Показано е как се разпознава обобщено хомогенно диференциално уравнение. Разгледан е метод за решаване на обобщено хомогенно диференциално уравнение от първи ред. Даден е пример за подробно решение на такова уравнение.

Съдържание

Определение

Обобщено хомогенно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от вида:
, където ≠ 0 , α ≠ 1 , f - функция.

Как да определим дали едно диференциално уравнение е обобщено хомогенно

За да определим дали едно диференциално уравнение е обобщено хомогенно, трябва да въведем константа t и да направим заместването:
y → t α y , x → t x .
Ако успеем да изберем такава стойност α, при която константата t ще намалее, тогава това е - обобщено хомогенно диференциално уравнение. Промяната в производната y′ при такава замяна има формата:
.

Пример

Определете дали даденото уравнение е обобщено хомогенно:
.

Правим промяната y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 г′:
;
.
Разделете на t α+ 5 :
;
.
Уравнението няма да съдържа t, ако
4α - 6 = 0, α = 3/2 .
Тъй като за α = 3/2 , t се намалява, тогава това е обобщено хомогенно уравнение.

Метод на решение

Помислете за обобщеното хомогенно диференциално уравнение от първи ред:
(1) .
Нека покажем, че може да се сведе до хомогенно уравнение чрез заместване:
t = xα .
Наистина ли,
.
Оттук
; .
(1) :
;
.

Това е хомогенно уравнение. Решава се чрез заместване:
y = z t,
където z е функция на t.
При решаване на проблеми е по-лесно незабавно да приложите заместването:
y = z x α ,
където z е функция на x .

Пример за решаване на обобщено хомогенно диференциално уравнение от първи ред

Решете диференциално уравнение
(стр.1) .

Нека проверим дали даденото уравнение е обобщено хомогенно. За това в (стр.1)извършване на замяна:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 г′.
.
Разделете на t α:
.
t ще намалее, ако поставим α = - 1 . Така че това е обобщено хомогенно уравнение.

Правим замяна:
y = z x α = z x - 1 ,
където z е функция на x .
.
Заместваме в оригиналното уравнение (стр.1):
(стр.1) ;
;
.
Умножете по x и отворете скобите:
;
;
.
Разделете променливите - умножете по dx и разделете по x z 2 . За z ≠ 0 ние имаме:
.
Интегрираме с помощта на таблицата на интегралите:
;
;
;
.
Потенцира:
.
Заменяме константата e C → C и премахваме знака на модула, тъй като изборът на желания знак се определя от избора на знака на константата C:
.

Връщаме се към променливата y. Заместете z = xy :
.
Разделете на x:
(стр.2) .

Когато разделим на z 2 , ние приехме, че z ≠ 0 . Сега разгледайте решението z = xy = 0 , или y = 0 .
Тъй като за y = 0 , лявата страна на израза (стр.2)не е дефинирано, тогава към получения общ интеграл добавяме решението y = 0 .

;
.

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.

Като щракнете върху бутона "Изтегляне на архив", вие ще изтеглите безплатно необходимия ви файл.
Преди да изтеглите този файл, запомнете тези добри есета, контролни, курсови работи, тези, статии и други документи, които лежат непотърсени на вашия компютър. Това е ваша работа, тя трябва да участва в развитието на обществото и да е в полза на хората. Намерете тези произведения и ги изпратете в базата знания.
Ние и всички студенти, специализанти, млади учени, които използват базата от знания в своето обучение и работа, ще Ви бъдем много благодарни.

За да изтеглите архив с документ, въведете петцифрено число в полето по-долу и кликнете върху бутона "Изтегляне на архив"

Подобни документи

    Задачи на Коши за диференциални уравнения. Графика на решението на диференциалното уравнение от първи ред. Уравнения с отделими променливи и редуциране до хомогенни. Хомогенни и нехомогенни линейни уравнения от първи ред. уравнение на Бернули.

    лекция, добавена на 18.08.2012

    Основни понятия от теорията на обикновените диференциални уравнения. Знак на уравнение в тотални диференциали, изграждане на общ интеграл. Най-простите случаи на намиране на интегриращия фактор. Случаят на множител, зависещ само от X и само от Y.

    курсова работа, добавена на 24.12.2014

    Особености на диференциалните уравнения като отношения между функциите и техните производни. Доказателство на теоремата за съществуването и единствеността на решението. Примери и алгоритъм за решаване на уравнения в тотални диференциали. Интегриращ фактор в примерите.

    курсова работа, добавена на 11.02.2014

    Диференциални уравненияРикати. Общо решение линейно уравнение. Намиране на всички възможни решения на диференциалното уравнение на Бернули. Решение на уравнения с отделими променливи. Общи и специални решения на диференциалното уравнение на Клеро.

    курсова работа, добавена на 26.01.2015

    Уравнение с отделими променливи. Хомогенни и линейни диференциални уравнения. Геометрични свойства на интегралните криви. Пълен диференциалфункции на две променливи. Определяне на интеграла по методи на Бернули и вариации на произволна константа.

    резюме, добавен на 24.08.2015

    Понятия и решения на най-простите диференциални уравнения и диференциални уравнения от произволен ред, включително тези с постоянни аналитични коефициенти. Системи от линейни уравнения. Асимптотично поведение на решенията на някои линейни системи.

    дисертация, добавена на 10.06.2010г

    Общ интеграл от уравнението, приложение на метода на Лагранж за решаване на нехомогенно линейно уравнение с неизвестна функция. Решение на диференциално уравнение в параметрична форма. Условие на Ойлер, уравнение от първи ред в общите диференциали.

    контролна работа, добавена 11.02.2011

Уравнението М(х, г) dx+ н(х, г) dy=0 се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число кче лявата част на това уравнение се превръща в хомогенна функция от известна степен м относително х, г, dx и dy при условие че х се счита за стойността на първото измерване, г – к‑ то измерване , dx и dy – нула и (к-1) ти измервания. Например, това би било уравнението. (6.1)

Валидно при направеното предположение за измервания

х, г, dx и dy членове на лявата страна
и dy ще има съответно размери -2, 2 ки к-един. Приравнявайки ги, получаваме условието, че желаното число трябва да отговаря к: -2 = 2к = к-един. Това условие е изпълнено, когато к = -1 (с такива квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.

Обобщеното хомогенно уравнение се свежда до уравнение с отделими променливи, като се използва заместването
, където zе нова неизвестна функция. Нека интегрираме уравнение (6.1) по посочения метод. Като к = -1, тогава
, след което получаваме уравнението.

Интегрирайки го, откриваме
, където
. Това е общо решениеуравнения (6.1).

§ 7. Линейни диференциални уравнения от първи ред.

Линейно уравнение от 1-ви ред е уравнение, което е линейно по отношение на желаната функция и нейната производна. Изглежда като:

, (7.1)

където П(х) и В(х) са дадени непрекъснати функции на х. Ако функцията
, тогава уравнение (7.1) има вида:
(7.2)

и в противен случай се нарича линейно хомогенно уравнение
то се нарича линейно нехомогенно уравнение.

Линейното хомогенно диференциално уравнение (7.2) е уравнение с разделими променливи:

(7.3)

Изразът (7.3) е общото решение на уравнение (7.2). Да се ​​намери общо решение на уравнение (7.1), в което функцията П(х) обозначава същата функция като в уравнение (7.2), ние прилагаме метода, наречен метод на вариация на произволна константа и се състои в следното: ще се опитаме да изберем функцията C=C(х) така че общото решение на линейното хомогенно уравнение (7.2) би било решението на нехомогенното линейно уравнение (7.1). Тогава за производната на функция (7.3) получаваме:

.

Замествайки намерената производна в уравнение (7.1), ще имаме:

или
.

Където
, където е произволна константа. В резултат на това общото решение на нехомогенното линейно уравнение (7.1) ще бъде (7.4)

Първият член в тази формула представлява общото решение (7.3) на линейното хомогенно диференциално уравнение (7.2), а вторият член във формула (7.4) е конкретно решение на линейното нехомогенно уравнение (7.1), получено от общото (7.4) ) с
. Нека отделим това важно заключение под формата на теорема.

Теорема.Ако е известно едно конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение
, то всички останали решения имат формата
, където
е общото решение на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение.

Трябва обаче да се отбележи, че друг метод, понякога наричан метод на Бернули, по-често се използва за решаване на линейно нехомогенно диференциално уравнение от 1-ви ред (7.1). Ще търсим решение на уравнение (7.1) във формата
. Тогава
. Заместваме намерената производна в оригиналното уравнение:
.

Нека комбинираме, например, втория и третия член на последния израз и изваждаме функцията u(х) за скоби:
(7.5)

Ние изискваме скобите да изчезнат:
.

Решаваме това уравнение, като задаваме произволна константа ° С равно на нула:
. С намерена функция v(х) обратно към уравнение (7.5):
.

Решавайки го, получаваме:
.

Следователно общото решение на уравнение (7.1) има вида.

Диференциални уравнения от първи ред с отделими променливи.

Определение.Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от вида (3.1) или уравнение от вида (3.2)

За да се разделят променливите в уравнение (3.1), т.е. намалете това уравнение до така нареченото уравнение с разделени променливи, изпълнете следните действия: ;

Сега трябва да решим уравнението g(y)=0. Ако има реално решение y=a,тогава y=aсъщо ще бъде решение на уравнение (3.1).

Уравнение (3.2) се свежда до уравнение с отделени променливи чрез разделяне на произведението:

, което ни позволява да получим общия интеграл на уравнение (3.2): . (3.3)

Интегралните криви (3.3) ще бъдат допълнени от решенията ако съществуват такива решения.

Хомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред.

Определение 1.Уравнение от 1-ви ред се нарича хомогенно, ако отношението , наречено условие за хомогенност за функция от две променливи с нулева размерност.

Пример 1Покажете, че функцията е хомогенна с нулева размерност.

Решение. ,

Q.E.D.

Теорема.Всяка функция е хомогенна и, обратно, всяка хомогенна функция с нулева размерност се свежда до формата .

Доказателство.Първото твърдение на теоремата е очевидно, тъй като . Нека докажем второто твърдение. Нека , Тогава за хомогенна функция , което трябваше да се докаже.

Определение 2.Уравнение (4.1), в което Ми нса еднородни функции от една и съща степен, т.е. имат свойството за всички , се нарича хомогенен. Очевидно това уравнение винаги може да бъде сведено до вида (4.2), въпреки че това може да не се направи, за да се реши. Хомогенно уравнение се свежда до уравнение с отделими променливи чрез заместване на желаната функция гспоред формулата y=zx,където z(x)е новата желана функция. След като извършихме това заместване в уравнение (4.2), получаваме: или или .

Интегрирайки, получаваме общия интеграл на уравнението по отношение на функцията z(x) , което след многократна замяна дава общия интеграл на оригиналното уравнение. Освен това, ако са корените на уравнението , тогава функциите са решения на дадено хомогенно уравнение. Ако , тогава уравнението (4.2) приема формата

И се превръща в уравнение с отделими променливи. Неговите решения са полуправи: .

Коментирайте.Понякога е препоръчително вместо горната замяна да се използва заместването x=zy.

Обобщено хомогенно уравнение.

Уравнението M(x,y)dx+N(x,y)dy=0се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число кче лявата част на това уравнение се превръща в хомогенна функция от известна степен мотносително x, y, dxи dyпри условие че хсе счита за стойността на първото измерване, г – к-то измерване , dxи dy-нула и (k-1)ти измервания. Например, това би било уравнението . (6.1) Действително, при направеното предположение за измерванията x, y, dxи dyчленове на лявата страна и dyще има съответно размери -2, 2 ки к-един. Приравнявайки ги, получаваме условието, че желаното число трябва да отговаря к: -2 = 2к=к-един. Това условие е изпълнено, когато к= -1 (с такива квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.

деф 1 контрол на типа

Наречен хомогенно диференциално уравнение от първи ред(ODE).

Th1 Нека за функцията са изпълнени следните условия:

1) непрекъснато при

Тогава ODE (1) има общ интеграл, който за се дава по формулата:

където е някаква първопроизводна на функцията се произволна константа.

Забележка 1Ако за някои условието е изпълнено, тогава в процеса на решаване на ODE (1) решенията от вида могат да бъдат загубени; такива случаи трябва да се третират по-внимателно и всеки от тях да се проверява поотделно.

Така от теоремата Th1Трябва общ алгоритъм за решаване на ODE (1):

1) Направете подмяна:

2) Така ще се получи DE с отделими променливи, които трябва да бъдат интегрирани;

3) Връщане към старите g променливи;

4) Проверете стойностите за тяхното участие в решението оригинално дистанционно управление, при което условието

5) Запишете отговора.

Пример 1Решете DE (4).

решение: DE (4) е хомогенно диференциално уравнение, тъй като има формата (1). Нека направим замяната (3), това ще доведе уравнението (4) до вида:

Уравнение (5) е общият интеграл на DE (4).

Имайте предвид, че при разделяне на променливи и деление на, решенията могат да бъдат загубени, но това не е решение на DE (4), което лесно се проверява чрез директно заместване в равенство (4), тъй като тази стойност не е включена в областта на дефиницията на оригиналния DE.

Отговор:

Забележка 2Понякога човек може да напише ODE в термините на диференциали на променливи хи г.Препоръчително е да преминете от тази DE нотация към израза през производната и едва след това да извършите заместването (3).

Диференциални уравнения, свеждащи се до хомогенни.

деф. 2 Функцията се извиква хомогенна функция от степен k в района, за което ще бъде изпълнено равенството:

Ето най-често срещаните типове DE, които могат да бъдат сведени до формата (1) след различни трансформации.

1) къде е функцията е хомогенна, нулева степен, тоест вярно е следното равенство: DE (6) може лесно да се сведе до вида (1), ако поставим , което допълнително се интегрира с помощта на заместването (3).

2) (7), където функциите са хомогенни от една и съща степен к . DE на формата (7) също се интегрира с помощта на промяната (3).

Пример 2Решете DE (8).

решение:Нека покажем, че DE (8) е хомогенна. Разделяме на възможното, тъй като то не е решение на диференциалното уравнение (8).

Нека направим замяната (3), това ще доведе уравнението (9) до вида:

Уравнение (10) е общият интеграл на DE (8).

Имайте предвид, че при разделяне на променливи и деление на , решенията, съответстващи на стойностите на и, могат да бъдат загубени. Нека проверим тези изрази. Нека ги заместим в DE (8):



Отговор:

Интересно е да се отбележи, че при решаване този примерима функция, наречена "знак" на число х(Прочети " знак х”), дефиниран от израза:

Забележка 3Не е необходимо да привеждате DE (6) или (7) към формата (1), ако е очевидно, че DE е хомогенна, тогава е възможно незабавно да се замени

3) DE от формата (11) се интегрира като ODE, ако , докато заместването се извършва първоначално:

(12), където е решението на системата: (13) и след това използвайте заместването (3) за функцията След получаване на общия интеграл се върнете към променливите хи в.

Ако , тогава, като приемем в уравнение (11), получаваме DE с отделими променливи.

Пример 3Решете задачата на Коши (14).

решение:Нека покажем, че DE (14) се редуцира до хомогенна DE и интегрирана съгласно горната схема:

Нека решим нехомогенната система от линейни алгебрични уравнения (15) по метода на Крамер:

Правим промяна на променливите и интегрираме полученото уравнение:

(16) – Общ интеграл от DE (14). При разделяне на променливи решенията могат да бъдат загубени при деление с израза , който може да се получи изрично след решаване квадратно уравнение. Те обаче са взети предвид в общия интеграл (16) при

Нека намерим решение на проблема на Коши: заместваме стойностите на и в общия интеграл (16) и намираме с.

По този начин частичният интеграл ще бъде даден по формулата:

Отговор:

4) Възможно е да доведем някои DE до хомогенни за нова, все още неизвестна функция, ако приложим заместване на формата:

В същото време числото мсе избира от условието полученото уравнение, ако е възможно, да стане хомогенно до известна степен. Ако обаче това не може да се направи, тогава разглежданата DE не може да бъде сведена до хомогенна по този начин.

Пример 4Решете DU. (осемнадесет)

решение:Нека покажем, че DE (18) се редуцира до хомогенна DE с помощта на заместване (17) и след това се интегрира чрез заместване (3):

Да намерим с:

По този начин, конкретно решение на DE (24) има формата