متغيرات عشوائية أحادية البعد

مفهوم المتغير العشوائي. المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة. دالة التوزيع الاحتمالية وخصائصها. كثافة التوزيع الاحتمالية وخصائصها. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية: التوقع الرياضي ، والتشتت وخصائصها ، والانحراف المعياري ، والوضع والوسيط ؛ اللحظات الأولية والمركزية وعدم التناسق والتفرطح.

1. مفهوم المتغير العشوائي.

عشوائيتسمى الكمية التي ، كنتيجة للاختبارات ، تأخذ قيمة أو قيمة محتملة واحدة أو أخرى (ولكن واحدة فقط) ، والمعروفة مسبقًا ، وتتغير من اختبار إلى آخر وتعتمد على الظروف العشوائية. على عكس الحدث العشوائي ، وهو خاصية نوعية لنتيجة اختبار عشوائية ، فإن المتغير العشوائي يميز نتيجة الاختبار من الناحية الكمية. أمثلة المتغير العشوائي هي حجم قطعة العمل ، والخطأ في نتيجة قياس أي معلمة لمنتج أو بيئة. من بين المتغيرات العشوائية التي تمت مواجهتها في الممارسة ، يمكن التمييز بين نوعين رئيسيين: المتغيرات المنفصلة والمتغيرات المستمرة.

منفصلةهو متغير عشوائي يأخذ مجموعة محدودة أو لانهائية من القيم المعدودة. على سبيل المثال ، تواتر الضربات بثلاث طلقات ؛ عدد المنتجات المعيبة في مجموعة من القطع ؛ عدد المكالمات التي تصل إلى مقسم الهاتف أثناء النهار ؛ عدد حالات فشل عناصر الجهاز لفترة زمنية معينة عند اختبارها من أجل الموثوقية ؛ عدد التسديدات قبل الضربة الأولى على الهدف ، إلخ.

مستمرهو متغير عشوائي يمكن أن يأخذ أي قيمة من فاصل زمني محدد أو لانهائي. من الواضح أن عدد القيم المحتملة لمتغير عشوائي مستمر لا نهائي. على سبيل المثال ، خطأ في قياس مدى الرادار ؛ الجهوزية رقاقة خطأ في تصنيع الأجزاء ؛ تركيز الملح في مياه البحر ، إلخ.

عادة ما يتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بالحروف ، وما إلى ذلك ، وقيمها المحتملة - ، إلخ. لتحديد متغير عشوائي ، لا يكفي سرد ​​جميع قيمه الممكنة. من الضروري أيضًا معرفة عدد المرات التي قد تظهر فيها واحدة أو أخرى من قيمها نتيجة للاختبارات في ظل نفس الظروف ، أي أنه من الضروري تعيين احتمالات حدوثها. تشكل مجموعة جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي والاحتمالات المقابلة لها توزيع متغير عشوائي.

2. قوانين توزيع المتغير العشوائي.

قانون التوزيعالمتغير العشوائي هو أي تطابق بين القيم المحتملة لمتغير عشوائي والاحتمالات المقابلة لها. يُقال أن المتغير العشوائي يخضع لقانون توزيع معين. يتم استدعاء متغيرين عشوائيين لا يعتمد، إذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم المحتملة التي اتخذتها القيمة الأخرى. خلاف ذلك ، يتم استدعاء المتغيرات العشوائية يعتمد. يتم استدعاء العديد من المتغيرات العشوائية مستقل بشكل متبادل، إذا كانت قوانين التوزيع لأي عدد منها لا تعتمد على القيم المحتملة التي اتخذتها الكميات الأخرى.

يمكن إعطاء قانون توزيع المتغير العشوائي في شكل جدول ، في شكل دالة توزيع ، في شكل كثافة توزيع. الجدول الذي يحتوي على القيم المحتملة لمتغير عشوائي والاحتمالات المقابلة هو أبسط شكل لتحديد قانون توزيع المتغير العشوائي:

لا يمكن استخدام التخصيص الجدولي لقانون التوزيع إلا لمتغير عشوائي منفصل مع عدد محدود من القيم الممكنة. الشكل الجدولي لتحديد قانون المتغير العشوائي يسمى أيضًا سلسلة التوزيع.

من أجل الوضوح ، يتم تقديم سلسلة التوزيع بيانياً. في تمثيل رسومي في نظام إحداثيات مستطيل ، يتم رسم جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي على طول محور الإحداثي ، ويتم رسم الاحتمالات المقابلة على طول المحور الإحداثي. ثم قم ببناء نقاط وربطها بمقاطع خط مستقيم. الرقم الناتج يسمى مضلع التوزيع(الشكل 5). يجب أن نتذكر أن اتصال رؤوس الإحداثيات يتم فقط من أجل الوضوح ، لأنه في الفترات الفاصلة بين و ، وما إلى ذلك ، لا يمكن للمتغير العشوائي أن يأخذ قيمًا ، وبالتالي فإن احتمالات حدوثه في هذه الفترات تساوي صفر.

مضلع التوزيع ، مثل سلسلة التوزيع ، هو أحد أشكال تحديد قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل. يمكن أن يكون لها أشكال مختلفة جدًا ، لكن جميعها لها خاصية مشتركة واحدة: مجموع إحداثيات رؤوس مضلع التوزيع ، وهو مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي ، يساوي دائمًا واحد. تنبع هذه الخاصية من حقيقة أن جميع القيم المحتملة لمتغير عشوائي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة ، ومجموع احتمالاتها يساوي واحدًا.

مؤسسة تعليمية "دولة بيلاروسيا

الأكاديمية الزراعية "

قسم الرياضيات العليا

القواعد الارشادية

حول دراسة موضوع "المتغيرات العشوائية" من قبل طلاب كلية المحاسبة والتعليم بالمراسلة (NISPO)

جوركي ، 2013

المتغيرات العشوائية

المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة

أحد المفاهيم الأساسية في نظرية الاحتمالات هو المفهوم متغير عشوائي . متغير عشوائي تسمى الكمية التي ، نتيجة الاختبار ، تأخذ قيمة واحدة فقط من مجموعة من القيم المحتملة ، ولا يُعرف مسبقًا أي منها.

المتغيرات العشوائية منفصل ومستمر . المتغير العشوائي المنفصل (DSV) يسمى متغير عشوائي يمكنه أن يأخذ عددًا محدودًا من القيم المعزولة عن بعضها البعض ، أي إذا كان من الممكن إعادة حساب القيم المحتملة لهذه الكمية. المتغير العشوائي المستمر (CRV) يسمى المتغير العشوائي ، وجميع القيم الممكنة التي تملأ فاصلًا معينًا من الخط الحقيقي.

يتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية X ، Y ، Z ، إلخ. يتم الإشارة إلى القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية بالأحرف الصغيرة المقابلة.

تسجيل
يعني "احتمال أن يكون متغير عشوائي Xسوف تأخذ قيمة تساوي 5 ، تساوي 0.28 ".

مثال 1 . يتم إلقاء النرد مرة واحدة. في هذه الحالة ، قد تظهر الأرقام من 1 إلى 6 ، مما يشير إلى عدد النقاط. دلالة على المتغير العشوائي X= (عدد النقاط التي تم إسقاطها). يمكن أن يأخذ هذا المتغير العشوائي كنتيجة للاختبار واحدة فقط من القيم الست: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 أو 6. لذلك ، المتغير العشوائي Xهناك DSV.

مثال 2 . عندما يتم إلقاء الحجر ، فإنه يطير لمسافة ما. دلالة على المتغير العشوائي X= (مسافة الرحلة الحجرية). يمكن أن يأخذ هذا المتغير العشوائي أي قيمة ، ولكن قيمة واحدة فقط ، من فترة زمنية معينة. لذلك ، المتغير العشوائي Xهناك NSV.

قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل

يتميز المتغير العشوائي المنفصل بالقيم التي يمكن أن يأخذها والاحتمالات التي تؤخذ بها هذه القيم. يتم استدعاء التطابق بين القيم المحتملة لمتغير عشوائي منفصل والاحتمالات المقابلة لها قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل .

إذا كانت جميع القيم الممكنة معروفة
متغير عشوائي Xوالاحتمالات
ظهور هذه القيم ، ويعتقد أن قانون التوزيع DSV Xمعروف ويمكن كتابته كجدول:

يمكن تصوير قانون توزيع DSV بيانياً إذا تم رسم النقاط في نظام إحداثيات مستطيل
,
, …,
وربطها بخطوط مستقيمة. يسمى الشكل الناتج مضلع التوزيع.

مثال 3 . الحبوب المعدة للتنظيف تحتوي على 10٪ حشائش. يتم اختيار 4 حبات بشكل عشوائي. دلالة على المتغير العشوائي X= (عدد الحشائش من بين الأربعة المختارة). ضع قانون توزيع DSV Xومضلع التوزيع.

قرار . حسب المثال. ثم:

نكتب قانون التوزيع لـ DSV X في شكل جدول ونبني مضلع توزيع:

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل

يتم وصف أهم خصائص المتغير العشوائي المنفصل من خلال خصائصه. واحدة من هذه الخصائص هي القيمة المتوقعة متغير عشوائي.

دع قانون توزيع DSV معروفًا X:

توقع رياضي DSV Xيسمى مجموع منتجات كل قيمة من هذه الكمية بالاحتمال المقابل:
.

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي يساوي تقريبًا المتوسط ​​الحسابي لجميع قيمه. لذلك ، في المسائل العملية ، غالبًا ما يتم أخذ متوسط ​​قيمة هذا المتغير العشوائي على أنه توقع رياضي.

مثال 8 . يخرج مطلق النار 4 و 8 و 9 و 10 نقاط باحتمالات 0.1 و 0.45 و 0.3 و 0.15. أوجد التوقع الرياضي لعدد النقاط في لقطة واحدة.

قرار . دلالة على المتغير العشوائي X= (عدد النقاط المسجلة). ثم . وبالتالي ، فإن متوسط ​​عدد النقاط المتوقع من طلقة واحدة هو 8.2 ، ومع 10 تسديدات يكون 82.

الخصائص الرئيسية التوقعات الرياضية هي:

.

.

، أين
,
.

.

، أين Xو ص

فرق
اتصل انحراف متغير عشوائي Xمن توقعاتها الرياضية. هذا الاختلاف هو متغير عشوائي وتوقعه الرياضي يساوي صفرًا ، أي
.

تشتت متغير عشوائي منفصل

لتوصيف متغير عشوائي ، بالإضافة إلى التوقع الرياضي ، يستخدم المرء أيضًا تشتت ، مما يجعل من الممكن تقدير تشتت (تشتت) قيم متغير عشوائي حول توقعه الرياضي. عند مقارنة متغيرين عشوائيين متجانسين بتوقعات رياضية متساوية ، يعتبر الأفضل "الأفضل" هو المتغير الذي يحتوي على سبريد أصغر ، أي أقل تشتت.

تشتت متغير عشوائي Xيسمى التوقع الرياضي للانحراف التربيعي لمتغير عشوائي عن توقعه الرياضي:.

في المسائل العملية ، يتم استخدام معادلة مكافئة لحساب التباين.

الخصائص الرئيسية للتشتت هي:

.

.

، أين Xو صمتغيرات عشوائية مستقلة.

يميز التشتت انتشار متغير عشوائي حول توقعه الرياضي ، وكما يتضح من الصيغة ، يقاس بوحدات مربعة مقارنة بوحدات المتغير العشوائي نفسه. لذلك ، لمطابقة وحدات قياس انتشار متغير عشوائي مع وحدات قياس القيمة نفسها ، فإننا نقدم الانحراف المعياري
.

مثال 9 . أوجد التباين والانحراف المعياري لـ DSW Xبموجب قانون التوزيع:

قرار . تشتت DSW Xمحسوبة بالصيغة

لنجد التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي:. نكتب قانون التوزيع لمتغير عشوائي
:

,
.

أسئلة لضبط النفس في المعرفة

ما هو المتغير العشوائي؟

أي متغير عشوائي يسمى متقطع وأي متغير مستمر؟

ما هو قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل يسمى؟

ما يسمى التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل وما هي خصائصه الرئيسية؟

ما هو انحراف متغير عشوائي عن توقعه الرياضي؟

ما يسمى تشتت المتغير العشوائي المنفصل وما خصائصه الرئيسية؟

لماذا يتم إدخال الانحراف المعياري وكيف يتم حسابه؟

مهام للعمل المستقل

المتغير العشوائي المنفصل وقانون توزيعه

إلى جانب مفهوم الحدث العشوائي في نظرية الاحتمالات ، يتم أيضًا استخدام مفهوم أكثر ملاءمة متغير عشوائي.

تعريف. متغير عشوائيتسمى الكمية التي ، نتيجة للتجربة ، تأخذ إحدى قيمها المحتملة ، ولا يُعرف مسبقًا أي منها.

سوف نشير إلى المتغيرات العشوائية بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية ( س ، ص ، ي ، ...) ، وقيمها المحتملة في الأحرف الصغيرة المقابلة ( س ط ، ص ط ، ...).

أمثلة:عدد النقاط التي سقطت عند رمي النرد ؛ عدد مرات ظهور شعار النبالة في 10 رميات للعملات المعدنية ؛ عدد الطلقات قبل الضربة الأولى على الهدف ؛ المسافة من مركز الهدف إلى الفتحة عند الاصطدام.

يمكن ملاحظة أن مجموعة القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية المدرجة لها شكل مختلف: لأول كميتينإنه محدود (قيم 6 و 11 على التوالي) ، للكمية الثالثةمجموعة القيم لا نهائية وهي مجموعة الأعداد الطبيعية ، و للرابع- جميع نقاط المقطع التي يساوي طولها نصف قطر الهدف. وهكذا ، بالنسبة للكميات الثلاثة الأولى ، نحصل على مجموعة من القيم من قيم منفصلة (منفصلة) معزولة عن بعضها البعض ، وبالنسبة للرابع فهي منطقة متصلة. وفقًا لهذا المؤشر ، يتم تقسيم المتغيرات العشوائية إلى مجموعتين: منفصلة ومستمرة.

تعريف. منفصلة، إذا كان يأخذ قيمًا ممكنة منفصلة ومعزولة مع احتمالات معينة. يمكن أن يكون عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل محدودًا أو غير محدود.

تعريف. المتغير العشوائي يسمى مستمر، إذا كانت مجموعة قيمها المحتملة تملأ تمامًا بعض الفترات المحددة أو اللانهائية. عدد القيم المحتملة لمتغير عشوائي مستمر لانهائي.

لتحديد متغير عشوائي منفصل ، تحتاج إلى معرفة قيمه المحتملة والاحتمالات التي يتم قبول هذه القيم بها. يتم استدعاء المراسلات بينهما قانون التوزيعمتغير عشوائي. يمكن أن يكون في شكل جدول أو صيغة أو رسم بياني.

يسمى الجدول الذي يسرد القيم المحتملة لمتغير عشوائي منفصل والاحتمالات المقابلة لها قرب التوزيع:

س ط	x 1	x 2	…	x ن	…	القيم الممكنة
بي	ص 1	ص 2	…	ص ن	…	احتمال القيم الممكنة

لاحظ أن الحدث الذي يأخذ المتغير العشوائي إحدى قيمه المحتملة مؤكد ، أو

مهمة.تم رمي العملة 5 مرات. قيمة عشوائية X- عدد فقد شعار النبالة. يؤلف سلسلة توزيع لمتغير عشوائي X.

قرار. من الواضح أن Xيمكن أن تأخذ 5 قيم: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، أي X= 0، 1، 2، 3، 4، 5. حسب الشرط. دعنا نحسب احتمال كل قيمة باستخدام صيغة برنولي:.

شعار النبالة لن يسقط أبدًا (ك = 0): .

أو .

شعار النبالة سيسقط مرة واحدة (ك = 1):
.

شعار النبالة سيسقط مرتين (ك = 2):

شعار النبالة سيسقط ثلاث مرات (ك = 3):

شعار النبالة سيسقط أربع مرات (ك = 4):

شعار النبالة سوف يسقط خمس مرات (ك = 5):

لذلك ، فإن سلسلة التوزيع لها الشكل:

							الاحتمالات ذات الحدين

في هذه الحالة ، مجموع الاحتمالات يساوي واحدًا:

بيانياً ، يمكن تمثيل قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل على النحو التالي مضلع التوزيع- خط متعدد يربط نقاط المستوى بالإحداثيات ( س ط ، ص ط). أي ، القيم المحتملة لمتغير عشوائي يتم رسمها على طول محور الإحداثي ، ويتم رسم احتمالات هذه القيم على طول المحور الإحداثي. من أجل الوضوح ، يتم توصيل النقاط التي تم الحصول عليها بواسطة مقاطع خط مستقيم. يميز مضلع التوزيع ، وكذلك سلسلة التوزيع ، متغيرًا عشوائيًا تمامًا وهو أحد أشكال قانون التوزيع.

قيمة عشوائيةكمفهوم أساسي لنظرية الاحتمالات له أهمية كبيرة في تطبيقاته. هذا المفهوم هو تعبير تجريدي لحدث عشوائي. علاوة على ذلك ، يكون أحيانًا أكثر ملاءمة للعمل باستخدام متغيرات عشوائية مقارنة بالأحداث العشوائية.

عشوائيتسمى الكمية التي ، نتيجة للتجربة ، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى (لكن واحدة فقط) (قبل التجربة ، لا يُعرف أي منها).

عادة ما يتم الإشارة إلى الأحداث بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية ، والاحتمال بالحرف R ،علي سبيل المثال، ص (أ).يتم الإشارة إلى عمليات تحقيق الأحداث (المتغيرات العشوائية) بأحرف صغيرة: أ 1 , أ 2 , …, أن.

منذ في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي تعتبر الأحداث الجماهيرية ،ثم عادة ما يتميز المتغير العشوائي بـ القيم الممكنة واحتمالاتها.

من بين المتغيرات العشوائية التي تمت مواجهتها في الممارسة ، يمكن التمييز بين المتغيرات المنفصلة والمستمرة.

المتغيرات العشوائية المنفصلةتسمى تلك التي تأخذ فقط قيمًا منفصلة عن بعضها البعض ويمكن تعدادها مسبقًا.على سبيل المثال ، عدد السيارات في مقطع كيلومتر معين من الطريق في نقطة زمنية معينة ؛ عدد الوحدات المعيبة من أجزاء السيارة في دفعة نأشياء.

ل المتغيرات العشوائية المنفصلةمن المميزات أنهم يقبلون الانفصال ، قيم معزولةوالتي يمكن إدراجها مسبقًا. على سبيل المثال ، يمكن أن يأخذ عدد السيارات في قسم طريق معين قيمًا صحيحة فقط 0 ، 1 ، 2 ، ... ، صويعتمد على الوقت من اليوم وشدة حركة المرور.

هناك متغيرات عشوائية من نوع آخر ، وهي أكثر شيوعًا وذات أهمية عملية كبيرة.

متغير عشوائي مستمريسمى هذا ، القيم المحتملة التي تملأ باستمرار فترة معينة(فاصل المحور الرقمي). يمكن أن يكون الفاصل الزمني للمحور الرقمي محدودًا أو غير محدود. من أمثلة المتغيرات العشوائية المستمرة وقت تشغيل السيارة في ظل ظروف طريق معينة ، وسرعة السيارة على طريق معين ، وخطأ القياس.

على عكس منفصلةلا يمكن سرد القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية المستمرة مسبقًا ، لأنها تملأ فجوة معينة باستمرار.

عادة ما يتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية - X ، Y ، Z ، T ،وقيمها المحتملة بالصغير المقابل x i، y i، z i، t i، أين أنا = 1, 2, .... ص.

ضع في اعتبارك متغير عشوائي منفصل Xمع القيم الممكنة x 1 , x 2 , …, x ن.نتيجة التجارب المتكررة ، القيمة تييمكن أن تأخذ أيًا من القيم س ط، بمعنى آخر.:

س = س 1 ؛ س = س 2 ؛ … ؛ س = س.

دعونا نشير إلى احتمالات هذه الأحداث بالحرف صمع الفهارس المقابلة:

الفوسفور (X \ u003d × 1) \ u003d ص 1 ؛ الفوسفور (X \ u003d × 2) \ u003d ص 2 ؛ … ؛ الفوسفور (X = س ن) = ص ن.

بناء على حقيقة أن الأحداث س طتشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة ، أي لا يمكن أن تقع أحداث أخرى ، مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي T يساوي واحدًا.

يتم توزيع هذا الاحتمال الإجمالي بطريقة ما بين القيم الفردية للمتغير العشوائي

المتغير العشوائي المنفصليمكن وصفها بالكامل من وجهة نظر احتمالية إذا تم تحديد احتمال كل حدث بدقة ، أي بالنظر إلى هذا التوزيع. سيؤسس هذا قانون توزيع المتغير العشوائي.

قانون توزيع المتغير العشوائييتم استدعاء أي علاقة تنشئ اتصالاً بين القيم المحتملة لمتغير عشوائي والاحتمالات المقابلة لها. بمعرفة ذلك ، من الممكن أن نحكم قبل التجربة على قيم المتغير العشوائي التي ستظهر في كثير من الأحيان وأيها أقل تكرارًا. طرق أو أشكال تمثيل قانون توزيع متغير عشوائي مختلفة.

أبسط شكل من أشكال التنازل قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل T هو سلسلة التوزيعأو جدول يسرد القيم المحتملة لتلك الكمية والاحتمالات المقابلة لها.

دع المتغير العشوائي المستمر X تعطى بواسطة دالة التوزيع F(X) . لنفترض أن جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي تنتمي إلى المقطع [ أ, ب].

تعريف. توقع رياضييسمى المتغير العشوائي المستمر X ، الذي تنتمي قيمه المحتملة إلى المقطع ، تكاملاً محددًا

إذا تم أخذ القيم المحتملة للمتغير العشوائي في الاعتبار على محور الرقم بالكامل ، فسيتم العثور على التوقع الرياضي بواسطة الصيغة:

في هذه الحالة ، بالطبع ، من المفترض أن التكامل غير الصحيح يتقارب.

تعريف. تشتتيسمى المتغير العشوائي المستمر التوقع الرياضي لمربع انحرافه.

عن طريق القياس مع تباين المتغير العشوائي المنفصل ، يتم استخدام الصيغة التالية للحساب العملي للتباين:

تعريف. الانحراف المعيارييطلق عليه الجذر التربيعي للتباين.

تعريف. موضةيسمى M0 لمتغير عشوائي منفصل قيمته الأكثر احتمالا. بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر ، يكون الوضع هو قيمة المتغير العشوائي الذي تكون عنده كثافة التوزيع حدًا أقصى.

إذا كان مضلع التوزيع لمتغير عشوائي منفصل أو منحنى التوزيع لمتغير عشوائي مستمر له حد أقصى أو أكثر ، فإن هذا التوزيع يسمى مشروط مزدوجأو متعدد الوسائط.

إذا كان للتوزيع حد أدنى ولكن ليس حدًا أقصى ، فسيتم استدعاؤه مضاد.

تعريف. الوسيطإن MD لمتغير عشوائي X هي قيمته ، بالنسبة إلى احتمال الحصول على قيمة أكبر أو أصغر من المتغير العشوائي.

هندسيًا ، الوسيط هو حدود النقطة التي تنقسم عندها المنطقة التي يحدها منحنى التوزيع إلى النصف.

لاحظ أنه إذا كان التوزيع أحادي النسق ، فإن الوضع والوسيط يتطابقان مع التوقع الرياضي.

تعريف. لحظة الانطلاقطلب ك المتغير العشوائي X هو التوقع الرياضي للقيمة X ك.

لمتغير عشوائي منفصل:.

.

اللحظة الأولية من الدرجة الأولى تساوي التوقع الرياضي.

تعريف.اللحظة المركزيةطلب كيسمى المتغير العشوائي X التوقع الرياضي للقيمة

لمتغير عشوائي منفصل: .

لمتغير عشوائي مستمر: .

دائمًا ما تكون اللحظة المركزية من الدرجة الأولى صفرًا ، بينما تكون اللحظة المركزية من الدرجة الثانية مساوية للتشتت. تميز اللحظة المركزية من الترتيب الثالث عدم تناسق التوزيع.

تعريف. يتم استدعاء نسبة اللحظة المركزية من الترتيب الثالث إلى الانحراف المعياري في الدرجة الثالثة معامل عدم التماثل.

تعريف. لتوصيف الحدة والتسطيح للتوزيع ، تسمى الكمية التفرطح.

بالإضافة إلى الكميات المدروسة ، تُستخدم أيضًا ما يسمى باللحظات المطلقة:

لحظة البداية المطلقة:.

لحظة مركزية مطلقة: .

تسمى اللحظة المركزية المطلقة من الدرجة الأولى الحساب يعني الانحراف.

مثال.بالنسبة للمثال المذكور أعلاه ، حدد التوقع والتباين الرياضي للمتغير العشوائي X.

مثال.تحتوي الجرة على 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. يتم إخراج الكرة منها خمس مرات متتالية ، وفي كل مرة يتم إرجاع الكرة للخارج ويتم خلط الكرات. أخذ عدد الكرات البيضاء المستخرجة كمتغير عشوائي X ، ضع قانون توزيع هذه الكمية ، وحدد توقعها الرياضي وتباينها.

نظرًا لأنه يتم إرجاع الكرات في كل تجربة مرة أخرى ومختلطة ، يمكن اعتبار التجارب مستقلة (لا تؤثر نتيجة التجربة السابقة على احتمال حدوث أو عدم حدوث حدث في تجربة أخرى).

وبالتالي ، فإن احتمال ظهور كرة بيضاء في كل تجربة ثابت ومتساوٍ

وهكذا ، نتيجة خمس تجارب متتالية ، قد لا تظهر الكرة البيضاء على الإطلاق ، مرة واحدة ، مرتين ، ثلاث مرات ، أربع أو خمس مرات.

لوضع قانون توزيع ، عليك إيجاد احتمالات كل من هذه الأحداث.

1) لم تظهر الكرة البيضاء إطلاقا:

2) ظهرت الكرة البيضاء مرة واحدة:

3) ستظهر الكرة البيضاء مرتين: .

4) ستظهر الكرة البيضاء ثلاث مرات: