Теорема

В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на краката (фиг. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Доказателство на Питагоровата теорема

Нека триъгълник $A B C$ е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл $C$ (фиг. 2).

Нека начертаем височина от върха $C$ до хипотенузата $A B$, обозначаваме основата на височината като $H$.

Правоъгълният триъгълник $A C H$ е подобен на триъгълник $A B C$ в два ъгъла ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ е често срещан). По същия начин, триъгълник $C B H$ е подобен на $A B C$.

Представяне на нотацията

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

от сходството на триъгълниците получаваме това

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Следователно имаме това

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Събирайки получените равенства, получаваме

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Геометрична формулировка на Питагоровата теорема

Теорема

В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката (фиг. 2):

Примери за решаване на проблеми

Пример

Упражнение.Даден е правоъгълен триъгълник $A B C$, чийто катети са 6 см и 8 см. Намерете хипотенузата на този триъгълник.

Решение.Според условието на катета $a=6$ см, $b=8$ см. Тогава според Питагоровата теорема квадратът на хипотенузата

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Оттук получаваме, че изискваната хипотенуза

$c=\sqrt(100)=10$ (см)

Отговор. 10 см

Пример

Упражнение.Намерете площта на правоъгълен триъгълник, ако е известно, че единият му катет е с 5 см по-дълъг от другия, а хипотенузата е 25 см.

Решение.Нека $x$ cm е дължината на по-малкия крак, тогава $(x+5)$ cm е дължината на по-големия. Тогава, според питагоровата теорема, имаме:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Отваряме скоби, намаляваме подобни и решаваме полученото квадратно уравнение:

$x^(2)+5 x-300=0$

Според теоремата на Виета получаваме това

$x_(1)=15$ (см) , $x_(2)=-20$ (см)

Стойността на $x_(2)$ не удовлетворява условието на задачата, което означава, че по-малкият крак е 15 cm, а по-големият е 20 cm.

Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на дължините на неговите крака, т.е

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

Отговор.$S=150\вляво(\mathrm(cm)^(2)\вдясно)$

Справка по история

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.

Древната китайска книга "Zhou bi suan jing" говори за питагореев триъгълник със страни 3, 4 и 5. Най-големият немски историк на математиката Мориц Кантор (1829 - 1920) смята, че равенството $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ е бил вече известен на египтяните около 2300 г. пр.н.е. Според учения тогава строителите построили прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5. Известно е малко повече за питагоровата теорема сред вавилонците. Един текст дава приблизително изчисление на хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно теоремата на Питагор е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с основното значение на теоремата за геометрията.

Когато за първи път започнахте да изучавате квадратни корени и как да решавате ирационални уравнения (равенства, съдържащи неизвестно под знака на корена), вероятно сте получили първата идея за практическата му употреба. Възможността за извличане на корен квадратен от числата също е необходима за решаване на задачи по прилагането на питагоровата теорема. Тази теорема свързва дължините на страните на всеки правоъгълен триъгълник.

Нека дължините на краката на правоъгълен триъгълник (тези две страни, които се събират под прав ъгъл) се обозначават с буквите и , а дължината на хипотенузата (най-дългата страна на триъгълника отсреща прав ъгъл) ще се обозначава с буквата . Тогава съответните дължини са свързани със следната връзка:

Това уравнение ви позволява да намерите дължината на една страна на правоъгълен триъгълник в случай, че дължината на другите му две страни е известна. Освен това ви позволява да определите дали разглежданият триъгълник е правоъгълен, при условие че дължините и на трите страни са известни предварително.

Решаване на задачи с помощта на питагоровата теорема

За да затвърдим материала, ще решим следните задачи за приложението на питагоровата теорема.

Така дадено:

  1. Дължината на един от краката е 48, хипотенузата е 80.
  2. Дължината на катета е 84, хипотенузата е 91.

Нека да стигнем до решението:

а) Заместването на данните в уравнението по-горе дава следните резултати:

48 2 + б 2 = 80 2

2304 + б 2 = 6400

б 2 = 4096

б= 64 или б = -64

Тъй като дължината на страната на триъгълник не може да бъде изразена като отрицателно число, втората опция автоматично се отхвърля.

Отговор на първата снимка: б = 64.

б) Дължината на катета на втория триъгълник се намира по същия начин:

84 2 + б 2 = 91 2

7056 + б 2 = 8281

б 2 = 1225

б= 35 или б = -35

Както и в предишния случай, отрицателното решение се изхвърля.

Отговор на втората снимка: б = 35

Дадено ни е:

  1. Дължините на по-малките страни на триъгълника са съответно 45 и 55, а по-големите са 75.
  2. Дължините на по-малките страни на триъгълника са съответно 28 и 45, а по-големите са 53.

Ние решаваме проблема:

а) Необходимо е да се провери дали сумата от квадратите на дължините на по-малките страни на даден триъгълник е равна на квадрата от дължината на по-големия:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следователно първият триъгълник не е правоъгълен триъгълник.

б) Извършва се същата операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следователно вторият триъгълник е правоъгълен триъгълник.

Първо, намерете дължината на най-големия сегмент, образуван от точки с координати (-2, -3) и (5, -2). За да направим това, използваме добре познатата формула за намиране на разстоянието между точките в правоъгълна координатна система:

По същия начин намираме дължината на отсечката, затворена между точките с координати (-2, -3) и (2, 1):

Накрая определяме дължината на отсечката между точките с координати (2, 1) и (5, -2):

Тъй като има равенство:

тогава съответният триъгълник е правоъгълен триъгълник.

По този начин можем да формулираме отговора на задачата: тъй като сумата от квадратите на страните с най-малка дължина е равна на квадрата на страната с най-голяма дължина, точките са върховете на правоъгълен триъгълник.

Основата (разположена строго хоризонтално), ъгълът (разположен строго вертикално) и кабелът (опънат диагонално) образуват съответно правоъгълен триъгълник, теоремата на Питагор може да се използва за намиране на дължината на кабела:

По този начин дължината на кабела ще бъде приблизително 3,6 метра.

Дадено: разстоянието от точка R до точка P (катета на триъгълника) е 24, от точка R до точка Q (хипотенуза) - 26.

И така, ние помагаме на Витя да реши проблема. Тъй като се предполага, че страните на триъгълника, показан на фигурата, трябва да образуват правоъгълен триъгълник, можете да използвате питагоровата теорема, за да намерите дължината на третата страна:

И така, ширината на езерото е 10 метра.

Сергей Валериевич

Питагорова теорема: Сборът от площите на квадратите, поддържани от краката ( аи б), е равна на площта на квадрата, построен върху хипотенузата ( ° С).

Геометрична формулировка:

Първоначално теоремата е формулирана, както следва:

Алгебрична формулировка:

Това означава, че се обозначава дължината на хипотенузата на триъгълника ° С, и дължините на краката през аи б :

а 2 + б 2 = ° С 2

И двете формулировки на теоремата са еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не изисква понятието площ. Тоест, второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за площта и чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Обратна питагорова теорема:

Доказателство за

Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно теоремата на Питагор е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с основното значение на теоремата за геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях са: доказателства за площи, аксиоматични и екзотични доказателства (например чрез диференциални уравнения).

Чрез подобни триъгълници

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от доказателствата, изградени директно от аксиомите. По-специално, той не използва концепцията за площ на фигурата.

Нека бъде ABCима правоъгълен триъгълник ° С. Нека начертаем височина от ° Си обозначете основата му с Х. триъгълник ACHподобен на триъгълник ABCна два ъгъла. По същия начин, триъгълникът CBHподобен ABC. Представяне на нотацията

получаваме

Какво е еквивалентно

Като добавим, получаваме

Доказателства за площ

Следващите доказателства, въпреки очевидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички те използват свойствата на областта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата питагорова теорема.

Доказателство чрез еквивалентност

  1. Подредете четири равни правоъгълен триъгълниккакто е показано на фигура 1.
  2. Четириъгълник със страни ° Се квадрат, защото сумата от два остри ъгъла е 90°, а правият ъгъл е 180°.
  3. Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна (a + b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и два вътрешни квадратчета.

Q.E.D.

Доказателство чрез еквивалентност

Елегантно доказателство за пермутация

Пример за едно от тези доказателства е показан на чертежа вдясно, където квадратът, построен върху хипотенузата, се преобразува чрез пермутация в два квадрата, построени върху катета.

Доказателство на Евклид

Чертеж за доказателство на Евклид

Илюстрация за доказателството на Евклид

Идеята на доказателството на Евклид е следната: нека се опитаме да докажем, че половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от половината площи на квадратите, построени върху краката, а след това площите на големият и двата малки квадрата са равни.

Помислете за чертежа вляво. Върху него построихме квадрати върху страните на правоъгълен триъгълник и начертахме лъч s от върха на прав ъгъл C, перпендикулярен на хипотенузата AB, той разрязва квадрата ABIK, построен върху хипотенузата, на два правоъгълника - BHJI и HAKJ, съответно. Оказва се, че площите на тези правоъгълници са точно равни на площите на квадратите, построени върху съответните крака.

Нека се опитаме да докажем, че площта на квадрата DECA е равна на площта на правоъгълника AHJK За да направим това, използваме спомагателно наблюдение: Площта на триъгълник със същата височина и основа като дадената правоъгълник е равен на половината от площта на дадения правоъгълник. Това е следствие от дефинирането на площта на триъгълник като половината от произведението на основата и височината. От това наблюдение следва, че площта на триъгълник ACK е равна на площта на триъгълник AHK (не е показан), което от своя страна е равна на половината от площта на правоъгълника AHJK.

Нека сега докажем, че площта на триъгълник ACK също е равна на половината от площта на квадрата DECA. Единственото нещо, което трябва да се направи за това, е да се докаже равенството на триъгълниците ACK и BDA (тъй като площта на триъгълника BDA е равна на половината от площта на квадрата от горното свойство). Това равенство е очевидно, триъгълниците са равни в двете страни и ъгъла между тях. А именно - AB=AK,AD=AC - равенството на ъглите CAK и BAD лесно се доказва чрез метода на движение: нека завъртим триъгълника CAK на 90 ° обратно на часовниковата стрелка, тогава е очевидно, че съответните страни на двата разглеждани триъгълника ще съвпадне (поради факта, че ъгълът при върха на квадрата е 90°).

Аргументът за равенството на площите на квадрата BCFG и правоъгълника BHJI е напълно аналогичен.

Така доказахме, че площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е сумата от площите на квадратите, построени върху краката. Идеята зад това доказателство е допълнително илюстрирана с анимацията по-горе.

Доказателство за Леонардо да Винчи

Доказателство за Леонардо да Винчи

Основните елементи на доказателството са симетрия и движение.

Разгледайте чертежа, както се вижда от симетрията, сегмента ° Сазразчленява квадрата АБХДж на две еднакви части (тъй като триъгълници АБ° Си ДжХазса равни по конструкция). Използвайки завъртане на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка, виждаме равенството на щрихованите фигури ° САДжаз и гдАБ . Сега е ясно, че площта на фигурата, засенчена от нас, е равна на сумата от половината площи на квадратите, изградени върху краката, и площта на оригиналния триъгълник. От друга страна, той е равен на половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, плюс площта на оригиналния триъгълник. Последната стъпка в доказателството е оставена на читателя.

Доказателство по безкрайно малкия метод

Следното доказателство с помощта на диференциални уравнения често се приписва на известния английски математик Харди, живял през първата половина на 20-ти век.

Имайки предвид чертежа, показан на фигурата, и наблюдавайки промяната в страната а, можем да напишем следното отношение за безкрайно малки странични наращения си а(с помощта на подобни триъгълници):

Доказателство по безкрайно малкия метод

Използвайки метода за разделяне на променливите, намираме

По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на увеличение на двата катета

Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме

° С 2 = а 2 + б 2 + константа.

Така стигаме до желания отговор

° С 2 = а 2 + б 2 .

Лесно е да се види, че квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и инкрементите, докато сумата се дължи на независимите приноси от прирастването на различни катета.

По-просто доказателство може да се получи, ако приемем, че един от катета не изпитва увеличение (в този случай кракът б). Тогава за интегриращата константа получаваме

Вариации и обобщения

  • Ако вместо квадрати върху краката са построени други подобни фигури, тогава е вярно следното обобщение на питагоровата теорема: В правоъгълен триъгълник сумата от площите на подобни фигури, построени върху краката, е равна на площта на фигурата, построена върху хипотенузата.По-специално:
    • Сумата от площите на правилните триъгълници, построени върху катета, е равна на площта на правилен триъгълник, построен върху хипотенузата.
    • Сборът от площите на полукръговете, изградени върху краката (както на диаметъра), е равна на площта на полукръг, построен върху хипотенузата. Този пример се използва за доказване на свойствата на фигури, ограничени от дъги от две окръжности и носещи името хипократова лунула.

История

Чу-пей 500–200 г. пр. н. е. Вляво е надписът: сборът от квадратите на дължините на височината и основата е квадратът на дължината на хипотенузата.

Древната китайска книга Chu-pei говори за питагорейски триъгълник със страни 3, 4 и 5: В същата книга се предлага рисунка, която съвпада с един от чертежите от индуистката геометрия на Басхара.

Кантор (най-големият немски историк на математиката) смята, че равенството 3 ² + 4 ² = 5² вече е било известно на египтяните около 2300 г. пр. н. е. д., по времето на крал Аменемхет I (според папирус 6619 от Берлинския музей). Според Кантор, харпедонаптите, или "стрингери", изграждат прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5.

Много е лесно да се възпроизведе техния метод на изграждане. Вземете въже с дължина 12 m и го завържете към него по цветна лента на разстояние 3 m. от единия край и 4 метра от другия. Прав ъгъл ще бъде затворен между страни с дължина 3 и 4 метра. Може да се възрази на харпедонаптите, че техният метод на изграждане става излишен, ако се използва например дървения квадрат, използван от всички дърводелци. Наистина, известни са египетски рисунки, в които се намира такъв инструмент, например рисунки, изобразяващи дърводелска работилница.

Известно е малко повече за питагорейската теорема сред вавилонците. В един текст, датиращ от времето на Хамурапи, тоест до 2000 г. пр.н.е. д., дадено е приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълен триъгълник. От това можем да заключим, че в Месопотамия са били в състояние да извършват изчисления с правоъгълни триъгълници, поне в някои случаи. Въз основа, от една страна, на настоящото ниво на познания за египетската и вавилонската математика, а от друга, на критично изследване на гръцки източници, Ван дер Ваерден (холандски математик) заключава следното:

литература

На руски

  • Скопец З. А.Геометрични миниатюри. М., 1990г
  • Еленски Ш.По стъпките на Питагор. М., 1961г
  • Ван дер Ваерден Б.Л.Пробуждаща се наука. математика древен Египет, Вавилон и Гърция. М., 1959г
  • Глейзър Г.И.История на математиката в училище. М., 1982г
  • В. Лицман, "Питагоровата теорема" М., 1960г.
    • Сайт за Питагоровата теорема с голям брой доказателства, материалът е взет от книгата на В. Лицман, голям бройчертежите се представят като отделни графични файлове.
  • Питагоровата теорема и Питагорейските тройки глава от книгата на Д. В. Аносов „Поглед към математиката и нещо от нея“
  • Относно Питагоровата теорема и методите за нейното доказателство Г. Глейзър, академик на Руската академия на образованието, Москва

На английски

  • Питагоровата теорема в WolframMathWorld
  • Cut-The-Knot, раздел за Питагоровата теорема, около 70 доказателства и обширна допълнителна информация (англ.)

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Питагоровата теорема казва:

В правоъгълен триъгълник сумата от квадратите на катета е равна на квадрата на хипотенузата:

a 2 + b 2 = c 2,

  • аи б- краката, образуващи прав ъгъл.
  • се хипотенузата на триъгълника.

Формули на Питагоровата теорема

  • a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
  • b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
  • c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Доказателство на Питагоровата теорема

Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по формулата:

S = \frac(1)(2)ab

За да се изчисли площта на произволен триъгълник, формулата за площ е:

  • стр- полупериметър. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
  • rе радиусът на вписаната окръжност. За правоъгълник r=\frac(1)(2)(a+b-c).

След това приравняваме десните страни на двете формули за площта на триъгълник:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \вляво((a+b)^(2) -c^(2) \вдясно)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Обратна питагорова теорема:

Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен триъгълник. Тоест за всяка тройка положителни числа а, би ° С, такъв, че

a 2 + b 2 = c 2,

има правоъгълен триъгълник с крака аи би хипотенуза ° С.

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Това е доказано от учения математик и философ Питагор.

Значението на теоремататъй като може да се използва за доказване на други теореми и решаване на проблеми.

Допълнителен материал:

В едно нещо можете да сте сто процента сигурни, че на въпроса какъв е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен ще отговори смело: „Сборът от квадратите на краката. Тази теорема е здраво засадена в умовете на всеки образован човек, но е достатъчно само да помолите някой да я докаже и тогава могат да възникнат трудности. Така че нека си спомним и обмислим различни начинидоказателство на питагоровата теорема.

Кратък преглед на биографията

Питагоровата теорема е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е създал, не е толкова популярна. Ние ще го оправим. Ето защо, преди да изучавате различните начини за доказване на питагоровата теорема, трябва накратко да се запознаете с неговата личност.

Питагор - философ, математик, мислител, родом от Днес е много трудно да се разграничи неговата биография от легендите, които са се развили в памет на този велик човек. Но както следва от писанията на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му е бил обикновен каменорезец, но майка му е от знатно семейство.

Според легендата раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание, роденото момче трябвало да донесе много ползи и добрини на човечеството. Което всъщност е и направил.

Раждането на теорема

В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне с известните египетски мъдреци там. След среща с тях той е приет да учи, където научава всички големи постижения на египетската философия, математика и медицина.

Вероятно именно в Египет Питагор е вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и създава великата си теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предал знанията си на своите последователи, които по-късно завършили всички необходими математически изчисления.

Както и да е, днес не е известна една техника за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно древните гърци са правили своите изчисления, така че тук ще разгледаме различни начини за доказване на питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Преди да започнете каквито и да е изчисления, трябва да разберете коя теория да докажете. Питагоровата теорема звучи така: „В триъгълник, в който един от ъглите е 90 o, сумата от квадратите на катета е равна на квадрата на хипотенузата“.

Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че нека обърнем внимание на най-популярните от тях.

Метод първи

Нека първо дефинираме какво имаме. Тези данни ще се прилагат и за други начини за доказване на питагоровата теорема, така че трябва незабавно да запомните всички налични обозначения.

Да предположим, че е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равни на c. Първият метод за доказване се основава на факта, че квадратът трябва да бъде начертан от правоъгълен триъгълник.

За да направите това, трябва да начертаете сегмент, равен на крака в дължината на крака a и обратно. Така че трябва да се получат две равни страни на квадрата. Остава само да нарисувате две успоредни линии и квадратът е готов.

Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ac и sv, трябва да начертаете два успоредни сегмента, равни на c. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да нарисуваме четвъртия сегмент.

Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че освен вътрешния квадрат, тя има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0,5 пр.

Следователно площта е: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

Следователно (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

И следователно с 2 \u003d a 2 + в 2

Теоремата е доказана.

Метод втори: подобни триъгълници

Тази формула за доказателство на питагоровата теорема е получена въз основа на твърдение от раздела по геометрия за подобни триъгълници. Той казва, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на неговата хипотенуза и отсечката на хипотенузата, произлизаща от върха на ъгъл от 90 o.

Първоначалните данни остават същите, така че нека започнем веднага с доказателството. Нека начертаем отсечка CD, перпендикулярна на страната AB. Въз основа на горното твърдение, краката на триъгълниците са равни:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

За да се отговори на въпроса как да се докаже питагоровата теорема, доказателството трябва да се постави чрез квадратура на двете неравенства.

AC 2 \u003d AB * HELL и SV 2 = AB * DV

Сега трябва да добавим получените неравенства.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), където AD + DV = AB

Оказва се, че:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

И следователно:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Доказателство на питагоровата теорема и различни начининейните решения изискват многостранен подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.

Друг метод за изчисление

Описанието на различни начини за доказване на Питагоровата теорема може да не каже нищо, докато не започнете да практикувате сами. Много методи включват не само математически изчисления, но и изграждане на нови фигури от оригиналния триъгълник.

В този случай е необходимо да завършите друг правоъгълен триъгълник VSD от крака на самолета. По този начин сега има два триъгълника с общ катет BC.

Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:

S avs * s 2 - S avd * в 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (от 2 до 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

от 2 до 2 = 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Тъй като тази опция едва ли е подходяща от различни методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас, можете да използвате следната техника.

Най-лесният начин за доказване на питагоровата теорема. Отзиви

Историците смятат, че този метод е използван за първи път за доказване на теоремата древна Гърция. Това е най-простото, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако нарисувате правилно картина, тогава доказателството на твърдението, че a 2 + b 2 \u003d c 2 ще бъде ясно видимо.

Условията за този метод ще бъдат малко по-различни от предишния. За да докажем теоремата, да предположим, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.

Вземаме хипотенузата AC като страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.

Към краката AB и CB също трябва да нарисувате квадрат и да нарисувате по една диагонална линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от връх A, втората - от C.

Сега трябва внимателно да разгледате получената снимка. Тъй като върху хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, и два на катета, това показва истинността на тази теорема.

Между другото, благодарение на този метод за доказване на питагоровата теорема се роди известната фраза: „Питагорейските панталони са равни във всички посоки“.

Доказателство от Дж. Гарфийлд

Джеймс Гарфийлд е 20-ият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоук.

В началото на кариерата си той е обикновен учител в народно училище, но скоро става директор на едно от висшите образователни институции. Желанието за саморазвитие му позволи да предложи нова теория за доказателство на питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.

Първо трябва да нарисувате два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на един от тях да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да се получи трапец.

Както знаете, площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина.

S=a+b/2 * (a+b)

Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Сега трябва да изравним двата оригинални израза

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Може да се напише повече от един том от учебник за питагоровата теорема и как да се докаже. Но има ли смисъл, когато това знание не може да се приложи на практика?

Практическо приложение на Питагоровата теорема

За съжаление в съвременната училищни програмиизползването на тази теорема е предвидено само в геометрични задачи. Абитуриентите скоро ще заминат училищни стенибез да знаят как могат да приложат своите знания и умения на практика.

Всъщност всеки може да използва питагоровата теорема в ежедневието си. И не само в професионална дейностно и в нормалните домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство могат да бъдат изключително необходими.

Връзка на теоремата и астрономията

Изглежда как звездите и триъгълниците могат да бъдат свързани на хартия. Всъщност астрономията е научна област, в която Питагоровата теорема се използва широко.

Например, помислете за движението на светлинен лъч в пространството. Знаем, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Наричаме траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И половината от времето, необходимо на светлината да стигне от точка А до точка Б, нека се обадим т. И скоростта на лъча - ° С. Оказва се, че: c*t=l

Ако погледнете същия този лъч от друга равнина, например от космическа обшивка, която се движи със скорост v, тогава при такова наблюдение на телата скоростта им ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще се движат със скорост v в обратна посока.

Да кажем, че комичният лайнер плава вдясно. Тогава точки A и B, между които лъчът се втурва, ще се преместят наляво. Освен това, когато лъчът се движи от точка A до точка B, точка A има време да се премести и съответно светлината вече ще пристигне в нова точка C. За да намерите половината от разстоянието, което точка A е изместила, трябва да умножите скорост на облицовката с половината от времето на движение на гредата (t ").

И за да разберете колко далеч може да пътува лъч светлина през това време, трябва да обозначите половината път на новия бук и да получите следния израз:

Ако си представим, че точките на светлината C и B, както и пространствената линия, са върховете на равнобедрен триъгълник, тогава отсечката от точка A до линията ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един лъч светлина.

Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Следователно ние разглеждаме по-обикновени приложения на тази теорема.

Обхват на предаване на мобилен сигнал

Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но колко биха били полезни, ако не можеха да свързват абонати чрез мобилни комуникации?!

Качеството на мобилните комуникации директно зависи от височината, на която се намира антената на мобилния оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула телефонът може да получи сигнал, можете да приложите питагоровата теорема.

Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на неподвижна кула, така че да може да разпространява сигнал в радиус от 200 километра.

AB (височина на кулата) = x;

BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;

OS (радиус на земното кълбо) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Прилагайки теоремата на Питагор, установяваме, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.

Питагоровата теорема в ежедневието

Колкото и да е странно, питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като например определяне на височината на килера. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с ролетка. Но мнозина са изненадани защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.

Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се издига и се монтира до стената. Следователно страничната стена на шкафа в процеса на повдигане на конструкцията трябва свободно да преминава както по височина, така и по диагонал на стаята.

Да предположим, че има гардероб с дълбочина 800 мм. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека да разгледаме един пример.

С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на питагоровата теорема:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 = 2600 mm - всичко се сближава.

Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. Тогава:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Следователно този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Тъй като при повдигането му във вертикално положение може да се причини увреждане на тялото му.

Може би, след като разгледахме различни начини за доказване на питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно сигурни, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.