Оценка на остатъчния член на формулата: , или .

Възлагане на услугата. Услугата е предназначена за онлайн изчисляване на определен интеграл по формулата на правоъгълниците.

Инструкция. Въведете интегралната функция f(x) , щракнете върху Решаване. Полученото решение се записва в Word файл. Шаблон за решение също се създава в Excel. По-долу е дадена видео инструкция.

Правила за въвеждане на функции

Примери
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Това е най-простата квадратурна формула за изчисляване на интеграла, която използва една стойност на функцията
(1)
където ; h=x 1 -x 0 .
Формула (1) е централната формула на правоъгълниците. Нека изчислим остатъка. Нека разширим функцията y=f(x) в точката ε 0 в ред на Тейлър:
(2)
където ε 1 ; x∈. Интегрираме (2):
(3)

Във втория член подинтегралната функция е нечетна, а границите на интегриране са симетрични спрямо точката ε 0 . Следователно вторият интеграл е равен на нула. Така от (3) следва .
Тъй като вторият фактор на подинтегралната функция не променя знака, то по теоремата за средната стойност получаваме , където . След интегрирането получаваме . (4)
Сравнявайки с остатъка от формулата на трапеца, виждаме, че грешката на формулата на правоъгълника е два пъти по-малка от грешката на формулата на трапец. Този резултат е верен, ако във формулата на правоъгълниците вземем стойността на функцията в средната точка.
Получаваме формулата на правоъгълниците и остатъка за интервала. Нека е дадена мрежата x i =a+ih, i=0,1,...,n, h=x i+1 -x i. Да разгледаме мрежата ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Тогава . (5)
Остатъчен срок .
Геометрично формулата на правоъгълниците може да бъде представена със следната фигура:

Ако функцията f (x) е дадена в таблица, тогава се използва или лявата формула на правоъгълниците (за еднаква мрежа)

или дясната формула на правоъгълниците

.
Грешката на тези формули се оценява чрез първата производна. За интервала грешката е

; .
След интегрирането получаваме .

Пример. Изчислете интеграла за n=5:
а) по формулата на трапец;
б) по формулата на правоъгълниците;
в) по формулата на Симпсън;
г) по формулата на Гаус;
д) по формулата на Чебишев.
Изчислете грешката.
Решение. За 5 интеграционни възела стъпката на мрежата ще бъде 0,125.
При решаването ще използваме таблицата със стойности на функциите. Тук f(x)=1/x.

х f(x)
x00.5 y02
x10.625 y11.6
x20.750 y21.33
x30.875 y31.14
x41.0 y41
а) трапецовидна формула:
I=h/2×;
I=(0,125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
Максималната стойност на втората производна на функцията на интервала е 16: max (f¢¢(x)), xн=2/(0,5 3)=16, следователно
R=[-(1-0,5)/12]×0,125×16=- 0.0833;
б) формула за правоъгълници:
за лявата формула I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0,125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2×y¢¢(x);
R=[(1-0.5)/6]×0.125 2×16= 0.02;
в) Формулата на Симпсън:
I=(2h/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
I=(2×0,125)/6×(2+1+4×(1,6+1,14)+2×1,33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×h 4×y (4) (x);
f(4)(x)=24/(x5)=768;
R=[-(1-0,5)/180]×(0,125) 4×768 = - 5.2 д-4;
г) формула на Гаус:
I=(b-a)/2×;
x i =(b+a)/2+t i (b-a)/2
(A i , t i - таблични стойности).
t (n=5)A (n=5)
x10.9765 y11.02 t10.90617985 А 10.23692688
x20.8846 y21.13 t20.53846931 A20.47862868
x30.75 y31.33 t30 А 30.56888889
x40.61 y41.625 t4-0.53846931 A40.47862868
x50.52 y51.91 t5-0.90617985 A50.23692688
I=(1-0,5)/2×(0,2416+0,5408+0,7566+0,7777+0,4525)= 0.6923;
д) Формула на Чебишев:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - необходимо намаляване на интервала на интегриране до интервала [-1;1].
За n=5
t10.832498
t20.374541
t30
t4-0.374541
t5-0.832498
Нека намерим x стойности и стойности на функциите в тези точки:
x10,958 f(x1)1,043
x20,844 f(x2)1,185
x30,75 f(x3)1,333
x40,656 f(x4)1,524
x50,542 f(x5)1,845
Сумата от стойностите на функцията е 6,927.
I=(1-0.5)/5×6.927=0.6927.

правоъгълнике четириъгълник, в който всеки ъгъл е прав ъгъл.

Доказателство

Свойството се обяснява с действието на елемент 3 на паралелограма (т.е. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Противоположните страни са равни.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Противоположните страни са успоредни.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Съседните страни са перпендикулярни една на друга.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. Диагоналите на правоъгълника са равни.

AC=BD

Доказателство

Според имот 1правоъгълникът е паралелограм, което означава AB = CD.

Следователно, \триъгълник ABD = \триъгълник DCA по протежение на два крака (AB = CD и AD - става).

Ако и двете фигури - ABC и DCA са еднакви, тогава техните хипотенузи BD и AC също са идентични.

Така че AC = BD.

Само правоъгълник от всички фигури (само от успоредник!) има равни диагонали.

Да докажем и това.

ABCD е паралелограм \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условие. \Стрелка надясно \триъгълник ABD = \триъгълник DCAвече от три страни.

Оказва се, че \angle A = \angle D (като ъглите на паралелограма). И \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Извеждаме това \ ъгъл A = \ ъгъл B = \ ъгъл C = \ ъгъл D. Всички те са 90^(\circ) . Общо е 360^(\circ) .

Доказано!

6. Квадратен диагонал е равно на суматаквадрати на двете му съседни страни.

Това свойство е валидно по силата на Питагоровата теорема.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Диагоналът разделя правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника.

\триъгълник ABC = \триъгълник ACD, \enspace \триъгълник ABD = \триъгълник BCD

8. Пресечната точка на диагоналите ги разполовява.

AO=BO=CO=DO

9. Точката на пресичане на диагоналите е центърът на правоъгълника и описаната окръжност.

10. Сборът от всички ъгли е 360 градуса.

\ъгъл ABC + \ъгъл BCD + \ъгъл CDA + \ъгъл DAB = 360^(\circ)

11. Всички ъгли на правоъгълника са прави.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Диаметърът на описаната окръжност около правоъгълника е равен на диагонала на правоъгълника.

13. Около правоъгълник винаги може да се опише кръг.

Това свойство е валидно поради факта, че сумата от противоположните ъгли на правоъгълник е 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Правоъгълник може да съдържа вписан кръг и само един, ако има еднакви дължини на страните (това е квадрат).

Общо взето формула за ляв правоъгълникна сегмента както следва (21) :

В тази формула х 0 =a, x н =b, тъй като всеки интеграл като цяло изглежда така: (вижте формулата 18 ).

h може да се изчисли по формулата 19 .

г 0 ,y 1 ,...,y n-1 х 0 , х 1 ,..., х n-1 (х и =x i-1 +h).

    Формула на прави правоъгълници.

Общо взето формула за десен правоъгълникна сегмента както следва (22) :

В тази формула х 0 =a, x н =b(вижте формулата за левите правоъгълници).

h може да се изчисли по същата формула, както във формулата за левите правоъгълници.

г 1 ,y 2 ,...,y нса стойностите на съответната функция f(x) в точките х 1 , х 2 ,..., х н (х и =x i-1 +h).

    Формула за среден правоъгълник.

Общо взето формула за среден правоъгълникна сегмента както следва (23) :

Където х и =x i-1 +h.

В тази формула, както и в предишните, h се изисква да умножи сумата от стойностите на функцията f (x), но не само чрез заместване на съответните стойности х 0 ,х 1 ,...,х n-1във функцията f(x) и добавяне към всяка от тези стойности h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) и след това само ги заместваме в дадена функция.

h може да се изчисли по същата формула, както във формулата за левите правоъгълници." [ 6 ]

На практика тези методи се прилагат, както следва:

    Mathcad ;

    превъзхождам .

    Mathcad ;

    превъзхождам .

За да изчислите интеграла с помощта на формулата на средните правоъгълници в Excel, трябва да изпълните следните стъпки:

    Продължете да работите в същия документ, както при изчисляване на интеграла, като използвате формулите на левия и десния правоъгълник.

    Въведете текста xi+h/2 в клетка E6 и f(xi+h/2) в клетка F6.

    Въведете формулата =B7+$B$4/2 в клетка E7, копирайте тази формула, като плъзнете в диапазона от клетки E8:E16

    Въведете формулата =ROOT(E7^4-E7^3+8) в клетка F7, копирайте тази формула, като издърпате до диапазона от клетки F8:F16

    Въведете формулата =SUM(F7:F16) в клетка F18.

    Въведете формулата =B4*F18 в клетка F19.

    Въведете текста на средните стойности в клетка F20.

В резултат на това получаваме следното:

Отговор: стойността на дадения интеграл е 13,40797.

Въз основа на получените резултати можем да заключим, че формулата за средните правоъгълници е най-точна от формулите за десния и левия правоъгълник.

1. Метод Монте Карло

„Основната идея на метода Монте Карло е многократното повторение на произволни тестове. Характерна особеност на метода Монте Карло е използването на произволни числа (числови стойности на някои случайна величина). Такива числа могат да бъдат получени с помощта на генератори на случайни числа. Например езикът за програмиране Turbo Pascal има стандартна функция произволен, чиито стойности са случайни числа, равномерно разпределени в сегмента . Казаното означава, че ако посоченият сегмент се раздели на определен брой равни интервали и се изчисли стойността на произволната функция голям бройпъти, тогава приблизително същият брой произволни числа ще попаднат във всеки интервал. В езика за програмиране на басейна подобен сензор е функцията rnd. В електронната таблица MS Excel функцията РАНДвръща равномерно разпределено произволно число, по-голямо или равно на 0 и по-малко от 1 (променя се при преизчисление)" [ 7 ].

За да го изчислите, трябва да използвате формулата () :

Където (i=1, 2, …, n) са произволни числа, лежащи в интервала .

За да се получат такива числа въз основа на поредица от случайни числа x i, равномерно разпределени в интервала , е достатъчно да се извърши трансформацията x i =a+(b-a)x i .

На практика този метод се прилага по следния начин:

За да изчислите интеграла по метода на Монте Карло в Excel, трябва да изпълните следните стъпки:

    В клетка B1 въведете текста n=.

    В клетка B2 въведете текста a=.

    В клетка B3 въведете текста b=.

Въведете числото 10 в клетка C1.

    Въведете числото 0 в клетка C2.

    В клетка C3 въведете числото 3.2.

    В клетка A5 въведете I, в B5 - xi, в C5 - f (xi).

    Клетки A6:A15 се запълват с числа 1,2,3, ..., 10 - тъй като n=10.

    Въведете формулата =RAND()*3,2 в клетка B6 (числата се генерират в диапазона от 0 до 3,2), копирайте тази формула, като издърпате в диапазона от клетки B7:B15.

    Въведете формулата =ROOT(B6^4-B6^3+8) в клетка C6, копирайте тази формула, като я плъзнете в диапазона от клетки C7:C15.

    Въведете текста "сума" в клетка B16, "(b-a)/n" в B17 и "I=" в B18.

    Въведете формулата =SUM(C6:C15) в клетка C16.

    Въведете формулата =(C3-C2)/C1 в клетка C17.

    Въведете формулата =C16*C17 в клетка C18.

В резултат на това получаваме:

Отговор: стойността на дадения интеграл е 13,12416.

Определение.

правоъгълникТова е четириъгълник с две равни страни и четирите ъгъла.

Правоъгълниците се различават един от друг само в съотношението на дългата страна към късата страна, но и четирите са прави, тоест 90 градуса всеки.

Дългата страна на правоъгълник се нарича дължина на правоъгълник, и краткото ширина на правоъгълник.

Страните на правоъгълника са и неговите височини.


Основни свойства на правоъгълник

Правоъгълникът може да бъде успоредник, квадрат или ромб.

1. Противоположните страни на правоъгълник имат еднаква дължина, тоест са равни:

AB=CD, BC=AD

2. Противоположните страни на правоъгълника са успоредни:

3. Съседните страни на правоъгълник винаги са перпендикулярни:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. И четирите ъгъла на правоъгълника са прави:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сборът от ъглите на правоъгълника е 360 градуса:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагоналите на правоъгълник имат еднаква дължина:

7. Сборът от квадратите на диагонала на правоъгълник е равен на сбора от квадратите на страните:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Всеки диагонал на правоъгълник разделя правоъгълника на две еднакви фигури, а именно правоъгълни триъгълници.

9. Диагоналите на правоъгълника се пресичат и се разделят наполовина в точката на пресичане:

AO=BO=CO=DO= д
2

10. Точката на пресичане на диагоналите се нарича център на правоъгълника и също така е център на описаната окръжност

11. Диагоналът на правоъгълник е диаметърът на описаната окръжност

12. Кръг винаги може да бъде описан около правоъгълник, тъй като сумата от противоположните ъгли е 180 градуса:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Не може да се впише кръг в правоъгълник, чиято дължина не е равна на ширината му, тъй като сумите на противоположните страни не са равни една на друга (окръжност може да бъде вписана само в специален случай на правоъгълник - квадрат).


Страни на правоъгълник

Определение.

Дължина на правоъгълникнаричаме дължината на по-дългата двойка от неговите страни. Ширина на правоъгълникназовете дължината на по-късата двойка от неговите страни.

Формули за определяне на дължините на страните на правоъгълник

1. Формулата за страната на правоъгълник (дължината и ширината на правоъгълника) по отношение на диагонала и другата страна:

а = √ d 2 - b 2

b = √ г 2 - а 2

2. Формулата за страната на правоъгълник (дължината и ширината на правоъгълника) по отношение на площта и другата страна:

b = dcosβ
2

Правоъгълник по диагонал

Определение.

Диагонален правоъгълникВсеки сегмент, свързващ два върха на противоположни ъгли на правоъгълник, се нарича.

Формули за определяне на дължината на диагонала на правоъгълник

1. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на двете страни на правоъгълника (чрез Питагоровата теорема):

d = √ a 2 + b 2

2. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на площ и всяка страна:

4. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност:

d=2R

5. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност:

d = D o

6. Формулата на диагонала на правоъгълник по отношение на синуса на ъгъла, съседен на диагонала, и дължината на страната, противоположна на този ъгъл:

8. Формулата на диагонала на правоъгълник по отношение на синуса на остър ъгъл между диагоналите и площта на правоъгълника

d = √2S: sinβ


Периметър на правоъгълник

Определение.

Периметърът на правоъгълнике сборът от дължините на всички страни на правоъгълника.

Формули за определяне на дължината на периметъра на правоъгълник

1. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на двете страни на правоъгълника:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на площ и всяка страна:

P=2S + 2a 2 = 2S + 2b 2
аб

3. Формула за периметъра на правоъгълник по отношение на диагонала и всяка страна:

P = 2(a + √ г 2 - а 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност и всяка страна:

P = 2(a + √4R 2 - а 2) = 2(b + √4R 2 - б 2)

5. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност и всяка страна:

P = 2(a + √D o 2 - а 2) = 2(b + √D o 2 - б 2)


Площ на правоъгълник

Определение.

Площ на правоъгълникнаричано пространство, ограничено от страните на правоъгълника, тоест в периметъра на правоъгълника.

Формули за определяне на площта на правоъгълник

1. Формулата за площта на правоъгълник по отношение на две страни:

S = a b

2. Формулата за площта на правоъгълник през периметъра и всяка страна:

5. Формулата за площта на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност и всяка страна:

S = a √4R 2 - а 2= b √4R 2 - б 2

6. Формулата за площта на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност и всяка страна:

S \u003d a √ D o 2 - а 2= b √ D o 2 - б 2


Кръг, описан около правоъгълник

Определение.

Кръг, описан около правоъгълникКръг се нарича окръжност, минаваща през четири върха на правоъгълник, чийто център лежи в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника.

Формули за определяне на радиуса на окръжност, описана около правоъгълник

1. Формулата за радиуса на окръжност, описана около правоъгълник през две страни:

Едно от основните понятия на математиката е периметърът на правоъгълник. Има много проблеми по тази тема, чието решение не може без формулата на периметъра и уменията за нейното изчисляване.

Основни понятия

Правоъгълникът е четириъгълник, в който всички ъгли са прави и противоположните страни са по двойки равни и успоредни. В нашия живот много фигури са под формата на правоъгълник, например повърхността на маса, тетрадка и т.н.

Помислете за пример:трябва да се постави ограда по границите на земята. За да разберете дължината на всяка страна, трябва да ги измерите.

Ориз. един. Поземлен имотправоъгълна форма.

Парцелът има страни с дължина 2 м, 4 м, 2 м, 4 м. Следователно, за да разберете общата дължина на оградата, трябва да добавите дължините на всички страни:

2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 m.

Именно тази стойност обикновено се нарича периметър. По този начин, за да намерите периметъра, трябва да добавите всички страни на фигурата. Буквата P се използва за обозначаване на периметъра.

За да изчислите периметъра на правоъгълна фигура, не е необходимо да я разделяте на правоъгълници, трябва да измерите само всички страни на тази фигура с линийка (ролетка) и да намерите тяхната сума.

Периметърът на правоъгълник се измерва в mm, cm, m, km и т.н. Ако е необходимо, данните в задачата се преобразуват в същата измервателна система.

Периметърът на правоъгълник се измерва в различни единици: mm, cm, m, km и т.н. Ако е необходимо, данните в задачата се преобразуват в една система за измерване.

Формула за периметъра на формата

Ако вземем предвид факта, че противоположните страни на правоъгълника са равни, тогава можем да изведем формулата за периметъра на правоъгълник:

$P = (a+b) * 2$, където a, b са страните на фигурата.

Ориз. 2. Правоъгълник с маркирани противоположни страни.

Има и друг начин за намиране на периметъра. Ако на задачата е дадена само едната страна и площта на фигурата, можете да използвате, за да изразите другата страна през областта. Тогава формулата ще изглежда така:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, където S е площта на правоъгълника.

Ориз. 3. Правоъгълник със страни a, b.

Упражнение : Изчислете периметъра на правоъгълник, ако страните му са 4 см и 6 см.

решение:

Използваме формулата $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 cm$

По този начин периметърът на фигурата е $P = 20 cm$.

Тъй като периметърът е сбор от всички страни на фигура, полупериметърът е сборът само от една дължина и ширина. Умножете полупериметъра по 2, за да получите периметъра.

Площта и периметърът са двете основни понятия за измерване на всяка фигура. Не бива да се бъркат, въпреки че са свързани. Ако увеличите или намалите площта, тогава, съответно, нейният периметър ще се увеличи или намали.

Какво научихме?

Научихме се как да намерим периметъра на правоъгълник. И също така се запозна с формулата за нейното изчисление. Тази тема може да се срещне не само при решаване на математически задачи, но и в реалния живот.

Тематична викторина

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.5. Общо получени оценки: 365.