Система от линейни уравнения е обединение от n линейни уравнения, всяко от които съдържа k променливи. Пише се така:

Мнозина, когато се сблъскат с висша алгебра за първи път, погрешно вярват, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на променливите. В училищната алгебра това обикновено е така, но за висшата алгебра това, най-общо казано, не е вярно.

Решението на система от уравнения е поредица от числа (k 1 , k 2 , ..., k n ), което е решението на всяко уравнение на системата, т.е. при заместване в това уравнение вместо променливи x 1 , x 2 , ..., x n дава правилното числово равенство.

Съответно да се реши система от уравнения означава да се намери множеството от всички нейни решения или да се докаже, че това множество е празно. Тъй като броят на уравненията и броят на неизвестните може да не са еднакви, възможни са три случая:

  1. Системата е непоследователна, т.е. множеството от всички решения е празно. Доста рядък случай, който лесно се открива, независимо кой метод за решаване на системата.
  2. Системата е последователна и дефинирана, т.е. има точно едно решение. Класическият вариант, добре познат още от училище.
  3. Системата е последователна и недефинирана, т.е. има безкрайно много решения. Това е най-трудният вариант. Не е достатъчно да се твърди, че "системата има безкраен набор от решения" - необходимо е да се опише как е подредено това множество.

Променливата x i се нарича разрешена, ако е включена само в едно уравнение на системата и с коефициент 1. С други думи, в останалите уравнения коефициентът за променливата x i трябва да бъде равен на нула.

Ако изберем една разрешена променлива във всяко уравнение, получаваме набор от разрешени променливи за цялата система от уравнения. Самата система, написана в този вид, също ще се нарича разрешена. Най-общо казано, една и съща първоначална система може да бъде сведена до различни разрешени системи, но това не ни засяга сега. Ето примери за разрешени системи:

И двете системи са разрешени по отношение на променливите x 1 , x 3 и x 4 . Със същия успех обаче може да се твърди, че втората система е разрешена по отношение на x 1 , x 3 и x 5 . Достатъчно е да пренапишем последното уравнение във вида x 5 = x 4 .

Сега разгледайте един по-общ случай. Да предположим, че имаме общо k променливи, от които r са разрешени. Тогава са възможни два случая:

  1. Броят на разрешените променливи r е равен на общия брой променливи k : r = k . Получаваме система от k уравнения, в които r = k разрешени променливи. Такава система е съвместна и категорична, т.к x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k \u003d b k;
  2. Броят на разрешените променливи r е по-малък от общия брой на променливите k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Така че в горните системи променливите x 2 , x 5 , x 6 (за първата система) и x 2 , x 5 (за втората) са безплатни. Случаят, когато има свободни променливи, е по-добре формулиран като теорема:

Моля, обърнете внимание: това е много важен момент! В зависимост от това как пишете крайната система, една и съща променлива може да бъде както разрешена, така и безплатна. Повечето напреднали преподаватели по математика препоръчват изписването на променливи в лексикографски ред, т.е. възходящ индекс. Въпреки това, изобщо не е нужно да следвате този съвет.

Теорема. Ако в система от n уравнения променливите x 1 , x 2 , ..., x r са разрешени и x r + 1 , x r + 2 , ..., x k са свободни, тогава:

  1. Ако зададем стойностите на свободните променливи (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ) и след това намерим стойностите x 1 , x 2 , . .., x r , получаваме едно от решенията.
  2. Ако стойностите на свободните променливи в две решения са еднакви, тогава стойностите на разрешените променливи също са еднакви, т.е. решенията са равни.

Какво е значението на тази теорема? За да се получат всички решения на разрешената система от уравнения, е достатъчно да се отделят свободните променливи. След това, като присвоим различни стойности на безплатни променливи, ще получим готови решения. Това е всичко - по този начин можете да получите всички решения на системата. Няма други решения.

Заключение: разрешената система от уравнения винаги е последователна. Ако броят на уравненията в разрешената система е равен на броя на променливите, системата ще бъде определена; ако е по-малък, тя ще бъде неопределена.

И всичко би било наред, но възниква въпросът: как да се получи разрешеното от оригиналната система от уравнения? За това има

Система от m линейни уравнения с n неизвестнинаречена система от формата

където aijи b i (и=1,…,м; б=1,…,н) са някои известни числа и x 1 ,…,x n- неизвестен. В обозначението на коефициентите aijпърви индекс иобозначава номера на уравнението, а вторият jе числото на неизвестното, при което стои този коефициент.

Коефициентите за неизвестните ще бъдат записани под формата на матрица , която ще наречем системна матрица.

Числата от дясната страна на уравненията b 1 ,…,b mНаречен безплатни членове.

Агрегат нчисла c 1 ,…,c nНаречен решениена тази система, ако всяко уравнение на системата се превърне в равенство след заместване на числа в него c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

Нашата задача ще бъде да намерим решения на системата. В този случай могат да възникнат три ситуации:

Нарича се система от линейни уравнения, която има поне едно решение става. AT в противен случай, т.е. ако системата няма решения, тогава тя се извиква несъвместими.

Помислете за начини за намиране на решения на системата.


МАТРИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ НА ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Матриците позволяват накратко да се запише система от линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:

Помислете за матрицата на системата и матрични колони от неизвестни и свободни членове

Да намерим продукта

тези. в резултат на произведението получаваме лявата страна на уравненията на тази система. След това, използвайки дефиницията на матричното равенство, тази система може да бъде записана като

или по-кратък А∙X=B.

Ето матрици Аи Бса известни, а матрицата хнеизвестен. Тя трябва да бъде намерена, т.к. нейните елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.

Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матричното уравнение се решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението вляво по матрицата A-1, обратното на матрицата А: . Дотолкова доколкото A -1 A = Eи Е∙X=X, тогава получаваме решението на матричното уравнение във формата X = A -1 B .

Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да се намери само за квадратни матрици, матричният метод може да реши само онези системи, в които броят на уравненията е същият като броя на неизвестните. Въпреки това, матричната нотация на системата е възможна и в случай, когато броят на уравненията не е равен на броя на неизвестните, тогава матрицата Ане е квадратна и следователно е невъзможно да се намери решение на системата във формата X = A -1 B.

Примери.Решаване на системи от уравнения.

ПРАВИЛОТО НА КРАМЪР

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

Детерминанта от трети порядък, съответстваща на матрицата на системата, т.е. съставен от коефициенти при неизвестни,

Наречен системен детерминант.

Съставяме още три детерминанта, както следва: заменяме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

Тогава можем да докажем следния резултат.

Теорема (правилото на Крамер).Ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава разглежданата система има едно и само едно решение и

Доказателство. И така, разгледайте система от 3 уравнения с три неизвестни. Умножете 1-вото уравнение на системата по алгебричното допълнение А 11елемент а 11, 2-ро уравнение - на A21и 3-то - на А 31:

Нека добавим тези уравнения:

Разгледайте всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разширяването на детерминантата по отношение на елементите от 1-ва колона

По същия начин може да се покаже, че и .

В крайна сметка е лесно да се види това

Така получаваме равенството: .

Следователно, .

Равенствата и се извеждат по подобен начин, откъдето следва твърдението на теоремата.

По този начин отбелязваме, че ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение и обратно. Ако детерминантата на системата е равна на нула, тогава системата или има безкраен набор от решения, или няма решения, т.е. несъвместими.

Примери.Решете система от уравнения


МЕТОД НА ГАУС

Разгледаните по-рано методи могат да се използват за решаване само на онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните, а детерминантата на системата трябва да е различна от нула. Методът на Гаус е по-универсален и е подходящ за системи с произволен брой уравнения. Състои се в последователно елиминиране на неизвестните от уравненията на системата.

Помислете отново за система от три уравнения с три неизвестни:

.

Оставяме първото уравнение непроменено, а от 2-ро и 3-то изключваме членовете, съдържащи х 1. За да направите това, разделяме второто уравнение на а 21 и умножете по - а 11 и след това добавете с 1-во уравнение. По същия начин разделяме третото уравнение на а 31 и умножете по - а 11 и след това го добавете към първия. В резултат на това оригиналната система ще приеме формата:

Сега, от последното уравнение, елиминираме члена, съдържащ x2. За да направите това, разделете третото уравнение на , умножете по и го добавете към второто. Тогава ще имаме система от уравнения:

Следователно от последното уравнение е лесно да се намери х 3, след това от 2-ро уравнение x2и накрая от 1-ви - х 1.

Когато се използва методът на Гаус, уравненията могат да бъдат разменени, ако е необходимо.

Често, вместо да напишат нова система от уравнения, те се ограничават до изписване на разширената матрица на системата:

и след това го приведете до триъгълна или диагонална форма с помощта на елементарни трансформации.

Да се елементарни трансформацииматриците включват следните трансформации:

  1. пермутация на редове или колони;
  2. умножаване на низ по ненулево число;
  3. добавяне към един ред на други редове.

Примери:Решаване на системи от уравнения по метода на Гаус.


Така системата има безкраен брой решения.


Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема на курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за създаването на тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

  • изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
  • изучаване на теорията на избрания метод,
  • Решете вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробно решенията на типични примери и задачи.

Кратко описание на материала на статията.

Първо, даваме всички необходими дефиниции, понятия и въвеждаме някои обозначения.

След това разглеждаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, нека се съсредоточим върху метода на Крамер, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (метод за последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това преминаваме към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с общ вид, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е изродена. Ние формулираме теоремата на Кронекер-Капели, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (в случай на тяхната съвместимост), използвайки концепцията за базисен минор на матрица. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Не забравяйте да се спрете на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека да дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как се пише общо решение SLAE с помощта на вектори на основната система от решения. За по-добро разбиране, нека разгледаме няколко примера.

В заключение разглеждаме системи от уравнения, които се редуцират до линейни, както и различни проблеми, при решаването на които възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да бъде равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).

Тази форма на SLAE се нарича координати.

AT матрична форматази система от уравнения има формата ,
където - основната матрица на системата, - матрицата-колона от неизвестни променливи, - матрицата-колона на свободните членове.

Ако добавим към матрицата A като (n + 1)-та колона матрицата-колона от свободни членове, тогава получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено увеличената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Чрез решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадените стойности на неизвестните променливи също се превръща в идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, то се нарича става.

Ако системата от уравнения няма решения, тогава тя се нарича несъвместими.

Ако SLAE има уникално решение, тогава то се нарича сигурен; ако има повече от едно решение, тогава - несигурен.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенна, в противен случай - хетерогенен.

Решение на елементарни системи от линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на системните уравнения е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на нейната основна матрица не е равна на нула, тогава ще наречем такива SLAE елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение, а в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такива SLAE в гимназия. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на събиране, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме на тези методи в подробности, тъй като те по същество са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, методът на матрицата и методът на Гаус. Нека ги подредим.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Нека трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и са детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно на колоната със свободни членове:

С такава нотация неизвестните променливи се изчисляват по формулите на метода на Крамер като . Ето как се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Пример.

Метод на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Изчислете неговия детерминант (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамер.

Съставете и изчислете необходимите детерминанти (детерминантата се получава чрез замяна на първата колона в матрица A с колона от свободни членове, детерминантата - чрез замяна на втората колона с колона от свободни членове, - чрез замяна на третата колона на матрица A с колона от свободни членове ):

Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Крамер (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляването на детерминантите, когато броят на системните уравнения е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричния метод (с помощта на обратната матрица).

Нека системата от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n по n и нейната детерминанта е различна от нула.

Тъй като , тогава матрицата A е обратима, тоест има обратна матрица . Ако умножим и двете части на равенството по отляво, тогава ще получим формула за намиране на матрицата на колоните от неизвестни променливи. Така получихме решението на системата от линейни алгебрични уравнения по матричния метод.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матричен вид:

Като

тогава SLAE може да се реши по матричния метод. Чрез обратна матрицарешението на тази система може да се намери като .

Нека построим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения на елементите на матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли - матрицата от неизвестни променливи чрез умножаване на обратната матрица на матрицата-колона от свободни членове (ако е необходимо, вижте статията):

Отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения по матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици от порядък по-висок от третия.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
детерминантата на основната матрица на която е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо, x 1 се изключва от всички уравнения на системата, започвайки от второто, след това x 2 се изключва от всички уравнения, започвайки от третата, и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остава в последното уравнение. Такъв процес на преобразуване на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на напредъка на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, x n-1 се изчислява от предпоследното уравнение, използвайки тази стойност, и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Изключваме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по, към второто уравнение на системата, добавете първото, умножено по, към третото уравнение и така нататък, добавете първото, умножено по, към n-то уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще придобие формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заместим получения израз във всички други уравнения. По този начин променливата x 1 се изключва от всички уравнения, започвайки от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е отбелязана на фигурата

За да направите това, добавете второто уравнение, умножено по, към третото уравнение на системата, добавете второто, умножено по, към четвъртото уравнение и така нататък, добавете второто, умножено по, към n-то уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще придобие формата

къде . По този начин променливата x 2 е изключена от всички уравнения, започвайки от третото.

След това преминаваме към елиминирането на неизвестното x 3, като действаме по същия начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че ние продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , използвайки получената стойност на x n, намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първо уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направите това, към двете части на второто и третото уравнение добавяме съответните части от първото уравнение, умножени по и по, съответно:

Сега изключваме x 2 от третото уравнение, като добавяме към неговите лява и дясна части лявата и дясната част на второто уравнение, умножени по:

С това предният курс на метода на Гаус е завършен, започваме обратния курс.

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме .

От първото уравнение намираме останалата неизвестна променлива и това завършва обратния ход на метода на Гаус.

Отговор:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

В общия случай броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение важи и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и изродена.

Теорема на Кронекер-Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога несъвместим, дава Теорема на Кронекер-Капели:
за да е последователна система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n ), е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да е равен на ранга на разширената матрица, т.е. Rank( A)=Ранг(T) .

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Нека използваме метода на граничене на непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека разгледаме непълнолетните от трети порядък около него:

Тъй като всички граничещи минорни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е два.

От своя страна, рангът на разширената матрица е равно на три, тъй като минорът от трети ред

различен от нула.

По този начин, Rang(A) следователно, според теоремата на Кронекер-Капели, можем да заключим, че първоначалната система от линейни уравнения е непоследователна.

Отговор:

Няма система за решения.

И така, ние се научихме да установяваме несъответствието на системата, използвайки теоремата на Кронекер-Капели.

Но как да намерим решението на SLAE, ако е установена неговата съвместимост?

За да направим това, се нуждаем от концепцията за основния минор на матрица и теоремата за ранга на матрицата.

Най-високият минор на матрицата A, различен от нула, се нарича основен.

От дефиницията на основния минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко основни минорни; винаги има един основен минор.

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранг на матрицата.

Ако рангът на матрица от порядък p по n е r, тогава всички елементи от редовете (и колоните) на матрицата, които не образуват избрания базисен минор, се изразяват линейно чрез съответните елементи на редовете (и колоните) ), които образуват основна минор.

Какво ни дава теоремата за ранг на матрицата?

Ако по теоремата на Кронекер-Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме произволен основен минор от основната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не са образуват избрания основен минор. Получената по този начин SLAE ще бъде еквивалентна на оригиналната, тъй като изхвърлените уравнения все още са излишни (съгласно теоремата за ранга на матрицата те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това след отхвърляне на прекомерните уравнения на системата са възможни два случая.

    Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава то ще бъде определено и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

    Пример.

    .

    Решение.

    Ранг на основната матрица на системата е равно на две, тъй като минорът от втори ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от трети ред е равен на нула

    и минорът от втория ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Кронекер-Капели може да се твърди съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.

    Като основа минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнение:

    Третото уравнение на системата не участва във формирането на основния минор, затова го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранг на матрицата:

    Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим по метода на Крамер:

    Отговор:

    x 1 = 1, x 2 = 2.

    Ако броят на уравненията r в получената SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава оставяме членовете, образуващи основния минор в левите части на уравненията, и прехвърляме останалите членове в десните части на уравненията на системата с противоположен знак.

    Неизвестните променливи (има r от тях), останали от лявата страна на уравненията, се наричат главен.

    Извикват се неизвестни променливи (има n - r от тях), които се оказаха от дясната страна Безплатно.

    Сега приемаме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободните неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

    Да вземем пример.

    Пример.

    Решаване на система от линейни алгебрични уравнения .

    Решение.

    Намерете ранга на основната матрица на системата по метода на граничните непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред около този минор:

    Така че намерихме ненулев минор от втори ред. Нека започнем да търсим ненулев граничещ минор от трети порядък:

    По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на увеличената матрица също е равен на три, тоест системата е последователна.

    Намереният ненулев минор от трети порядък ще се приеме за основен.

    За по-голяма яснота показваме елементите, които образуват основния минор:

    Оставяме членовете, участващи в основния минор от лявата страна на уравненията на системата, а останалите прехвърляме с противоположни знаци в дясната страна:

    Даваме безплатни неизвестни променливи x 2 и x 5 произволни стойности, тоест вземаме , където са произволни числа. В този случай SLAE приема формата

    Решаваме получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер:

    Следователно, .

    В отговора не забравяйте да посочите безплатни неизвестни променливи.

    Отговор:

    Къде са произволни числа.

Обобщавайте.

За да решим система от линейни алгебрични уравнения с общ вид, първо установяваме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер-Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е непоследователна.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме основния минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания основен минор.

Ако редът на основния минор е равен на броя на неизвестните променливи, тогава SLAE има уникално решение, което може да бъде намерено по всеки известен ни метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава от лявата страна на уравненията на системата оставяме членовете с основните неизвестни променливи, прехвърляме останалите членове в десните страни и присвояваме произволни стойности към свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи по метода на Крамер, метода на матрицата или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Използвайки метода на Гаус, човек може да реши системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид без предварителното им изследване за съвместимост. Процесът на последователно изключване на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъответствието на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От гледна точка на изчислителната работа, методът на Гаус е за предпочитане.

Внимавай Подробно описаниеи анализирани примери в статията Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Записване на общото решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на векторите на основната система от решения.

В този раздел ще се съсредоточим върху съвместни хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.

Нека първо се заемем с хомогенните системи.

Система за фундаментални решенияна хомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е набор от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е порядъкът на основния минор на основната матрица на системата.

Ако обозначим линейно независими решения на хомогенна SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са матрици колони с размерност n чрез 1 ), то общото решение на тази хомогенна система се представя като линейна комбинация от вектори на основната система от решения с произволни постоянни коефициенти С 1 , С 2 , …, С (n-r), т.е.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (oroslau)?

Значението е просто: формулата дефинира всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, вземайки произволен набор от стойности на произволни константи C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , според формулата ние ще получи едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да зададем всички решения на тази хомогенна SLAE като .

Нека покажем процеса на изграждане на фундаментална система от решения за хомогенна SLAE.

Избираме основния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме в дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи. Нека да дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,…,0 и да изчислим основните неизвестни, като решим получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например по метода на Крамер. Така ще се получи X (1) – първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойности 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (2) . И т.н. Ако дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 0,0,…,0,1 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (n-r) . Така ще бъде построена основната система от решения на хомогенната SLAE и нейното общо решение може да бъде записано във вида .

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение се представя като

Нека разгледаме примери.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенни системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на главната матрица по метода на индикацията на минорите. Като ненулев минор от първи порядък приемаме елемента a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Намерете граничещия ненулев минор от втори ред:

Открива се минор от втори ред, различен от нула. Нека преминем през граничещите с него младши от трети порядък в търсене на ненулева единица:

Всички граничещи минорни от трети порядък са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е два. Да вземем основния минор. За по-голяма яснота отбелязваме елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналното SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни, от дясната страна на уравненията и прехвърляме членовете със свободни неизвестни в дясната страна:

Нека построим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Основната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи, а редът на основния му минор е два. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 1, x 4 = 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.

С ннеизвестно е система от вида:

където aijи b i (i=1,…,m; b=1,…,n)са някои известни числа и x 1 ,…,x n- неизвестни числа. В обозначението на коефициентите aijиндекс иопределя номера на уравнението, а вторият jе номерът на неизвестното, при което се намира този коефициент.

Хомогенна система -когато всички свободни членове на системата са равни на нула ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), обратната е ситуацията хетерогенна система.

Квадратна система -когато номерът муравнения е равно на числото ннеизвестен.

Системно решение- комплект нчисла c 1 , c 2 , …, c n ,така че заместването на всички c iвместо x iв система превръща всички нейни уравнения в идентичности.

Ставна система -когато системата има поне едно решение, и несъвместима системакогато системата няма решения.

Съвместна система от този вид (както е дадено по-горе, нека бъде (1)) може да има едно или повече решения.

Решения c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1)и c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)съвместна система от тип (1) ще различни, когато дори 1 от равенствата не е изпълнено:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Ставна система от тип (1) ще сигуренкогато има само едно решение; когато системата има поне 2 различни решения, тя става недоопределен. Когато има повече уравнения, отколкото неизвестни, системата е такава предефиниран.

Коефициентите за неизвестните се записват като матрица:

Нарича се системна матрица.

Числата, които са от дясната страна на уравненията, b 1 ,…,b mса безплатни членове.

Агрегат нчисла c 1 ,…,c nе решение на тази система, когато всички уравнения на системата се превръщат в равенство след заместване на числа в тях c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

При решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат 3 варианта:

1. Системата има само едно решение.

2. Системата има безкраен брой решения. например, . Решението на тази система ще бъдат всички двойки числа, които се различават по знак.

3. Системата няма решения. например, , ако съществува решение, тогава х 1 + х 2равно на 0 и 1 едновременно.

Методи за решаване на системи от линейни уравнения.

Директни методидайте алгоритъм, по който се намира точното решение СЛАУ(системи от линейни алгебрични уравнения). И ако точността беше абсолютна, щяха да я намерят. Истински електрически компютър, разбира се, работи с грешка, така че решението ще бъде приблизително.

Системи от линейни уравнения. Лекция 6

Системи от линейни уравнения.

Основни понятия.

система за преглед

Наречен система - линейни уравнения с неизвестни.

Числата , , се наричат системни коефициенти.

Извикват се числа свободни членове на системата, – системни променливи. Матрица

Наречен основната матрица на системата, и матрицата

– разширена матрична система. Матрици - колони

И съответно матрици на свободни членове и неизвестни на системата. Тогава, в матрична форма, системата от уравнения може да бъде записана като . Системно решениесе нарича стойности на променливите, при заместване на които всички уравнения на системата се превръщат в истински числови равенства. Всяко решение на системата може да бъде представено като матрица-колона. Тогава матричното равенство е вярно.

Системата от уравнения се нарича ставаако има поне едно решение и несъвместимиако няма решение.

Да се ​​реши система от линейни уравнения означава да се установи дали е съвместима и ако е съвместима, да се намери общото й решение.

Системата се нарича хомогеннаако всичките му свободни членове са равни на нула. Една хомогенна система винаги е съвместима, защото има решение

Теоремата на Кронекер-Копели.

Отговорът на въпроса за съществуването на решения на линейни системи и тяхната уникалност ни позволява да получим следния резултат, който може да бъде формулиран като следните твърдения за система от линейни уравнения с неизвестни

(1)

Теорема 2. Системата от линейни уравнения (1) е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената (.

Теорема 3. Ако рангът на основната матрица на съвместна система от линейни уравнения е равен на броя на неизвестните, тогава системата има уникално решение.

Теорема 4. Ако рангът на основната матрица на съвместна система е по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой решения.

Правила за решаване на системи.

3. Намерете израза на основните променливи през свободните и получете общото решение на системата.

4. Чрез даване на произволни стойности на свободни променливи се получават всички стойности на основните променливи.

Методи за решаване на системи от линейни уравнения.

Метод на обратна матрица.

и , т.е. системата има уникално решение. Записваме системата в матричен вид

където , , .

Умножете двете страни на матричното уравнение вляво по матрицата

Тъй като , Тогава получаваме , От което получаваме равенство за намиране на неизвестните

Пример 27.Използвайки метода на обратната матрица, решете системата от линейни уравнения

Решение. Означете с основната матрица на системата

.

Нека , тогава намираме решението по формулата .

Да изчислим.

Тъй като , тогава системата има уникално решение. Намерете всички алгебрични допълнения

, ,

, ,

, ,

, ,

По този начин

.

Да проверим

.

Обратната матрица е намерена правилно. От тук, използвайки формулата, намираме матрицата на променливите.

.

Сравнявайки стойностите на матриците, получаваме отговора: .

Методът на Крамер.

Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни

и , т.е. системата има уникално решение. Записваме решението на системата в матричен вид или

Означете

. . . . . . . . . . . . . . ,

Така получаваме формули за намиране на стойностите на неизвестните, които се наричат Формулите на Крамер.

Пример 28.Решете следната система от линейни уравнения по метода на Крамер .

Решение. Намерете детерминантата на основната матрица на системата

.

Тъй като , тогава системата има уникално решение.

Намерете останалите детерминанти за формулите на Крамер

,

,

.

Използвайки формулите на Крамер, намираме стойностите на променливите

Метод на Гаус.

Методът се състои в последователно изключване на променливи.

Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни.

Процесът на решение на Гаус се състои от две стъпки:

На първия етап разширената матрица на системата се свежда до стъпаловидна форма с помощта на елементарни трансформации

,

където , което съответства на системата

След това променливите се считат за свободни и във всяко уравнение се прехвърлят в дясната страна.

На втория етап променливата се изразява от последното уравнение, получената стойност се замества в уравнението. От това уравнение

променливата се изразява. Този процес продължава до първото уравнение. Резултатът е израз на главните променливи по отношение на свободните променливи .

Пример 29.Решете следната система с помощта на метода на Гаус

Решение. Изписваме разширената матрица на системата и я свеждаме до стъпаловидна форма

.

Като е по-голям от броя на неизвестните, тогава системата е последователна и има безкраен брой решения. Нека запишем системата за стъпковата матрица

Детерминантата на разширената матрица на тази система, съставена от първите три колони, не е равна на нула, затова я считаме за основна. Променливи

Ще бъде основна и променливата ще бъде безплатна. Нека го преместим във всички уравнения в лявата страна

От последното уравнение, което изразяваме

Замествайки тази стойност в предпоследното второ уравнение, получаваме

където . Замествайки стойностите на променливите и в първото уравнение, намираме . Записваме отговора в следната форма