Рассмотренный в § 2.7 свободный брус был нагружен заданными нагрузками (силами и моментами), находящимися в равновесии (см. рис. 3.7). Обычно заданные нагрузки не бывают взаимно уравновешенными; неподвижность конструкции под действием этих нагрузок обеспечивается благодаря наличию опор, соединяющих ее с основанием. В опорах возникают реакции, которые вместе с заданными нагрузками представляют уравновешенную систему внешних сил, действующих на конструкцию.
Одной из областей, где твердая механика, как обсуждалось в этой книге, является наиболее эффективной, является загрузка пучка. Нагрузки на балке могут представлять собой точечные нагрузки, распределенные нагрузки или различные нагрузки. Могут также быть точечные моменты на балке. Сам луч поддерживается в одной или нескольких точках. Условия поддержки зависят от типа используемой поддержки. Если носитель представляет собой ролик, он может иметь только реакцию, перпендикулярную движению ролика. Если поддержка является штырем, она не может нести момент.
Как известно из курса теоретической механики, любое тело обладает в плоскости тремя степенями свободы. Поэтому для обеспечения геометрической неизменяемости системы (бруса) необходимо наложить на нее (в плоскости) три связи.
Рассмотрим различные типы опор плоских систем.
1. Защемление, или заделка (рис. 4.7, а). Защемленный (или заделанный) конец бруса не может ни смещаться поступательно, ни поворачиваться. Следовательно, число степеней свободы бруса с защемленным концом равно нулю. В опоре могут возникать: вертикальная реакция (сила R - рис. 4.7, а), препятствующая вертикальному смещению конца бруса; горизонтальная реакция (сила Н), исключающая возможность его горизонтального смещения и реактивный момент препятствующий повороту. Таким образом, закрепление бруса с помощью заделки накладывает на него три связи и обеспечивает его неподвижность.
Определение опорных реакций балок
Если поддержка фиксирована, то она может иметь реакцию в любом направлении и поддерживать момент. Он имеет закрепленный контакт на одном конце и контакт качения на другом конце. На приведенном выше рисунке показан идеальный момент, действующий в центре луча. Идеальный момент - это тот, который не связан с силой.
Общий метод анализа проблем пучка заключается в том, чтобы найти нагрузки, реакции и моменты, и придумать значения для нагрузок и моментов в каждом разделе. Это, вообще говоря, будет кусочной функцией расстояния вдоль луча. Для нагрузок мы устанавливаем оси, и это решает знак силы. Для моментов мы устанавливаем, что момент по часовой стрелке положителен.
2. Шарнирно неподвижная опора (рис. 4.7, б). Поперечное сечение бруса, проходящее через шарнирно неподвижную опору, не может смещаться поступательно. В опоре возникает реактивная сила, проходящая через центр шарнира. Ее составляющими являются вертикальная сила R, препятствующая вертикальному смещению, и горизонтальная сила Н, исключающая горизонтальное смещение закрепленного сечения бруса. Опора не препятствует повороту бруса относительно центра шарнира, и, следовательно, брус, закрепленный при помощи одной такой опоры, имеет одну степень свободы. Закрепление бруса с помощью шарнирно неподвижной опоры, накладывает на него две связи.
Рассмотрим случай описанного выше пучка. На приведенном выше рисунке показана сдвиговая диаграмма для этой проблемы. Обратите внимание, что положительные и отрицательные направления являются условностями, но важно выбрать одно направление для положительного сдвига и придерживаться его. Как видно, значение сдвига изменяется в точке приложения нагрузки.
На приведенном выше рисунке показана диаграмма момента для луча. В последующих главах мы увидим, что напряжения и деформации из-за моментов являются наиболее важными для лучей. Кроме того, найдите момент в этот момент. Вышеуказанный пучок показывает загрузку двумя отдельными точечными нагрузками.
3. Шарнирно подвижная опора (рис. 4.7, в). Поперечное сечение бруса, проходящее через шарнирно подвижную опору, может смещаться параллельно опорной плоскости и поворачиваться, но оно не может смещаться перпендикулярно к опорной плоскости. В опоре возникает только одна реакция в виде силы R, перпендикулярной к опорной плоскости. Закрепление бруса с помощью такой опоры накладывает на него одну связь.
Исчисление для решения проблем с лучами
Найдите сдвиг и момент в каждой точке вдоль луча с точечной нагрузкой и моментом, действующим в двух разных точках. Как может произойти точечный момент на практике? Методы исчисления могут использоваться для работы с функциями непрерывной нагрузки. Однако эти методы могут быть расширены до точечных нагрузок и моментов с помощью дельта-функции Дирака.
Такие нагрузки используются для моделирования собственного веса пучка, где он действует равномерно по всей его длине. Это также можно использовать для загрузки, скажем, моста из-за всех транспортных средств на нем. Отдельные точечные нагрузки, действующие через шины, могут быть смоделированы как непрерывная нагрузка, если количество транспортных средств велико. Применяя равновесие сил для этого сегмента, имеем. Применяя моментное равновесие к одному и тому же отрезку.
Рассмотренные типы опор принято также изображать с помощью стерженьков.
Шарнирно подвижную опору изображают в виде стерженька, имеющего по концам шарниры (рис. 5.7, а). Нижний шарнир неподвижен, а верхний может смещаться лишь по прямой линии, перпендикулярной к оси стерженька.
Вышеупомянутые дифференциальные уравнения могут быть интегрированы с соответствующими граничными условиями для получения сдвига и момента в каждой точке. Мы имеем общее соотношение для сдвига. Сдвиг при происхождении - это просто реакция в этот момент.
Легко видеть, что момент в нуле равен нулю. Вышеуказанное хорошо работает для непрерывных функций с плавной нагрузкой. Но в реальных ситуациях нам приходится иметь дело с точечными нагрузками и моментом. Теперь ранее сформулированные уравнения могут быть использованы по правилам для функции Дирака. Сама функция определяется как.
Это соответствует тем условиям закрепления, которые обеспечивает шарнирно подвижная опора (см. рис. 4.7, в). Опорная реакция действует только вдоль оси стерженька. Собственные деформации его при расчетах не учитываются, т. е. стерженек считается бесконечно жестким.
Шарнирно неподвижную опору изображают с помощью двух стерженьков с шарнирами по концам (рис. 5.7, б). Верхний шарнир является общим для обоих стерженьков. Направления стерженьков могут быть произвольными. Они, однако, не должны быть расположены на одной прямой.
Из определения Дирака мы имеем. Сдвиг в любой точке задается формулой. Момент на одном конце равен нулю. Момент в любой момент дается. Применяя определение функции Дирака, имеем: сдвиг. Обратите внимание, что приведенное выше является частным случаем общего метода, называемого преобразования Лапласа.
Найдите сдвиг и момент в указанном пучке с использованием методов Дирака. Луч, показанный выше, имеет две нагрузки, которые могут быть смоделированы, как показано. Найдите сдвиг и момент в любой точке луча. Рассмотрим луч, показанный выше, с выступом. Найдите сдвиг и момент в точках вдоль оси.
Заделку (защемление) можно изображать с помощью трех стерженьков с шарнирами по концам, как показано на рис. 5.7, в.
Число стерженьков в схематическом изображении опоры равно числу составляющих опорной реакции и числу связей, накладываемых этой опорой на конструкцию.
Для того чтобы брус не перемещался под нагрузкой, он должен быть геометрически неизменяемо (неподвижно) соединен с основанием, что в случае плоского действия сил, как уже отмечалось, достигается путем наложения на него трех внешних связей.
Учитывая нагрузки и моменты в каждом поперечном сечении, мы можем рассчитать напряжение и деформацию в каждом месте. Рассмотрим изгиб тонкого луча. Момент, действующий на пучок, вызывает деформацию, называемую изгибом. Пусть радиус соприкасающейся окружности луча равен ρ. Этот элемент подставляет угол θ в центр кривизны, так что. Это дает нам осевую деформацию в любой точке х как. Кроме того, используя закон Гука, мы имеем.
Вышеприведенное уравнение дает нам расположение нейтральной плоскости. Далее, применяя часть сохранения момента равновесных соотношений, имеем. Таким образом, мы имеем выражение для напряжения, обусловленного чистым моментом, как. Теперь легко видеть, что комбинация моментов фактически эквивалентна моменту, действующему на пучок произвольного сечения. Ранее мы видели методы расчета поперечных сил на пучке. Теперь мы можем проанализировать напряжения, вызванные силами сдвига, как мы это делали для напряжений из-за изгибающих моментов.
Это можно сделать с помощью одной заделки (рис. 6.7, а) или одной шарнирно неподвижной и одной шарнирно подвижной опоры (рис. 6.7, б), или с помощью трех шарнирно подвижных опор, направления реакций которых не пересекаются в одной точке (рис. 6.7, в).
Пример статистики: расчеты на балки. Вот несколько примеров расчетов на пучках. Мы рассматриваем отдельные пучки с различными граничными условиями, непрерывные пучки с жесткими и с упругими опорами и шарнирными балками. В примерах отдельных лучей также рассматриваются линии влияния.
Перед каждым примером мы делаем некоторые соображения о поперечном сечении. Координаты ребер поперечного сечения определяются как обычно. Эта система называется «глобальной системой координат». Происхождение этой системы координат должно быть у самого левого края и самого нижнего края поперечного сечения. Осекция этой локальной системы указывает на глобальные оси. Причина в том, что отклонение вниз определено положительным. Это показано на следующем рисунке. 
Размеры поперечного сечения.
Если направления трех опорных стерженьков пересекаются в одной точке О (рис. 7.7, а,б), то система является мгновенно изменяемой, так как в этом случае ни один опорный стерженек не препятствует весьма малому повороту бруса вокруг точки О; такое расположение опорных стерженьков недопустимо.
Рассмотрим геометрически неизменяемые системы, состоящие из нескольких брусьев.
Тогда координаты ребер. С помощью области функций и графика ключевых слов отображается график. Здесь поперечное сечение определяется как многоугольник. Локальная система координат имеет место в центре тяжести поперечного сечения. Сечение также можно определить как комбинацию простых сечений.
Маленькие внешние прямоугольники. Маленький средний прямоугольник. Затем список частичных сечений. Положения прямоугольников относительно начала глобальной системы координат. Координаты объединяются в виде списков. Большой прямоугольник слишком большой, поэтому маленькие прямоугольники должны быть удалены.
На рис. 8.7, а, например, показана система из двух брусьев (АВ и ВС), на каждый из которых наложено три связи. На брус ВС одну связь накладывает опорный стерженек CD, препятствующий вертикальному смещению точки С бруса, и две связи - шарнир В, препятствующий вертикальному и горизонтальному смещению точки В бруса.
Снова ввод графически отображается. Значения поперечного сечения вычисляются с использованием области функций. Площадь сечения извлекается из результата. Для лучшего примера сделаны некоторые дополнительные соображения относительно различных форм сечений.
Какая толщина должна иметь прямоугольник с одинаковым моментом инерции относительно оси у и той же ширины, что и указанное выше сечение? Имеет следующие значения поперечного сечения. Конечно, возможны только положительные реальные значения. Прямоугольник показан на следующем рисунке.
На брус АВ все три связи налагает заделка А; шарнир же В не может препятствовать ни поступательным смещениям, ни поворотам бруса АВ и, следовательно, не налагает на него связей.
На рис. 8.7, б показана геометрически неизменяемая система, состоящая из трех брусьев (АС, CD и DF). На каждый из них наложено три связи. Так, например, шарнир С налагает на брус CD две связи (так как препятствует горизонтальному и вертикальному смещениям точки С), а шарнир - одну связь (так как препятствует только вертикальному смещению точки ).
Этот прямоугольник имеет значительно большую площадь и, следовательно, более высокую потребность в материале и больший вес, чем поперечное сечение выше. Необходимые значения этого результата. В целом три неизвестные значения и три условия. Эти условия позволяют много решений. Но некоторые дополнительные условия уменьшают количество решений.
Кроме того, решения имеют смысл только тогда, когда ширина поперечного сечения больше, чем полотно, а высота больше, чем двойная часть фланца. Это поперечное сечение показано на следующем рисунке. Теперь вернемся к исходному поперечному сечению. Луч изготовлен из бетона с модулем упругости.
Системы, изображенные на рис. 8.7, называются многопролетными шарнирными балками.
Общее число неизвестных опорных реакций при вариантах закрепления бруса, показанных на рис. 6.7, а, б, в, равно трем. Следовательно, эти реакции можно найти при помощи трех уравнений равновесия, которые составляются для плоской системы сил. По значениям же опорных реакций и внешних нагрузок можно определить [по формулам (2.7) - (4.7)] внутренние усилия в любом поперечном сечении бруса. Поэтому брус, закрепленный путем наложения на него трех связей, является не только геометрически неизменяемым, но и статически определимым. Наложение на него большего числа связей делает брус статически неопределимым, так как в этом случае все опорные реакции нельзя определить из одних лишь уравнений равновесия.
Далее рассматривается деформация пучка под нагрузкой. Расчет деформации, внутренних сил и линий влияния для индивидуального луча. Чтобы решить проблему, необходимо сформулировать граничные условия. Левый конец зафиксирован в вертикальном направлении и свободно вращается.
Те же самые условия находятся на правом конце луча. Решение вычисляется функциональным пучком с типом = 3. Этот общий вид решения очень сложный. Итак, здесь решение показано для некоторых специальных значений. Длина пучка равна. Для пяти позиций мы показываем линию деформации. Обратите внимание, что в действительности деформации указывают вниз.
Уравнения равновесия, составляемые для определения опорных реакций, можно представить в трех различных вариантах:
1) в виде сумм проекций сил на две произвольные не параллельные друг другу оси и суммы моментов сил относительно любой точки плоскости МО);
2) в виде суммы проекций сил на произвольную ось и двух сумм моментов относительно любых точек плоскости, не лежащих на одном перпендикуляре к указанной оси проекций
Функция деформирования может использоваться для расчета линий влияния. Для сравнения рассматривается ситуация, когда пучок фиксируется с обоих концов. Граничные условия. Решение снова вычисляется с использованием функционального пучка. Деформация снова очень сложна.
Положение силы показано вертикальной линией того же цвета, что и линия деформации. Снова рассмотрена линия влияния для изгибающего момента в середине луча. Линия влияния показана на следующем рисунке. Точно так же можно рассчитать линии прогибов. Переменная - это не позиция, в которой рассматривается поворот, а положение силы.
3) в виде трех сумм моментов относительно любых точек плоскости, не лежащих на одной прямой
Выбор того или иного варианта составления уравнений равновесия, а также выбор точек и направлений осей, используемых при составлении этих уравнений, производится в каждом конкретном случае с таким расчетом, чтобы по возможности не проводить совместное решение уравнений. Для проверки правильности определения опорных реакций полученные их значения рекомендуется подставить в какое-либо уравнение равновесия, не использованное ранее.
Теперь мы возвращаемся к просто поддерживаемому лучу. Какова деформация этого пучка, вызванная его собственным весом? Деформация рассчитывается с использованием функционального пучка с типом = 1. Максимальное отклонение, вызванное собственным весом. С учетом знака, который мы получаем. На следующем рисунке показано распределение напряжения. Максимальное напряжение.
Конечно, конкретный сам по себе не может справиться с этим стрессом. В действительности в таких случаях используется железобетон. Минимальное напряжение. Этот стресс может быть допущен бетоном. Непрерывный луч имеет кольцевое поперечное сечение с вертикальным полотном.
На многопролетную шарнирную балку, изображенную на рис. 8.7, а, наложено четыре внешние связи (три в сечении А и одна в сечении С), а на балку, изображенную на рис. 8.7, б, - пять внешних связей (две в сечении А и по одной в сечениях В, Е и F).
Однако если на каждый брус, составляющий многопролетную шарнирную балку, наложено по три связи, то эта балка статически определима и опорные реакции можно найти из уравнений статики.
Значения поперечного сечения вычисляются как комбинация простых форм. Список частичных сечений. Координаты объединяются в список. Обе части поперечного сечения имеют материал. Значения поперечного сечения. Материал - сталь с плотностью. Это дает равномерную нагрузку во всех секциях.
Поперечное сечение должно быть загружено водой. Это дает дополнительную равномерную нагрузку. Модуль упругости стали. И модуль сдвига равен. Таким образом, жесткость при сдвиге. Луч располагается по пяти полям. Положение опор. Для использования пучка функций вход должен быть составлен в виде списков.
Кроме трех уравнений равновесия всех сил, действующих на многопролетную шарнирную балку, составляются уравнения, выражающие равенство нулю моментов сил, приложенных по одну сторону от каждого шарнира (соединяющего отдельные части балки), относительно центра этого шарнира. Например, для балки, изображенной на рис. 8.7, а, кроме трех уравнений равновесия всех действующих на нее сил, составляется уравнение моментов левых (или правых) сил относительно шарнира , а для балки, изображенной на рис. 8.7,б, - относительно шарниров С и D.
Рассмотрим пример определения опорных реакций простой однопролетной балки, расчетная схема которой изображена на рис. 9.7, а. Отбросим опоры и заменим их влияние на балку опорными реакциями RA, Н и RB (рис. 9.7, б). Обычно балка с отброшенными опорами отдельно не изображается, а обозначения и направления опорных реакций указываются на расчетной схеме балки. Реакции представляют собой вертикальную и горизонтальную составляющие полной реакции шарнирно неподвижной опоры А; сила же является полной реакцией опоры В. Направления опорных реакций выбираются произвольно; если в результате расчета значение какой-либо реакции получается отрицательным, то, значит, в действительности ее направление противоположно предварительно принятому.
Найдем сначала опорную реакцию Н, составив для этого сумму проекций всех сил на горизонтальную ось х:
Для проверки найденных значений опорных реакций составим сумму проекций всех сил на ось у.
Составленное уравнение удовлетворяется, что указывает на правильность определения опорных реакций.
Сегодняшняя статья будет посвящена методике определения реакций возникающих в опорах под действием внешней нагрузки. Опорные реакции вычисляются из уравнений равновесия. Для того чтобы записать эти уравнения нужно уметь:
- Находить сумму на оси.
- Находить сумму моментов относительно точки.
По теме проекций на сайте есть отдельная статья, а по теме моментов дам краткую информацию в этой статье. Познакомимся для начала с самим понятием момент силы.
Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.
На картинке показано, как найти момент силы F относительно точки O.
Так же для моментов нужно задаться каким-то правилом знаков. Сила относительно точки может поворачивать как по часовой стрелке, так и против нее. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:
Если сила относительно точки крутит по часовой стрелки то момент положительный.
Если она крутит против часовой стрелки, то соответственно момент отрицательный.
Причем, это правило условно, какое правило вы будете использовать совсем не важно, результат получите тот же самый. В теоретической механике, к примеру, делают все наоборот.
Теперь поговорим о самих опорах. В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной. Вообще способов закрепления и условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их рассматривать не будем.
Шарнирно-подвижная опора препятствует вертикальному перемещению элементу конструкции, в связи с чем, в ней, под действием внешней нагрузки возникает вертикальная реакция. Обозначают ее обычно как Ri, где i-точка действия реакции.
Шарнирно-неподвижная опора имеет две реакции: вертикальную и горизонтальную. Так как препятствует перемещению в этих двух направлениях.
Вроде всю подготовительную информацию дал, рассмотрим конкретный пример. Возьмем балку на двух опорах, длиной 2 метра, загруженной посередине сосредоточенной силой.
Для такой расчетной схемы выгоднее записать такое условие равновесия:
То есть две суммы моментов относительно опорных точек, из которых можно сразу выразить реакции в опорах. В шарнирно-неподвижной опоре горизонтальная реакция будет равна нулю, ввиду того что горизонтальные силы отсутствуют. Последним уравнением, взяв сумму проекций на вертикальную ось, сможем проверить правильность нахождения опорных реакций, это сумма должна быть равна нулю.
Введем систему координат, пустим ось х вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как Ra и Rb.
Запишем уравнение моментов, относительно точки А. Сила F поворачивает по часовой стрелки, записываем ее со знаком плюс и умножаем на плечо, сила Rb поворачивает против часовой стрелки, пишем ее со знаком минус и умножаем на плечо, все это приравниваем к нулю. Из полученного уравнения выражаем реакцию Rb.
Первая реакция найдена. Вторая реакция находится аналогично, только уравнение моментов записываем относительно другой точки. После нахождения реакций делаем проверку: 
Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой.
Здесь делается все точно также, распределенную нагрузку сворачивают до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем примере.
Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь не буду, просто приведу решение:
