أوجد جيب التمام بين السطور. الزاوية بين السطور

حقنة φ المعادلات العامةأ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0 و أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0 ، تحسب بالصيغة:

حقنة φ بين خطين مستقيمين المعادلات المتعارف عليها(x-x 1) / m 1 \ u003d (y-y 1) / n 1 و (x-x 2) / m 2 \ u003d (y-y 2) / n 2 ، يتم حسابها بواسطة الصيغة:

المسافة من نقطة إلى خط

يمكن تمثيل كل طائرة في الفضاء كـ معادلة خط مستقيماتصل معادلة عامةطائرة

حالات خاصة.

o إذا كان في المعادلة (8) ، فإن المستوى يمر عبر الأصل.

o مع (،) يكون المستوى موازيًا للمحور (المحور ، المحور) ، على التوالي.

o عندما (،) يكون المستوى موازيًا للمستوى (المستوى ، المستوى).

الحل: استخدم (7)

الجواب: المعادلة العامة للطائرة.

مثال.

يتم إعطاء المستوى في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz بواسطة المعادلة العامة للمستوى . اكتب إحداثيات جميع المتجهات العادية في هذا المستوى.

نعلم أن معاملات المتغيرات x و y و z في المعادلة العامة للمستوى هي الإحداثيات المقابلة للمتجه العادي لذلك المستوى. لذلك ، المتجه الطبيعي للمستوى المحدد إحداثيات. يمكن إعطاء مجموعة جميع النواقل العادية كـ.

اكتب معادلة المستوى إذا كان Oxyz في نظام إحداثيات مستطيل يمر عبر نقطة ، أ هو المتجه الطبيعي لهذه الطائرة.

نقدم حلين لهذه المشكلة.

من حالتنا. نستبدل هذه البيانات في المعادلة العامة للمستوى الذي يمر عبر النقطة:

اكتب المعادلة العامة لمستوى موازٍ لمستوى الإحداثي Oyz ويمر بالنقطة .

يمكن إعطاء المستوى الموازي لمستوى الإحداثيات Oyz بواسطة معادلة عامة غير كاملة لمستوى النموذج. منذ هذه النقطة ينتمي إلى المستوى حسب الشرط ، ثم يجب أن تفي إحداثيات هذه النقطة بمعادلة المستوى ، أي أن المساواة يجب أن تكون صحيحة. من هنا نجد. وبالتالي ، فإن المعادلة المرغوبة لها الشكل.

قرار. المنتج المتجه ، حسب التعريف 10.26 ، متعامد مع المتجهين p و q. لذلك ، فهو متعامد مع المستوى المطلوب ويمكن اعتبار المتجه كمتجه طبيعي. أوجد إحداثيات المتجه n:

أي . باستخدام الصيغة (11.1) نحصل عليها

بفتح القوسين في هذه المعادلة ، نصل إلى الإجابة النهائية.

إجابه: .

دعنا نعيد كتابة المتجه العادي في الشكل ونجد طوله:

حسب ما سبق:

إجابه:

الطائرات المتوازية لها نفس المتجه الطبيعي. 1) من المعادلة نجد المتجه الطبيعي للمستوى :.

2) نقوم بتكوين معادلة المستوى وفقًا للنقطة والمتجه الطبيعي:

إجابه:

معادلة المتجه لمستوى في الفضاء

معادلة حدودية لمستوى في الفضاء

معادلة مستوى يمر عبر نقطة معينة عمودية على متجه معين

دع نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل في مساحة ثلاثية الأبعاد. لنقم بصياغة المشكلة التالية:

اكتب معادلة لمستوى يمر بنقطة معينة م(x 0, ذ 0, ض 0) عمودي على المتجه المعطى ن = ( أ, ب, ج} .

قرار. اسمحوا ان ص(x, ذ, ض) هي نقطة عشوائية في الفضاء. نقطة صينتمي إلى الطائرة إذا وفقط إذا كان المتجه النائب = {x − x 0, ذ − ذ 0, ض − ض 0) متعامد مع ناقل ن = {أ, ب, ج) (رسم بياني 1).

بعد كتابة شرط التعامد لهذه المتجهات (ن ، النائب) = 0 في شكل تنسيق نحصل على:

أ(x − x 0) + ب(ذ − ذ 0) + ج(ض − ض 0) = 0

معادلة مستوى بثلاث نقاط

في شكل متجه

في الإحداثيات

الترتيب المتبادل للطائرات في الفضاء

هي معادلات عامة لطائرتين. ثم:

1) إذا ثم تتزامن الطائرات.

2) إذا ، ثم الطائرات متوازية.

3) إذا أو ، ثم تتقاطع المستويات ونظام المعادلات

(6)

هي معادلات خط تقاطع المستويات المحددة.

قرار: نؤلف المعادلات الأساسية للخط المستقيم بالصيغة: إجابه:

نأخذ المعادلات الناتجة ونفصل عقليًا ، على سبيل المثال ، القطعة اليسرى:. الآن نحن نساوي هذه القطعة لأي رقم(تذكر أنه كان هناك صفر بالفعل) ، على سبيل المثال ، لواحد:. منذ ذلك الحين ، يجب أيضًا أن تكون "القطعتان" الأخريان مساوية لواحدة. بشكل أساسي ، تحتاج إلى حل النظام:

اكتب المعادلات البارامترية للأسطر التالية:

قرار: يتم إعطاء الخطوط بواسطة معادلات أساسية وفي المرحلة الأولى يجب أن يجد المرء نقطة ما تنتمي إلى الخط ومتجه اتجاهه.

أ) من المعادلات قم بإزالة النقطة ومتجه الاتجاه:. يمكنك اختيار نقطة أخرى (تم وصف كيفية القيام بذلك أعلاه) ، ولكن من الأفضل أن تأخذ النقطة الأكثر وضوحًا. بالمناسبة ، لتجنب الأخطاء ، استبدل إحداثياتها دائمًا في المعادلات.

دعونا نؤلف المعادلات البارامترية لهذا الخط المستقيم:

تكمن الراحة في المعادلات البارامترية في أنه بمساعدتها ، من السهل جدًا العثور على نقاط أخرى على الخط. على سبيل المثال ، دعنا نعثر على نقطة تتوافق إحداثياتها ، على سبيل المثال ، مع قيمة المعلمة:

وهكذا: ب) النظر في المعادلات المتعارف عليها . اختيار نقطة هنا بسيط ، لكنه ماكر: (احرص على عدم الخلط بين الإحداثيات !!!). كيفية سحب ناقل دليل؟ يمكنك التكهن بما يوازي هذا الخط ، أو يمكنك استخدام خدعة رسمية بسيطة: النسبة هي "y" و "Z" ، لذلك نكتب متجه الاتجاه ، ونضع صفرًا في المساحة المتبقية:.

نؤلف المعادلات البارامترية للخط المستقيم:

ج) دعنا نعيد كتابة المعادلات بالصيغة ، أي أن "Z" يمكن أن تكون أي شيء. وإن وجدت ، إذن ، على سبيل المثال ،. وبالتالي ، فإن النقطة تنتمي إلى هذا الخط. لإيجاد متجه الاتجاه ، نستخدم الأسلوب الرسمي التالي: في المعادلات الأولية يوجد "x" و "y" ، وفي متجه الاتجاه في هذه الأماكن نكتب الأصفار:. في المكان المتبقي نضع وحدة:. بدلاً من واحد ، أي رقم ، باستثناء الصفر ، سيفي بالغرض.

نكتب المعادلات البارامترية للخط المستقيم:

مهمة 1

أوجد جيب تمام الزاوية بين السطور $ \ frac (x + 3) (5) = \ frac (y-2) (- 3) = \ frac (z-1) (4) $ and $ \ left \ ( \ start (array) (c) (x = 2 \ cdot t-3) \\ (y = -t + 1) \\ (z = 3 \ cdot t + 5) \ end (array) \ right. $.

اترك سطرين في الفراغ: $ \ frac (x-x_ (1)) (m_ (1)) = \ frac (y-y_ (1)) (n_ (1)) = \ frac (z-z_ ( 1)) (p_ (1)) $ و $ \ frac (x-x_ (2)) (m_ (2)) = \ frac (y-y_ (2)) (n_ (2)) = \ frac (z - z_ (2)) (p_ (2)) $. نختار نقطة عشوائية في الفضاء ونرسم خطين إضافيين من خلالها ، بالتوازي مع البيانات. الزاوية بين الخطين المعينين هي أي من الزاويتين المتجاورتين اللتين تشكلهما الخطوط المساعدة. يمكن العثور على جيب التمام لإحدى الزوايا بين السطور باستخدام الصيغة المعروفة $ \ cos \ phi = \ frac (m_ (1) \ cdot m_ (2) + n_ (1) \ cdot n_ (2) + p_ (1) \ cdot p_ (2)) (\ sqrt (m_ (1) ^ (2) + n_ (1) ^ (2) + p_ (1) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (m_ (2 ) ^ (2) + n_ (2) ^ (2) + p_ (2) ^ (2))) $. إذا كانت القيمة $ \ cos \ phi> 0 $ ، فسيتم الحصول على زاوية حادة بين السطور ، إذا كان $ \ cos \ phi

المعادلات الأساسية للسطر الأول: $ \ frac (x + 3) (5) = \ frac (y-2) (- 3) = \ frac (z-1) (4) $.

يمكن الحصول على المعادلات الأساسية للخط المستقيم الثاني من المعادلات البارامترية:

\ \ \

وبالتالي ، فإن المعادلات الأساسية لهذا الخط هي: $ \ frac (x + 3) (2) = \ frac (y-1) (- 1) = \ frac (z-5) (3) $.

نحسب:

\ [\ cos \ phi = \ frac (5 \ cdot 2+ \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right) +4 \ cdot 3) (\ sqrt (5 ^ (2) + \ يسار (-3 \ يمين) ^ (2) + 4 ^ (2)) \ cdot \ sqrt (2 ^ (2) + \ يسار (-1 \ يمين) ^ (2) + 3 ^ (2))) = \ frac (25) (\ sqrt (50) \ cdot \ sqrt (14)) \ تقريبًا 0.9449. \]

المهمة 2

يمر السطر الأول بالنقاط المعطاة $ A \ left (2، -4، -1 \ right) $ و $ B \ left (-3،5،6 \ right) $ ، السطر الثاني يمر عبر النقاط المحددة $ C \ left (1، -2،8 \ right) $ و $ D \ left (6،7، -2 \ right) $. أوجد المسافة بين هذين الخطين.

لنفترض أن بعض الخطوط تكون متعامدة مع الأسطر $ AB $ و $ CD $ وتتقاطع بينهما عند النقطتين $ M $ و $ N $ على التوالي. في ظل هذه الظروف ، فإن طول المقطع $ MN $ يساوي المسافة بين السطور $ AB $ و $ CD $.

نبني المتجه $ \ overline (AB) $:

\ [\ overline (AB) = \ left (-3-2 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (5- \ left (-4 \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ يسار (6- \ يسار (-1 \ يمين) \ يمين) \ cdot \ bar (k) = - 5 \ cdot \ bar (i) +9 \ cdot \ bar (j) +7 \ cdot \ bar (k ). \]

دع المقطع الذي يمثل المسافة بين السطور يمر عبر النقطة $ M \ left (x_ (M) ، y_ (M) ، z_ (M) \ right) $ على السطر $ AB $.

نبني المتجه $ \ overline (AM) $:

\ [\ overline (AM) = \ left (x_ (M) -2 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (M) - \ left (-4 \ right) \ right) \ cdot \ شريط (j) + \ يسار (z_ (M) - \ يسار (-1 \ يمين) \ يمين) \ cdot \ bar (k) = \] \ [= \ left (x_ (M) -2 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (M) +4 \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (z_ (M) +1 \ right) \ cdot \ bar (k). \]

المتجهات $ \ overline (AB) $ و $ \ overline (AM) $ هي نفسها ، ومن ثم فهي متداخلة.

من المعروف أنه إذا كانت المتجهات $ \ overline (a) = x_ (1) \ cdot \ overline (i) + y_ (1) \ cdot \ overline (j) + z_ (1) \ cdot \ overline (k) $ و $ \ overline (b) = x_ (2) \ cdot \ overline (i) + y_ (2) \ cdot \ overline (j) + z_ (2) \ cdot \ overline (k) $ متداخلة ، ثم إحداثياتها متناسبة ، إذن هي $ \ frac (x _ ((\ it 2))) ((\ it x) _ ((\ it 1))) = \ frac (y _ ((\ it 2))) ((\ it y) _ ((\ it 1))) = \ frac (z _ ((\ it 2))) ((\ it z) _ ((\ it 1))) $.

$ \ frac (x_ (M) -2) (- 5) = \ frac (y_ (M) +4) (9) = \ frac (z_ (M) +1) (7) = m $ ، حيث $ m $ هو نتيجة القسمة.

من هنا نحصل على: $ x_ (M) -2 = -5 \ cdot m $؛ $ y_ (M) + 4 = 9 \ cdot m $؛ $ z_ (M) + 1 = 7 \ cdot m $.

أخيرًا ، نحصل على تعبيرات إحداثيات النقطة $ M $:

نبني المتجه $ \ overline (CD) $:

\ [\ overline (CD) = \ left (6-1 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (7- \ left (-2 \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ يسار (-2-8 \ يمين) \ cdot \ bar (k) = 5 \ cdot \ bar (i) +9 \ cdot \ bar (j) -10 \ cdot \ bar (k). \]

دع المقطع الذي يمثل المسافة بين السطور يمر عبر النقطة $ N \ left (x_ (N) ، y_ (N) ، z_ (N) \ right) $ على السطر $ CD $.

نقوم ببناء المتجه $ \ overline (CN) $:

\ [\ overline (CN) = \ left (x_ (N) -1 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (N) - \ left (-2 \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (z_ (N) -8 \ right) \ cdot \ bar (k) = \] \ [= \ left (x_ (N) -1 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ يسار (y_ (N) +2 \ يمين) \ cdot \ bar (j) + \ left (z_ (N) -8 \ right) \ cdot \ bar (k). \]

المتجهات $ \ overline (CD) $ و $ \ overline (CN) $ هي نفسها ، ومن ثم فهي على علاقة خطية. نطبق حالة المتجهات الخطية:

$ \ frac (x_ (N) -1) (5) = \ frac (y_ (N) +2) (9) = \ frac (z_ (N) -8) (- 10) = n $ حيث $ n $ هي نتيجة القسمة.

من هنا نحصل على: $ x_ (N) -1 = 5 \ cdot n $؛ $ y_ (N) + 2 = 9 \ cdot n $؛ $ z_ (N) -8 = -10 \ cdot n $.

أخيرًا ، نحصل على تعبيرات إحداثيات النقطة $ N $:

نبني متجه $ \ overline (MN) $:

\ [\ overline (MN) = \ left (x_ (N) -x_ (M) \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (N) -y_ (M) \ right) \ cdot \ bar (ي) + \ يسار (z_ (N) -z_ (M) \ right) \ cdot \ bar (k). \]

نستبدل التعبيرات بإحداثيات النقطتين $ M $ و $ N $:

\ [\ overline (MN) = \ يسار (1 + 5 \ cdot n- \ يسار (2-5 \ cdot m \ right) \ يمين) \ cdot \ bar (i) + \] \ [+ \ left (- 2 + 9 \ cdot n- \ left (-4 + 9 \ cdot m \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (8-10 \ cdot n- \ left (-1 + 7 \ cdot م \ يمين) \ يمين) \ cdot \ بار (ك). \]

بعد الانتهاء من الخطوات نحصل على:

\ [\ overline (MN) = \ يسار (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ right ) \ cdot \ bar (j) + \ left (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ right) \ cdot \ bar (k). \]

بما أن السطور $ AB $ و $ MN $ عموديان ، فإن الناتج القياسي للمتجهات المقابلة يساوي الصفر ، أي $ \ overline (AB) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:

\ [- 5 \ cdot \ يسار (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ right) +9 \ cdot \ left (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ right) +7 \ cdot \ يسار (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ right) = 0 ؛ \] \

بعد إكمال الخطوات نحصل على المعادلة الأولى لتحديد $ m $ و $ n $: $ 155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86 $.

بما أن السطور $ CD $ و $ MN $ عموديان ، فإن الناتج القياسي للمتجهات المقابلة يساوي الصفر ، أي $ \ overline (CD) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:

\ \ [- 5 + 25 \ cdot n + 25 \ cdot m + 18 + 81 \ cdot n-81 \ cdot m-90 + 100 \ cdot n + 70 \ cdot m = 0. \]

بعد إكمال الخطوات نحصل على المعادلة الثانية لتحديد $ m $ و $ n $: $ 14 \ cdot m + 206 \ cdot n = 77 $.

ابحث عن $ m $ و $ n $ عن طريق حل نظام المعادلات $ \ left \ (\ start (array) (c) (155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86) \\ (14 \ cdot m + 206 \ cdot n = 77) \ end (array) \ right. $.

نطبق طريقة كرامر:

\ [\ Delta = \ left | \ start (array) (cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \ end (array) \ right | = 31734؛ \] \ [\ Delta _ (m) = \ left | \ start (array) (cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \ end (array) \ right | = 16638؛ \] \ [\ Delta _ (n) = \ left | \ start (array) (cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \ end (array) \ right | = 10731؛ \ ] \

أوجد إحداثيات النقطتين $ M $ و $ N $:

\ \

أخيراً:

أخيرًا ، نكتب المتجه $ \ overline (MN) $:

$ \ overline (MN) = \ left (2.691- \ left (-0.6215 \ right) \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (1.0438-0.7187 \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (4،618-2،6701 \ right) \ cdot \ bar (k) $ أو $ \ overline (MN) = 3،3125 \ cdot \ bar (i) +0،3251 \ cdot \ bar (j) +1.9479 \ cdot \ بار (ك) $.

المسافة بين السطور $ AB $ و $ CD $ هي طول المتجه $ \ overline (MN) $: $ d = \ sqrt (3.3125 ^ (2) + 0.3251 ^ (2) + 1.9479 ^ (2)) \ حوالي 3.8565 دولار لين. الوحدات

أ. دعونا نعطي سطرين ، هذه الخطوط ، كما هو مبين في الفصل 1 ، تشكل زوايا موجبة وسالبة مختلفة ، والتي ، في هذه الحالة ، يمكن أن تكون حادة ومنفرجة. بمعرفة إحدى هذه الزوايا ، يمكننا بسهولة العثور على أي زوايا أخرى.

بالمناسبة ، بالنسبة لجميع هذه الزوايا ، فإن القيمة العددية للماس هي نفسها ، ويمكن أن يكون الاختلاف فقط في العلامة

معادلات الخطوط. الأرقام هي إسقاطات متجهات التوجيه للخط الأول والثاني ، والزاوية بين هذين المتجهين تساوي إحدى الزوايا المكونة من خطوط مستقيمة. لذلك ، يتم تقليل المشكلة إلى تحديد الزاوية بين المتجهات ، نحصل على

للتبسيط ، يمكننا الاتفاق على زاوية بين خطين مستقيمين لفهم زاوية موجبة حادة (كما في الشكل 53 على سبيل المثال).

عندئذٍ يكون ظل هذه الزاوية موجبًا دائمًا. وبالتالي ، إذا تم الحصول على علامة الطرح على الجانب الأيمن من الصيغة (1) ، فيجب علينا تجاهلها ، أي الاحتفاظ بالقيمة المطلقة فقط.

مثال. حدد الزاوية بين السطور

بالصيغة (1) لدينا

مع. إذا تمت الإشارة إلى أي جانب من جوانب الزاوية هو بدايتها ونهايتها ، فعند حساب اتجاه الزاوية دائمًا عكس اتجاه عقارب الساعة ، يمكننا استخراج شيء أكثر من الصيغ (1). كما يسهل رؤيته من الشكل. 53 العلامة التي تم الحصول عليها على الجانب الأيمن من الصيغة (1) ستشير إلى أي واحدة - حادة أو منفرجة - تشكل الزاوية الخط الثاني مع الأول.

(في الواقع ، من الشكل 53 نرى أن الزاوية بين متجهي الاتجاه الأول والثاني إما مساوية للزاوية المرغوبة بين الخطين ، أو تختلف عنها بمقدار ± 180 درجة.)

د. إذا كانت الخطوط متوازية ، فإن متجهات توجيهها تكون أيضًا متوازية. وبتطبيق شرط التوازي بين متجهين ، نحصل على!

هذا شرط ضروري وكافٍ ليكون الخطان متوازيين.

مثال. مباشر

موازية لأن

ه. إذا كانت الخطوط متعامدة ، فإن متجهات اتجاهها تكون أيضًا متعامدة. بتطبيق شرط العمودية لمتجهين ، نحصل على حالة عمودية سطرين ، وهما

مثال. مباشر

عمودي لأن

فيما يتعلق بشرط التوازي والعمودي ، سنحل المشكلتين التاليتين.

F. ارسم خطًا يوازي خطًا معينًا يمر بنقطة

يتم اتخاذ القرار على هذا النحو. نظرًا لأن الخط المطلوب موازٍ للخط المعطى ، فبالنسبة لمتجه التوجيه الخاص به ، يمكننا أن نأخذ نفس الخط الموجود في الخط المحدد ، أي متجه مع الإسقاطين A و B ، وبعد ذلك سيتم كتابة معادلة الخط المطلوب في النموذج (§ 1)

مثال. معادلة خط مستقيم يمر بنقطة (1 ؛ 3) موازية لخط مستقيم

سيكون التالي!

ز. ارسم خطًا عبر نقطة متعامدة على الخط المعطى

هنا ، لم يعد من المناسب أخذ متجه مع الإسقاطات A وكمتجه موجه ، ولكن من الضروري غربلة ناقل عمودي عليه. لذلك يجب اختيار إسقاطات هذا المتجه وفقًا لشرط أن كلا المتجهين متعامدين ، أي وفقًا للحالة

يمكن تحقيق هذا الشرط بعدد لا حصر له من الطرق ، حيث توجد هنا معادلة واحدة ذات مجهولين. ولكن أسهل طريقة هي أخذها. وبعد ذلك ستتم كتابة معادلة الخط المستقيم المطلوب بالصيغة

مثال. معادلة خط يمر بنقطة (-7 ؛ 2) في خط عمودي

سيكون كالآتي (حسب الصيغة الثانية)!

ح. في حالة إعطاء الخطوط بواسطة معادلات النموذج

لدينا إعادة كتابة هذه المعادلات بشكل مختلف

تعريف

يسمى الشكل الهندسي الذي يتكون من جميع نقاط المستوى المحاطة بين شعاعين ينبثقان من نقطة واحدة زاوية مسطحة.

تعريف

الزاوية بين اثنينمتقاطعة مباشرةتسمى قيمة أصغر زاوية مسطحة عند تقاطع هذه الخطوط. إذا كان خطان متوازيان ، فيُفترض أن الزاوية بينهما تساوي صفرًا.

يمكن أن تأخذ الزاوية بين خطين متقاطعين (إذا تم قياسها بالراديان) قيمًا من صفر إلى $ \ dfrac (\ pi) (2) $.

تعريف

الزاوية المحصورة بين خطين متقاطعينتسمى القيمة التي تساوي الزاوية بين خطين مستقيمين متقاطعين موازيين للخط المنحرف. الزاوية بين الخطين $ a $ و $ b $ يُرمز لها بزاوية $ \ (a، b) $.

يتبع صحة التعريف المقدم من النظرية التالية.

نظرية زاوية الطائرة ذات الأضلاع المتوازية

قيمتا زاويتين محدبتين من زاويتين متقابلتين متساويتين في الاتجاه المتوازي.

دليل - إثبات

إذا كانت الزوايا مستقيمة ، فإن كلاهما يساوي $ \ pi $. إذا لم يتم تطويرها ، فإننا نضع جانبًا شرائح متساوية $ ON = O_1ON_1 $ و $ OM = O_1M_1 $ على الجوانب المقابلة من الزوايا $ \ الزاوية AOB $ و $ \ الزاوية A_1O_1B_1 $.

الرباعي $ O_1N_1NO $ متوازي أضلاع لأنه الأطراف المقابلة$ ON $ و $ O_1N_1 $ متساويان ومتوازيان. وبالمثل ، فإن الشكل الرباعي $ O_1M_1MO $ متوازي أضلاع. ومن ثم ، فإن $ NN_1 = OO_1 = MM_1 $ و $ NN_1 \ موازٍ OO_1 \ متوازي MM_1 $ ، ومن هنا فإن $ NN_1 = MM_1 $ و $ NN_1 \ متوازي MM_1 $ بواسطة العبور. الشكل الرباعي $ N_1M_1MN $ متوازي أضلاع لأن أضلاعه المقابلة متساوية ومتوازية. ومن ثم ، فإن الجزأين $ NM $ و $ N_1M_1 $ متساويان أيضًا. المثلثات $ ONM $ و $ O_1N_1M_1 $ متساويتان وفقًا لمعيار مساواة المثلث الثالث ، وبالتالي فإن الزاويتين المتماثلتين $ \ angle NOM $ و $ \ angle N_1O_1M_1 $ متساويتان أيضًا.

دع الخطين l و m على المستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية المعادلات العامة: ل: أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0 ، م: أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0

نواقل الأعراف لهذه الخطوط: = (أ 1 ، ب 1) - إلى السطر ل ،

= (أ 2 ، ب 2) إلى الخط م.

لنفترض أن j هي الزاوية بين الخطين l و m.

بما أن الزوايا ذات الأضلاع المتعامدة بشكل متبادل متساوية أو تساوي p ، إذن ، أي cos j =.

لذلك ، لقد أثبتنا النظرية التالية.

نظرية.لنفترض أن j هي الزاوية الواقعة بين خطين مستقيمين في المستوى ، ودع هذه الخطوط المستقيمة تُعطى في نظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلات العامة A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 و A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. ثم cos j = .

تمارين.

1) اشتق معادلة لحساب الزاوية بين السطور إذا:

(1) يتم إعطاء كلا السطرين حدوديًا ؛ (2) يتم إعطاء كلا الخطين بواسطة المعادلات الكنسية ؛ (3) يتم إعطاء خط مستقيم واحد حدوديًا ، ويتم إعطاء خط مستقيم آخر - بواسطة المعادلة العامة ؛ (4) يتم إعطاء كلا الخطين بواسطة معادلة الميل.

2) لنفترض أن j هي الزاوية الواقعة بين خطين مستقيمين في المستوى ، ودع هذه الخطوط المستقيمة تُعطى لنظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلتين y = k 1 x + b 1 و y = k 2 x + b 2.

ثم tan j =.

3) استكشف الموضع النسبي لخطين المعطاة بواسطة المعادلات العامة في نظام الإحداثيات الديكارتية واملأ الجدول:

المسافة من نقطة إلى خط في المستوى.

دع الخط l على المستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية يُعطى بالمعادلة العامة Ax + By + C = 0. أوجد المسافة من النقطة M (x 0 ، y 0) إلى الخط l.

المسافة من النقطة M إلى الخط l هي طول العمود الرأسي HM (H н l، HM ^ l).

المتجه والمتجه العادي للخط l متصلان ، بحيث يكون | | = | | | | و | | =.

دع إحداثيات النقطة H تكون (x ، y).

نظرًا لأن النقطة H تنتمي إلى السطر l ، فإن Ax + By + C = 0 (*).

إحداثيات المتجهات و: = (س 0 - س ، ص 0 - ص) ، = (أ ، ب).

| | = = =

(C = -Ax - By ، انظر (*))

نظرية.دع الخط l يُعطى في نظام الإحداثيات الديكارتية بالمعادلة العامة Ax + By + C = 0. ثم تُحسب المسافة من النقطة M (x 0 ، y 0) إلى هذا الخط بالصيغة: r (M ؛ ل) = .

تمارين.

1) اشتق معادلة لحساب المسافة من نقطة إلى خط إذا: (1) تم إعطاء الخط حدوديًا ؛ (2) يتم إعطاء الخط بواسطة المعادلات الأساسية ؛ (3) يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة معادلة الميل.

2) اكتب معادلة مماس الدائرة للخط 3x - y = 0 المتمركز عند Q (-2،4).

3) اكتب معادلات الخطوط التي تقسم الزوايا المكونة من تقاطع المستقيمين 2x + y - 1 = 0 و x + y + 1 = 0 في النصف.

§ 27. تعريف تحليلي لمستوى في الفضاء

تعريف. المتجه الطبيعي للطائرةسوف نسمي متجهًا غير صفري ، أي ممثل له يكون عموديًا على المستوى المحدد.

تعليق.من الواضح أنه إذا كان ممثل واحد على الأقل للمتجه متعامدًا على المستوى ، فإن جميع الممثلين الآخرين للناقل يكونون متعامدين على هذا المستوى.

دع نظام الإحداثيات الديكارتية يُعطى في الفضاء.

دع المستوى a يُعطى ، = (A ، B ، C) - المتجه الطبيعي لهذا المستوى ، النقطة M (x 0 ، y 0 ، z 0) تنتمي إلى المستوى a.

لأي نقطة N (x ، y ، z) للمستوى a ، المتجهات والمتعامدة ، أي أن حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا: = 0. لنكتب المساواة الأخيرة في الإحداثيات: A (x - x 0 ) + B (y - y 0) + C (z - z0) = 0.

دعونا -Ax 0 - بمقدار 0 - Cz 0 = D ، ثم Ax + By + Cz + D = 0.

خذ نقطة K (x ، y) بحيث يكون Ax + By + Cz + D \ u003d 0. منذ D \ u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0 ، ثم أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + ج (ض - ع 0) = 0.نظرًا لأن إحداثيات المقطع الموجه = (x - x 0، y - y 0، z - z 0) ، فإن المساواة الأخيرة تعني أن ^ ، وبالتالي K н a.

لذلك ، أثبتنا النظرية التالية:

نظرية.يمكن تحديد أي مستوى في الفضاء في نظام الإحداثيات الديكارتية من خلال معادلة من الشكل Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ، حيث (A ، B ، C) هي إحداثيات المتجه الطبيعي لهذا المستوى.

والعكس صحيح أيضا.

نظرية.أي معادلة بالصيغة Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) في نظام الإحداثيات الديكارتية تحدد مستوى معينًا ، بينما (A ، B ، C) هي إحداثيات عادية ناقلات لهذه الطائرة.

دليل - إثبات.

خذ النقطة M (x 0 ، y 0 ، z 0) بحيث يكون Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 والمتجه = (A ، B ، C) (≠ q).

يمر مستوى (وواحد فقط) عبر النقطة M عموديًا على المتجه. وفقًا للنظرية السابقة ، يتم الحصول على هذا المستوى من خلال المعادلة Ax + By + Cz + D = 0.

تعريف.معادلة بالصيغة Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) تسمى المعادلة العامة للطائرة.

مثال.

لنكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط M (0.2.4) و N (1 ، -1.0) و K (-1.0.5).

1. أوجد إحداثيات المتجه العادي للمستوى (MNK). نظرًا لأن المنتج المتجه ´ متعامد مع المتجهات غير الخطية ، والمتجه متصل مع ´.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11، 3، -5).

لذلك ، كمتجه عادي ، خذ المتجه = (-11 ، 3 ، -5).

2. دعونا الآن نستخدم نتائج النظرية الأولى:

معادلة هذا المستوى أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + ج (ض - ع 0) = 0 ، حيث (أ ، ب ، ج) هي إحداثيات المتجه العادي ، (س 0 ، y 0، z 0) - إحداثيات نقطة في المستوى (على سبيل المثال ، النقطة M).

11 (س - 0) + 3 (ص - 2) - 5 (ض - 4) = 0

11 س + 3 ص - 5 ع + 14 = 0

الجواب: -11 س + 3 ص - 5 ع + 14 = 0.

تمارين.

1) اكتب معادلة المستوى إذا

(1) أن الطائرة تمر عبر النقطة M (-2،3،0) الموازية للمستوى 3x + y + z = 0 ؛

(2) يحتوي المستوى على المحور (Ox) وهو عمودي على المستوى x + 2y - 5z + 7 = 0.

2) اكتب معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط معطاة.

§ 28. المواصفات التحليلية لنصف مساحة *

تعليق*. دع بعض الطائرات تكون ثابتة. تحت نصف المساحةسوف نفهم مجموعة النقاط الموجودة على جانب واحد من مستوى معين ، أي أن نقطتين تقعان في نفس نصف المساحة إذا كان الجزء الذي يربط بينهما لا يتقاطع مع المستوى المحدد. هذه الطائرة تسمى حدود هذا النصف مساحة. سيتم استدعاء اتحاد مستوى معين ونصف الفضاء نصف مساحة مغلقة.

دع نظام الإحداثيات الديكارتية يكون ثابتًا في الفضاء.

نظرية.دع المستوى a يُعطى بالمعادلة العامة Ax + By + Cz + D = 0. ثم أحد نصفي مسافات حيث يقسم المستوى a المساحة تعطى بواسطة المتباينة Ax + By + Cz + D> 0 ، ونصف المساحة الثانية تعطى من خلال المتباينة Ax + By + Cz + D< 0.

دليل - إثبات.

دعونا نرسم المتجه الطبيعي = (A ، B ، С) للمستوى a من النقطة M (x 0 ، y 0 ، z 0) الموجودة على هذا المستوى: = ، M н a ، MN ^ a. تقسم الطائرة المساحة إلى نصفين: b 1 و b 2. من الواضح أن النقطة N تنتمي إلى أحد هذه المسافات النصفية. بدون فقدان العمومية ، نفترض أن N н b 1.

دعنا نثبت أن نصف المسافة b 1 يتم تعريفها من خلال المتباينة Ax + By + Cz + D> 0.

1) خذ النقطة K (x ، y ، z) في نصف المسافة ب 1. الزاوية Ð NMK هي الزاوية بين المتجهات وهي حادة ، وبالتالي يكون الناتج القياسي لهذه المتجهات موجبًا:> 0. لنكتب هذه المتباينة في الإحداثيات: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)> 0 ، أي Ax + By + Cy - Ax 0 - بمقدار 0 - C z 0> 0.

بما أن M н b 1 ، إذن Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0 ، بالتالي -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. لذلك ، يمكن كتابة آخر متباينة على النحو التالي: Ax + By + تشيك + د> 0.

2) خذ النقطة L (x، y) بحيث أن Ax + By + Cz + D> 0.

دعونا نعيد كتابة المتباينة ، مع استبدال D بـ (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (منذ M н b 1 ، ثم Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A (x - x 0) ) + B (y - y 0) + C (z - z 0)> 0.

المتجه ذو الإحداثيات (x - x 0، y - y 0، z - z 0) متجه ، لذا فإن التعبير A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) يمكن فهمه ، باعتباره المنتج القياسي للناقلات و. بما أن الناتج القياسي للمتجهات موجب ، فإن الزاوية بينهما حادة والنقطة L н b 1.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت أن نصف المسافة b 2 معطاة من خلال المتباينة Ax + By + Cz + D< 0.

ملاحظات.

1) من الواضح أن الدليل أعلاه لا يعتمد على اختيار النقطة M في المستوى أ.

2) من الواضح أن نفس نصف المساحة يمكن تحديدها من خلال عدم المساواة المختلفة.

والعكس صحيح أيضا.

نظرية.أي متباينة خطية بالصيغة Ax + By + Cz + D> 0 (أو Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

دليل - إثبات.

تحدد المعادلة Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) في الفضاء بعض المستوى أ (انظر الفقرة ...). كما تم إثباته في النظرية السابقة ، أحد نصفي الفراغ اللذين يقسم عليهما المستوى الفراغ مُعطى بواسطة المتباينة Ax + By + Cz + D> 0.

ملاحظات.

1) من الواضح أنه يمكن تعريف نصف مساحة مغلقة من خلال عدم مساواة خطية غير صارمة ، وأي تفاوت خطي غير صارم في نظام الإحداثيات الديكارتية يحدد نصف مساحة مغلقة.

2) يمكن تعريف أي متعدد السطوح محدب على أنه تقاطع مسافات نصف مغلقة (حدودها عبارة عن مستويات تحتوي على وجوه متعدد السطوح) ، أي بشكل تحليلي ، من خلال نظام من عدم المساواة الخطية غير الصارمة.

تمارين.

1) إثبات النظريتين المقدمتين لنظام إحداثيات أفيني تعسفي.

2) هل العكس صحيح ، أن أي نظام من عدم المساواة الخطية غير الصارمة يحدد مضلع محدب؟

تمرين.

1) استكشف الموضع النسبي للطائرتين المعطاة بواسطة المعادلات العامة في نظام الإحداثيات الديكارتية واملأ الجدول.