото попадение в целта; разстоянието от центъра на мишената до дупката при попадение.

Вижда се, че наборът от възможни стойности за изброените случайни променливи има различен вид: за първите две количестватя е крайна (съответно 6 и 11 стойности), за третото количествонаборът от стойности е безкраен и е набор от естествени числа, и за четвъртата- всички точки от сегмента, чиято дължина е равна на радиуса на целта. По този начин за първите три количества получаваме набор от стойности от отделни (дискретни) стойности, изолирани една от друга, а за четвъртата е непрекъсната област. По този показател случайните величини се делят на две групи: дискретни и непрекъснати.

Определение. отделен, ако приема отделни изолирани възможни стойности с определени вероятности. Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен.

Определение. Случайната променлива се извиква непрекъснато, ако наборът от неговите възможни стойности напълно запълва някакъв краен или безкраен интервал. Броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

За да посочите дискретна случайна променлива, трябва да знаете нейните възможни стойности и вероятностите, с които тези стойности се приемат. Кореспонденцията между тях се нарича разпределителен законслучайна величина. Може да бъде под формата на таблица, формула или графика.

Таблица, която изброява възможните стойности на дискретна случайна променлива и съответните им вероятности, се нарича близко разпространение:

x i	х 1	х 2	…	x n	…	възможни стойности
пи	стр 1	стр 2	…	p n	…	вероятност от възможни стойности

Обърнете внимание, че събитието, че случайната променлива приеме една от възможните си стойности, е сигурно, следователно, или

Задача.Монетата се хвърля 5 пъти. Случайна стойност х- броят на загубата на герба. Съставете серия на разпределение на случайна променлива Х.

Решение. Очевидно е, че хможе да приеме 5 стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5, това е х= 0, 1, 2, 3, 4, 5. По условие , . Нека изчислим вероятността за всяка стойност, използвайки формулата на Бернули: .

Гербът никога няма да падне (k = 0): .

Или .

Гербът ще падне веднъж (k = 1):
.

Гербът ще падне два пъти (k = 2):

Гербът ще падне три пъти (k = 3):

Гербът ще падне четири пъти (k = 4):

Гербът ще падне пет пъти (k = 5):

Следователно серията на разпределение има формата:

							биномни вероятности

В този случай сумата от вероятностите е равна на единица:

Графично законът за разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде представен като разпределителен полигон– полилиния, свързваща точките на равнината с координати ( x i, p i). Тоест възможните стойности на случайна променлива са нанесени по абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени по ординатната ос. За по-голяма яснота получените точки са свързани с прави сегменти. Полигонът на разпределение, както и серията на разпределение, напълно характеризират случайна променлива и са една от формите на закона за разпределение.

Случайна стойносткато фундаментална концепция на теорията на вероятностите е от голямо значение в нейните приложения. Тази концепция е абстрактен израз на случайно събитие. Освен това понякога е по-удобно да се работи със случайни променливи, отколкото със случайни събития.

СлучаенНарича се количество, което в резултат на експеримент може да приеме една или друга (но само една) стойност (преди експеримента не е известно коя).

Събитията обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, вероятността с буквата R,например, P(A).Реализациите на събития (случайни променливи) се означават с малки букви: а 1 , а 2 , …, ан.

Тъй като в теорията на вероятностите и математическата статистика се разглеждат масови събития,тогава случайната променлива обикновено се характеризира с възможни стойности и техните вероятности.

Сред случайните променливи, които се срещат в практиката, могат да се разграничат дискретни и непрекъснати.

Дискретни случайни променливисе наричат ​​тези, които приемат само стойности, отделени една от друга и могат да бъдат изброени предварително.Например броят на автомобилите на даден километър от пътя в определен момент от време; броят на дефектните единици автомобилни части в партида от ннеща.

За дискретни случайни променливихарактерно е, че приемат отделно, изолирани стойности,които могат да бъдат изброени предварително. Например, броят на автомобилите на даден пътен участък може да приема само цели числа 0, 1,2, ..., Пи зависи от времето на деня и интензивността на трафика.

Има случайни величини от друг тип, които са по-често срещани и имат голямо практическо значение.

Непрекъсната случайна променливасе нарича такъв, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал(интервал на числовата ос). Интервалът на числовата ос може да бъде краен или безкраен. Примери за непрекъснати случайни променливи са времето на работа на автомобила при дадени пътни условия, скоростта на автомобила по даден път и грешката на измерване.

За разлика от отделенвъзможните стойности на непрекъснати случайни променливи не могат да бъдат изброени предварително, тъй като те непрекъснато запълват определена празнина.

Случайните променливи обикновено се означават с главни букви на латинската азбука - X, Y, Z, T,и техните възможни стойности със съответните малки x i, y i, z i, t i, където аз = 1, 2, .... П.

Да разгледаме дискретна случайна променлива хс възможни стойности х 1 , х 2 , …, x n .В резултат на многократни експерименти стойността Tможе да приеме всяка от стойностите x i, т.е.:

X = x 1; X = x 2; …; X = xn.

Нека означим вероятностите за тези събития с буквата Рсъс съответните индекси:

P(X \u003d x 1) \u003d p 1; P(X \u003d x 2) \u003d p 2; …; P(X = x n)= p n.

Въз основа на факта, че събитията x iформират пълна група от несъвместими събития, т.е. не могат да възникнат други събития, сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайната променлива T е равна на единица.

Тази обща вероятност по някакъв начин се разпределя между отделните стойности на случайната променлива

Дискретна случайна променливаможе да бъде напълно описано от вероятностна гледна точка, ако вероятността за всяко събитие е точно определена, т.е., като се даде това разпределение. Това ще установи закона за разпределение на случайната променлива.

Законът за разпределение на случайна величинавсяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности, се нарича. Познавайки го, е възможно да се прецени преди опит кои стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко. Методите или формите за представяне на закона за разпределение на случайна променлива са различни.

Най-простата форма на задание законът за разпределение на дискретна случайна променлива T е редът на разпределениеили таблица, изброяваща възможните стойности на това количество и съответните им вероятности.

Нека непрекъсната случайна променлива X е дадена от функцията на разпределение Е(х) . Да приемем, че всички възможни стойности на случайната променлива принадлежат на интервала [ А, б].

Определение. математическо очакваненепрекъсната случайна променлива X, възможните стойности на която принадлежат към сегмента, се нарича определен интеграл

Ако възможните стойности на случайна променлива се разглеждат на цялата числова ос, тогава математическото очакване се намира по формулата:

В този случай, разбира се, се приема, че неправилният интеграл се събира.

Определение. дисперсиянепрекъсната случайна променлива се нарича математическо очакване на квадрата на нейното отклонение.

По аналогия с дисперсията на дискретна случайна променлива се използва следната формула за практическото изчисляване на дисперсията:

Определение. Стандартно отклонениеНарича се корен квадратен от дисперсията.

Определение. Мода M0 на дискретна случайна променлива се нарича нейната най-вероятна стойност. За непрекъсната случайна променлива режимът е стойността на случайната променлива, при която плътността на разпределение има максимум.

Ако полигонът на разпределение за дискретна случайна променлива или кривата на разпределение за непрекъсната случайна променлива има два или повече максимума, тогава такова разпределение се нарича Двоен модаленили Мултимодален.

Ако дадено разпределение има минимум, но няма максимум, то се извиква Антимодална.

Определение. Медиана MD на случайна променлива X е нейната стойност, спрямо която е еднакво вероятно да се получи по-голяма или по-малка стойност на случайната променлива.

Геометрично медианата е абсцисата на точката, в която областта, ограничена от кривата на разпределение, е разделена наполовина.

Имайте предвид, че ако разпределението е унимодално, тогава модата и медианата съвпадат с математическото очакване.

Определение. Начален моментПоръчка К Случайна променлива X е математическото очакване на стойността X К.

За дискретна случайна променлива: .

.

Началният момент на първи ред е равен на математическото очакване.

Определение.Централен моментПоръчка Кслучайната променлива X се нарича математическо очакване на стойността

За дискретна случайна променлива: .

За непрекъсната случайна променлива: .

Централният момент от първи ред винаги е нула, а централният момент от втори ред е равен на дисперсията. Централният момент от трети ред характеризира асиметрията на разпределението.

Определение. Отношението на централния момент от трети ред към стандартното отклонение в трета степен се нарича Коефициент на асиметрия.

Определение. За характеризиране на остротата и плоскостта на разпределението се използва величина, наречена ексцес.

В допълнение към разглежданите количества се използват и така наречените абсолютни моменти:

Абсолютен начален момент: .

Абсолютен централен момент: .

Абсолютният централен момент от първи ред се нарича Средно аритметично отклонение.

Пример.За примера, разгледан по-горе, определете математическото очакване и дисперсията на случайната променлива X.

Пример.Една урна съдържа 6 бели и 4 черни топки. От него пет пъти подред се вади една топка, като всеки път извадената топка се връща обратно и топките се смесват. Вземайки броя на извлечените бели топки като случайна променлива X, съставете закона за разпределение на това количество, определете математическото очакване и дисперсията му.

Тъй като топките във всеки експеримент се връщат обратно и се смесват, изпитанията могат да се считат за независими (резултатът от предишния експеримент не влияе върху вероятността за възникване или ненастъпване на събитие в друг експеримент).

По този начин вероятността бяла топка да се появи във всеки експеримент е постоянна и равна на

По този начин, в резултат на пет последователни опита, бялата топка може да не се появи изобщо, да се появи веднъж, два пъти, три, четири или пет пъти.

За да съставите закон за разпределение, трябва да намерите вероятностите за всяко от тези събития.

1) Бялата топка изобщо не се появи:

2) Бялата топка се появи веднъж:

3) Бялата топка ще се появи два пъти: .

4) Бялата топка ще се появи три пъти: