В този урок ще дадем строго определение на моном, ще разгледаме различни примери от учебника. Припомнете си правилата за умножаване на степени с една и съща основа. Нека дадем определение на стандартната форма на монома, коефициента на монома и неговата буквална част. Нека разгледаме две основни типични операции върху мономи, а именно свеждане до стандартна форма и изчисляване на конкретна числова стойност на моном за дадени стойности на буквалните променливи, включени в него. Нека формулираме правилото за свеждане на монома до стандартната форма. Нека се научим как да решаваме типични задачи с произволни мономи.
Предмет:едночленни. Аритметични операции върху мономи
Урок:Концепцията за моном. Стандартна форма на моном
Помислете за някои примери:
3. 
;
Нека намерим общи черти за дадените изрази. И в трите случая изразът е продукт на числа и променливи, повдигнати на степен. Въз основа на това даваме дефиниция на моном : мономът е алгебричен израз, който се състои от произведение на степени и числа.
Сега даваме примери за изрази, които не са едночленни:
Нека намерим разликата между тези изрази и предишните. Състои се в това, че в примери 4-7 има операции на събиране, изваждане или деление, докато в примери 1-3, които са едночленни, тези операции не са.
Ето още няколко примера:
Израз номер 8 е едночленен, тъй като е произведение на степен и число, докато пример 9 не е едночленен.
Сега нека разберем действия върху мономи .
1. Опростяване. Помислете за пример №3 ;и пример №2 /
Във втория пример виждаме само един коефициент - , всяка променлива се среща само веднъж, тоест променливата " а” е представен в единичен екземпляр, като “”, по подобен начин променливите “” и “” се срещат само веднъж.
В пример № 3, напротив, има два различни коефициента - и , виждаме променливата "" два пъти - като "" и като "", по подобен начин променливата "" се среща два пъти. Тоест този израз трябва да бъде опростен, така че стигаме до първото действие, извършено върху мономи, е привеждането на монома в стандартната форма . За да направим това, привеждаме израза от пример 3 към стандартната форма, след което дефинираме тази операция и се научаваме как да приведем произволен моном в стандартната форма.
Така че помислете за пример:
Първата стъпка в операцията по стандартизация винаги е да се умножат всички числови фактори:
;
Резултатът от това действие ще бъде извикан мономиален коефициент .
След това трябва да умножите градусите. Умножаваме степените на променливата " х”съгласно правилото за умножение на степени с една и съща основа, което казва, че когато се умножат, степените се събират:
Сега нека умножим мощностите в»:
;
Ето един опростен израз:
;
Всеки моном може да бъде сведен до стандартна форма. Да формулираме правило за стандартизация :
Умножете всички числени фактори;
Поставете получения коефициент на първо място;
Умножете всички степени, тоест вземете буквената част;
Тоест всеки моном се характеризира с коефициент и буквена част. Поглеждайки напред, отбелязваме, че едночлените с една и съща буквена част се наричат подобни.
Сега трябва да печелите техника за редуциране на мономи до стандартна форма . Помислете за примери от учебника:
Задача: приведете монома в стандартната форма, назовете коефициента и буквената част.
За да изпълним задачата, използваме правилото за привеждане на монома до стандартния вид и свойствата на степените.
1. 
;
3. 
;
Коментари към първия пример: За начало нека определим дали този израз наистина е моном, за това проверяваме дали съдържа операции за умножение на числа и степени и дали съдържа операции на събиране, изваждане или деление. Можем да кажем, че този израз е моном, тъй като горното условие е изпълнено. Освен това, според правилото за привеждане на монома в стандартната форма, умножаваме числените фактори:
- намерихме коефициента на дадения моном;
; ; ; тоест буквалната част на израза се получава:;
запишете отговора: ;
Коментари към втория пример: Следвайки правилото, изпълняваме:
1) умножете числовите фактори:
2) умножете мощностите:
Променливите и са представени в едно копие, тоест не могат да бъдат умножени с нищо, те се пренаписват без промени, степента се умножава:
запишете отговора:
;
AT този примеркоефициентът на монома е равен на единица, а литералната част е .
Коментари към третия пример: aподобно на предишните примери, ние извършваме следните действия:
1) умножете числовите фактори:
;
2) умножете мощностите:
;
напишете отговора: ;
В този случай коефициентът на монома е равен на "", и буквалната част 
.
Сега помислете втора стандартна операция върху мономи . Тъй като мономът е алгебричен израз, състоящ се от буквални променливи, които могат да приемат специфични числови стойности, имаме аритметичен числов израз, който трябва да бъде изчислен. Тоест, следната операция върху полиноми е изчисляване на тяхната конкретна числена стойност .
Помислете за пример. Мономът е даден:
този моном вече е приведен до стандартна форма, коефициентът му е равен на единица, а буквалната част
По-рано казахме, че алгебричният израз не винаги може да бъде изчислен, тоест променливите, които влизат в него, може да не приемат никаква стойност. В случай на моном, променливите, включени в него, могат да бъдат всякакви, това е характеристика на монома.
Така че в дадения пример се изисква да се изчисли стойността на монома за , , , .
мономиалене израз, който е продукт на два или повече фактора, всеки от които е число, изразено с буква, цифри или степен (с неотрицателен целочислен показател):
2а, а 3 х, 4abc, -7х
Тъй като произведението на идентични фактори може да бъде записано като степен, тогава една степен (с неотрицателен целочислен показател) също е моном:
(-4) 3 , х 5 ,
Тъй като число (цяло или дробно), изразено с буква или цифри, може да бъде записано като произведение на това число на едно, тогава всяко единично число може също да се счита за моном:
х, 16, -а,
Стандартна форма на моном
Стандартна форма на моном- това е моном, който има само един числов множител, който трябва да бъде записан на първо място. Всички променливи са подредени по азбучен ред и се съдържат в монома само веднъж.
Числата, променливите и степените на променливите също се отнасят до мономи от стандартната форма:
7, б, х 3 , -5б 3 z 2 - мономи със стандартна форма.
Числовият коефициент на моном със стандартна форма се нарича мономиален коефициент. Обикновено не се записват мономиални коефициенти, равни на 1 и -1.
Ако няма числов фактор в монома от стандартната форма, тогава се приема, че коефициентът на монома е 1:
х 3 = 1 х 3
Ако в монома от стандартната форма няма числов фактор и той се предхожда от знак минус, тогава се приема, че коефициентът на монома е -1:
-х 3 = -1 х 3
Редукция на моном до стандартна форма
За да приведете монома в стандартна форма, трябва:
- Умножете числените коефициенти, ако са няколко. Повишете числов фактор до степен, ако има експонента. Поставете умножителя на числото на първо място.
- Умножете всички еднакви променливи, така че всяка променлива да се появи само веднъж в монома.
- Подредете променливите след числовия фактор по азбучен ред.
Пример.Изразете монома в стандартна форма:
а) 3 yx 2 (-2) г 5 х; б) 6 пр. н. е 0,5 аб 3
решение:
а) 3 yx 2 (-2) г 5 х= 3 (-2) х 2 хгг 5 = -6х 3 г 6
б) 6 пр. н. е 0,5 аб 3 = 6 0,5 абб 3 ° С = 3аб 4 ° С
Степен на моном
Степен на мономе сборът от степените на всички букви в него.
Ако едночленът е число, тоест не съдържа променливи, тогава неговата степен се счита за нула. Например:
5, -7, 21 - мономи с нулева степен.
Следователно, за да намерите степента на моном, трябва да определите степента на всяка от буквите, включени в него, и да добавите тези експоненти. Ако експонентът на буквата не е посочен, тогава той е равен на единица.
Примери:
Е, как си хекспонентът не е посочен, което означава, че е равен на 1. Едночленът не съдържа други променливи, което означава, че степента му е равна на 1.
Мономът съдържа само една променлива във втора степен, което означава, че степента на този моном е 2.
3) аб 3 ° С 2 д
Индикатор ае равно на 1, индикаторът б- 3, индикатор ° С- 2, индикатор д- 1. Степента на този моном е равна на сбора от тези показатели.
1. Целочислен положителен коефициент. Нека имаме моном +5a, тъй като положителното число +5 се счита за същото като аритметичното число 5, тогава
5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.
Също така +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc и така нататък.
Въз основа на тези примери можем да установим, че положителен целочислен коефициент показва колко пъти буквалният фактор (или: произведението на буквалните фактори) на монома се повтаря от термина.
Човек трябва да свикне с това до такава степен, че веднага да се появи във въображението, че например в полинома
3a + 4a² + 5a³
въпросът се свежда до факта, че първо a² се повтаря 3 пъти като член, след това a³ се повтаря 4 пъти като член и след това a се повтаря 5 пъти като член.
Също така: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ и т.н.
2. Положителен дробен коефициент. Нека имаме моном +a. Тъй като положителното число + съвпада с аритметичното число, тогава +a = a ∙ , което означава: трябва да вземете три четвърти от числото a, т.е.
Следователно: дробно положителен коефициент показва колко пъти и каква част от буквалния множител на монома се повтаря от члена.
Полином 
трябва лесно да се представи като:
и т.н.
3. Отрицателен коефициент. Познавайки умножението на относителните числа, можем лесно да установим, че например (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) или (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) или най-общо a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); също a ∙ (–) = (–a) ∙ (+) и т.н.
Следователно, ако вземем моном с отрицателен коефициент, например –3a, тогава
–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a се приема като член 3 пъти).
От тези примери виждаме, че отрицателният коефициент показва колко пъти буквената част на монома или неговата определена част, взета със знак минус, се повтаря от члена.
Мономите са един от основните видове изрази, изучавани като част от училищния курс по алгебра. В този материал ще ви разкажем какви са тези изрази, ще дефинираме стандартната им форма и ще покажем примери, както и ще се справим със свързани понятия, като степента на моном и неговия коефициент.
Какво е моном
Училищните учебници обикновено дават следното определение на това понятие:
Определение 1
Мономерите включватчисла, променливи, както и техните степени с естествен показател и различни видовепроизведения, направени от тях.
Въз основа на това определение можем да дадем примери за такива изрази. И така, всички числа 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 ще се отнасят до едночленни. Всички променливи, например x , a , b , p , q , t , y , z също ще бъдат едночленни по дефиниция. Това също включва степените на променливи и числа, например 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 и т 15, както и изрази като 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z и др. Моля, имайте предвид, че един моном може да включва или едно число, или променлива, или няколко, и те могат да бъдат споменати няколко пъти като част от един полином.
Такива видове числа като цели числа, рационални, естествени също принадлежат към едночленни числа. Тук можете също да включите реални и комплексни числа. Така че изрази като 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 също ще бъдат едночленни.
Каква е стандартната форма на моном и как да преобразуваме израз към него
За удобство на работа всички мономи първо се свеждат до специална форма, наречена стандартна. Нека уточним какво означава това.
Определение 2
Стандартната форма на мономате го наричат такава форма, в която е продукт на числов фактор и естествени степени на различни променливи. Числовият фактор, наричан още мономиален коефициент, обикновено се записва първо от лявата страна.
За по-голяма яснота избираме няколко монома със стандартен вид: 6 (това е моном без променливи), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Това също включва израза x y(тук коефициентът ще бъде равен на 1), − x 3(тук коефициентът е - 1).
Сега даваме примери за мономи, които трябва да бъдат приведени в стандартната форма: 4 а а 2 а 3(тук трябва да комбинирате същите променливи), 5 x (− 1) 3 y 2(тук трябва да комбинирате числовите фактори отляво).
Обикновено, когато един моном има няколко променливи, написани с букви, буквените фактори се записват по азбучен ред. Например предпочитаният запис 6 a b 4 c z 2, как b 4 6 a z 2 c. Въпреки това, редът може да бъде различен, ако целта на изчислението го изисква.
Всеки моном може да бъде сведен до стандартна форма. За да направите това, трябва да извършите всички необходими идентични трансформации.
Концепцията за степента на моном
Съпътстващото понятие за степента на монома е много важно. Нека напишем определението на това понятие.
Определение 3
Степен на моном, написана в стандартна форма, е сумата от експонентите на всички променливи, които са включени в неговия запис. Ако в него няма нито една променлива и самият моном е различен от 0, тогава неговата степен ще бъде нула.
Нека дадем примери за степените на монома.
Пример 1
И така, едночленът a има степен 1, защото a = a 1 . Ако имаме моном 7 , тогава той ще има нулева степен, тъй като няма променливи и е различен от 0 . И тук е влизането 7 a 2 x y 3 a 2ще бъде моном от 8-ма степен, тъй като сумата от степените на всички степени на променливите, включени в него, ще бъде равна на 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Стандартизираният моном и оригиналният полином ще имат една и съща степен.
Пример 2
Нека покажем как да изчислим степента на моном 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. В стандартна форма може да се запише като − 6 x 8 y 4. Изчисляваме степента: 8 + 4 = 12 . Следователно степента на оригиналния полином също е равна на 12 .
Концепцията за мономиален коефициент
Ако имаме стандартизиран моном, който включва поне една променлива, тогава говорим за него като за продукт с един числов фактор. Този фактор се нарича числен коефициент или мономиален коефициент. Нека запишем определението.
Определение 4
Коефициентът на моном се нарича числов фактор на моном, приведен до стандартна форма.
Вземете, например, коефициентите на различни мономи.
Пример 3
И така, в израза 8 и 3коефициентът ще бъде числото 8 и в (− 2 , 3) x y zте ще − 2 , 3 .
Особено внимание трябва да се обърне на коефициентите, равни на едно и минус едно. По правило те не са изрично посочени. Смята се, че в моном от стандартната форма, в който няма числов фактор, коефициентът е 1, например в изразите a, x z 3, a t x, тъй като те могат да се разглеждат като 1 a, x z 3 - като 1 x z 3и т.н.
По същия начин, при едночлени, които нямат числов фактор и които започват със знак минус, можем да разгледаме коефициента - 1.
Пример 4
Например изразите − x, − x 3 y z 3 ще имат такъв коефициент, тъй като те могат да бъдат представени като − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 и т.н.
Ако едночленът изобщо няма нито един буквален фактор, тогава и в този случай може да се говори за коефициент. Коефициентите на такива едночленни числа ще бъдат самите тези числа. Така, например, коефициентът на монома 9 ще бъде равен на 9.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Степен на моном
За един моном има понятието за неговата степен. Нека разберем какво е то.
Определение.
Степен на мономстандартната форма е сумата от експонентите на всички променливи, включени в нейния запис; ако няма променливи в едночленния запис и той е различен от нула, тогава неговата степен се счита за нула; числото нула се счита за моном, чиято степен не е дефинирана.
Определението на степента на моном ни позволява да дадем примери. Степента на монома a е равна на единица, тъй като a е a 1. Степента на монома 5 е нула, тъй като е различен от нула и неговото обозначение не съдържа променливи. И произведението 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 е едночлен от осма степен, тъй като сумата от експонентите на всички променливи a, x и y е 2+1+3+2=8.
Между другото, степента на моном, който не е написан в стандартна форма, е равна на степента на съответния моном със стандартна форма. За да илюстрираме казаното, изчисляваме степента на монома 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Този моном в стандартна форма има формата −6·x 8 ·y 4 , степента му е 8+4=12 . По този начин степента на оригиналния моном е 12 .
Мономиален коефициент
Един моном в стандартна форма, имащ поне една променлива в своето обозначение, е продукт с един-единствен числов фактор - числов коефициент. Този коефициент се нарича мономиален коефициент. Нека формализираме горните разсъждения под формата на определение.
Определение.
Мономиален коефициенте численият коефициент на монома, написан в стандартен вид.
Сега можем да дадем примери за коефициентите на различни мономи. Числото 5 е коефициентът на монома 5 a 3 по дефиниция, подобно на монома (−2.3) x y z има коефициент -2.3 .
Коефициентите на мономи, равни на 1 и −1, заслужават специално внимание. Въпросът тук е, че те обикновено не присъстват изрично в записа. Смята се, че коефициентът на мономи от стандартната форма, които нямат числов фактор в записването си, е равен на единица. Например, мономи a , x z 3 , a t x и т.н. имат коефициент 1, тъй като a може да се разглежда като 1 a, x z 3 като 1 x z 3 и т.н.
По същия начин коефициентът на мономи, чиито записи в стандартната форма нямат числов фактор и започват със знак минус, се счита за минус едно. Например, едночлените −x , −x 3 y z 3 и т.н. имат коефициент −1 , тъй като −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3и т.н.
Между другото, концепцията за коефициента на монома често се нарича мономи със стандартна форма, които са числа без буквени фактори. Коефициентите на такива едночленни числа се считат за тези числа. Така, например, коефициентът на монома 7 се счита за равен на 7.
Библиография.
- алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А.Г.алгебра. 7-ми клас. В 14 ч. Част 1. Учебник образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 17 изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (помагало за кандидатстващи в техникумите): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
