คำอธิบายทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นผลรวมของขากำลังสอง

ทฤษฎีบท

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา (รูปที่ 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ให้สามเหลี่ยม $A B C$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก $C$ (รูปที่ 2)

ลองวาดความสูงจากจุดยอด $C$ ถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก $A B$ แทนค่าฐานของความสูง $H$

สามเหลี่ยมมุมฉาก $A C H$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $A B C$ ในสองมุม ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ is common). ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม $C B H$ จะคล้ายกับ $A B C$

แนะนำสัญกรณ์

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมเราจะได้สิ่งนั้น

$$\frac(a)(c)=\frac(HB)(a), \frac(b)(c)=\frac(AH)(b)$$

ดังนั้นเราจึงมีสิ่งนั้น

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

เพิ่มความเท่าเทียมกันที่ได้รับ เราได้รับ

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

คิวอีดี

สูตรทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบท

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา (รูปที่ 2):

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.คุณจะได้สามเหลี่ยมมุมฉาก $A B C$ ที่มีขา 6 ซม. และ 8 ซม. หาด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้

วิธีการแก้.ตามสภาพของขา $a=6$ cm, $b=8$ cm. จากนั้น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตารางของด้านตรงข้ามมุมฉาก

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

ดังนั้นเราจึงได้ค่าด้านตรงข้ามมุมฉากที่ต้องการ

$c=\sqrt(100)=10$ (ซม.)

ตอบ. 10 ซม.

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากถ้ารู้ว่าขาข้างหนึ่งยาวกว่าอีกข้างหนึ่ง 5 ซม. และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 25 ซม.

วิธีการแก้.ให้ $x$ cm เป็นความยาวของขาที่เล็กกว่า จากนั้น $(x+5)$ cm คือความยาวของขาที่ใหญ่กว่า จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ว่า

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

เราเปิดวงเล็บลดขนาดที่คล้ายกันและแก้ไขผลลัพธ์ สมการกำลังสอง:

$x^(2)+5 x-300=0$

ตามทฤษฎีบทของเวียตา เราจะได้สิ่งนั้น

$x_(1)=15$ (ซม.) , $x_(2)=-20$ (ซม.)

ค่าของ $x_(2)$ ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา ซึ่งหมายความว่าขาที่เล็กกว่าคือ 15 ซม. และขาที่ใหญ่กว่าคือ 20 ซม.

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของขา นั่นคือ

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

ตอบ.$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$

ประวัติอ้างอิง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส- หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก

หนังสือจีนโบราณ "Zhou bi suan jing" พูดถึงสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่มีด้าน 3, 4 และ 5 นักประวัติศาสตร์ชาวเยอรมันที่ใหญ่ที่สุดของคณิตศาสตร์ Moritz Kantor (1829 - 1920) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์เมื่อประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล ตามที่นักวิทยาศาสตร์กล่าว ผู้สร้างได้สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5 ค่อนข้างเป็นที่รู้จักมากขึ้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ข้อความหนึ่งแสดงการคำนวณโดยประมาณของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

ในขณะนี้ 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกไว้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

เมื่อคุณเริ่มเรียนรู้เกี่ยวกับสแควร์รูทและวิธีแก้สมการอตรรกยะ (สมการที่ไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของรูท) คุณอาจมีแนวคิดแรกเกี่ยวกับการใช้งานจริง ความสามารถในการแยกรากที่สองของตัวเลขนั้นจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทนี้เกี่ยวข้องกับความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ

ให้ความยาวของขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ด้านสองด้านมาบรรจบกันเป็นมุมฉาก) แทนด้วยตัวอักษร และ , และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉาก) มุมฉาก) จะแสดงด้วยตัวอักษร จากนั้นความยาวที่เกี่ยวข้องสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

สมการนี้ช่วยให้คุณหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากในกรณีที่ทราบความยาวของอีกสองด้านของมัน นอกจากนี้ยังช่วยให้คุณกำหนดได้ว่าสามเหลี่ยมที่พิจารณานั้นเป็นมุมฉากหรือไม่ โดยจะต้องทราบความยาวของทั้งสามด้านล่วงหน้า

การแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เพื่อรวมเนื้อหา เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้สำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ให้:

1. ความยาวของขาข้างหนึ่งคือ 48 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 80
2. ความยาวของขาคือ 84 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 91

มาดูวิธีแก้ปัญหากัน:

ก) การแทนที่ข้อมูลลงในสมการข้างต้นให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

48 2 + ข 2 = 80 2

2304 + ข 2 = 6400

ข 2 = 4096

ข= 64 หรือ ข = -64

เนื่องจากความยาวของด้านของสามเหลี่ยมไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนลบได้ ตัวเลือกที่สองจะถูกละทิ้งโดยอัตโนมัติ

ตอบรูปแรก: ข = 64.

b) ความยาวของขาของสามเหลี่ยมที่สองพบในลักษณะเดียวกัน:

84 2 + ข 2 = 91 2

7056 + ข 2 = 8281

ข 2 = 1225

ข= 35 หรือ ข = -35

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ การแก้ปัญหาเชิงลบจะถูกยกเลิก

คำตอบสำหรับภาพที่สอง: ข = 35

เราได้รับ:

1. ความยาวของด้านที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยมคือ 45 และ 55 ตามลำดับ และด้านที่ใหญ่กว่าคือ 75
2. ความยาวของด้านที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยมคือ 28 และ 45 ตามลำดับ และด้านที่ใหญ่กว่าคือ 53

เราแก้ปัญหา:

ก) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยมที่กำหนดนั้นเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านที่ใหญ่กว่าหรือไม่:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

ดังนั้น สามเหลี่ยมแรกจึงไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก

b) มีการดำเนินการเดียวกัน:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

ดังนั้น สามเหลี่ยมที่สองจึงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขั้นแรก ให้หาความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดที่เกิดจากจุดที่มีพิกัด (-2, -3) และ (5, -2) ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรที่รู้จักกันดีในการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

ในทำนองเดียวกัน เราพบความยาวของส่วนที่อยู่ระหว่างจุดที่มีพิกัด (-2, -3) และ (2, 1):

สุดท้าย เรากำหนดความยาวของส่วนระหว่างจุดที่มีพิกัด (2, 1) และ (5, -2):

เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน:

แล้วสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันก็คือสามเหลี่ยมมุมฉาก

ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดคำตอบของปัญหาได้ เนื่องจากผลรวมของกำลังสองของด้านที่มีความยาวน้อยที่สุด เท่ากับกำลังสองของด้านที่มี ยาวที่สุด, จุดคือจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ฐาน (อยู่ในแนวนอนอย่างเคร่งครัด) วงกบ (อยู่ในแนวตั้งอย่างเคร่งครัด) และสายเคเบิล (ในแนวทแยงมุม) เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามลำดับ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้เพื่อค้นหาความยาวของสายเคเบิล:

ดังนั้นความยาวของสายเคเบิลจะอยู่ที่ประมาณ 3.6 เมตร

กำหนด: ระยะทางจากจุด R ถึงจุด P (ขาของสามเหลี่ยม) คือ 24 จากจุด R ถึงจุด Q (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) - 26

ดังนั้นเราจึงช่วย Vitya แก้ปัญหา เนื่องจากด้านของสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปควรจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านที่สามได้:

ดังนั้นความกว้างของบ่อคือ 10 เมตร

Sergey Valerievich

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขารองรับ ( เอและ ข) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ( ค).

สูตรทางเรขาคณิต:

ทฤษฎีบทเดิมถูกกำหนดไว้ดังนี้:

สูตรพีชคณิต:

นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมผ่าน คและความยาวของขาผ่าน เอและ ข :

เอ 2 + ข 2 = ค 2

ทั้งสองสูตรของทฤษฎีบทมีความเท่าเทียมกัน แต่สูตรที่สองเป็นพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องการแนวคิดของพื้นที่ นั่นคือ คำสั่งที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับพื้นที่นั้น และโดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน:

หลักฐานของ

ในขณะนี้ 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกไว้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอน ตามแนวคิดแล้ว สิ่งเหล่านี้สามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ: หลักฐานพื้นที่, หลักฐานจริงและแปลกใหม่ (เช่นใช้ สมการเชิงอนุพันธ์).

ผ่านรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

หลักฐานต่อไปนี้ของสูตรพีชคณิตเป็นข้อพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดที่สร้างขึ้นโดยตรงจากสัจพจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่ได้ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่

อนุญาต ABCมีสามเหลี่ยมมุมฉาก ค. ลองวาดความสูงจาก คและระบุฐานโดย ชม. สามเหลี่ยม ACHคล้ายสามเหลี่ยม ABCที่มุมสองมุม ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม CBHคล้ายกัน ABC. แนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

เทียบเท่าอะไร

เพิ่มเราได้รับ

หลักฐานพื้นที่

หลักฐานต่อไปนี้แม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย พวกเขาทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเอง

พิสูจน์ผ่านความเท่าเทียมกัน

1. จัดสี่เท่ากัน สามเหลี่ยมมุมฉากดังแสดงในรูปที่ 1
2. สี่เหลี่ยมที่มีด้าน คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพราะผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และมุมตรงคือ 180°
3. พื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากัน ด้านหนึ่ง กับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และในทางกลับกัน ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและด้านในสองรูป สี่เหลี่ยม

คิวอีดี

หลักฐานผ่านความเท่าเทียมกัน

หลักฐานการเรียงสับเปลี่ยนที่สวยงาม

ตัวอย่างหนึ่งในข้อพิสูจน์เหล่านี้แสดงในรูปวาดทางด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะถูกแปลงโดยการเรียงสับเปลี่ยนเป็นสองสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

วาดเพื่อเป็นหลักฐานของยุคลิด

ภาพประกอบเพื่อการพิสูจน์ของยุคลิด

แนวความคิดในการพิสูจน์ของยุคลิดมีดังนี้: ลองพิสูจน์ว่าครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา แล้วพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมขนาดใหญ่และสี่เหลี่ยมเล็กสองอันมีค่าเท่ากัน

พิจารณาภาพวาดทางด้านซ้าย เราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากบนนั้นแล้วดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มันตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยม - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาที่สอดคล้องกัน

ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม AHJK ในการทำเช่นนี้เราใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากันตามที่กำหนด สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้จะตามมาว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดง) ซึ่งในทางกลับกันจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK

ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK นั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม DECA ด้วย สิ่งเดียวที่ต้องทำเพื่อสิ่งนี้คือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากคุณสมบัติข้างต้นนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ความเท่าเทียมกันนี้ชัดเจน สามเหลี่ยมสองข้างเท่ากันและมุมระหว่างพวกมัน กล่าวคือ - AB=AK,AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นง่ายต่อการพิสูจน์โดยวิธีการเคลื่อนไหว: ลองหมุนสามเหลี่ยม CAK 90 °ทวนเข็มนาฬิกาแล้วจะเห็นได้ชัดว่าด้านที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองที่พิจารณา จะตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°)

อาร์กิวเมนต์เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม BCFG และสี่เหลี่ยม BHJI นั้นคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขา แนวคิดเบื้องหลังการพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นเพิ่มเติมด้วยภาพเคลื่อนไหวด้านบน

หลักฐานของ Leonardo da Vinci

หลักฐานของ Leonardo da Vinci

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนไหว

พิจารณาภาพวาดดังที่เห็นได้จากความสมมาตรส่วน คฉันผ่าสี่เหลี่ยม อาบีชมเจ เป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (ตั้งแต่สามเหลี่ยม อาบีคและ เจชมฉันเท่ากันในการก่อสร้าง) โดยใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา คอาเจฉัน และ จีดีอาบี . ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของรูปที่เราแรเงานั้นเท่ากับผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ในทางกลับกัน มันเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์จะถูกปล่อยให้ผู้อ่าน

พิสูจน์ด้วยวิธีการที่ไร้ขีดจำกัด

การพิสูจน์ต่อไปนี้โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์มักมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษที่มีชื่อเสียง Hardy ซึ่งอาศัยอยู่ในครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

พิจารณาภาพวาดที่แสดงในรูปและสังเกตการเปลี่ยนแปลงด้านข้าง เอเราสามารถเขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับการเพิ่มขึ้นทีละน้อย กับและ เอ(ใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน):

พิสูจน์ด้วยวิธีการที่ไร้ขีดจำกัด

โดยใช้วิธีการแยกตัวแปรเราพบว่า

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่เพิ่มขึ้นของขาทั้งสองข้าง

การรวมสมการนี้และการใช้เงื่อนไขเริ่มต้น เราได้รับ

ค 2 = เอ 2 + ข 2 + ค่าคงที่

เราจึงได้คำตอบที่ต้องการ

ค 2 = เอ 2 + ข 2 .

มันง่ายที่จะเห็นว่าการพึ่งพากำลังสองในสูตรสุดท้ายปรากฏขึ้นเนื่องจากสัดส่วนเชิงเส้นตรงระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมและการเพิ่มขึ้น ในขณะที่ผลรวมเกิดจากการมีส่วนร่วมอิสระจากการเพิ่มของขาที่แตกต่างกัน

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่าได้หากเราคิดว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่มีการเพิ่มขึ้น (ในกรณีนี้คือขา ข). จากนั้นสำหรับค่าคงที่การรวมเราได้รับ

รูปแบบและลักษณะทั่วไป

• หากแทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ร่างอื่นๆ ที่คล้ายกันถูกสร้างขึ้นบนขา การสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสต่อไปนี้เป็นจริง: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันที่สร้างบนขาจะเท่ากับพื้นที่ของรูปที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากโดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
  • ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างบนขา เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ผลรวมของพื้นที่ของครึ่งวงกลมที่สร้างขึ้นบนขา (ตามเส้นผ่านศูนย์กลาง) เท่ากับพื้นที่ของครึ่งวงกลมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างนี้ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของร่างที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงกลมสองวงและมีชื่อเรียกว่า hippocratic lunula

เรื่องราว

จูเป่ย 500–200 ปีก่อนคริสตกาล ทางด้านซ้ายคือคำจารึก: ผลรวมของกำลังสองของความยาวของส่วนสูงและฐานคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

หนังสือภาษาจีนโบราณ Chu-pei พูดถึงสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่มีด้าน 3, 4 และ 5: ในหนังสือเล่มเดียวกัน มีการเสนอภาพวาดที่สอดคล้องกับหนึ่งในภาพวาดของเรขาคณิตฮินดูของบาสคารา

คันทอร์ (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3 ² + 4 ² = 5² เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์เมื่อประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในช่วงเวลาของ King Amenemhet I (ตามปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำบอกเล่าของต้นเสียง ฮาร์พีโดนาปต์หรือ "สตริงเนอร์" สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5

ง่ายต่อการทำซ้ำวิธีการก่อสร้าง ใช้เชือกยาว 12 ม. แล้วมัดด้วยแถบสีที่ระยะ 3 ม. จากปลายด้านหนึ่งและอีก 4 เมตรจากปลายอีกด้านหนึ่ง มุมฉากจะอยู่ระหว่างด้านที่ยาว 3 ถึง 4 เมตร อาจถูกค้านกับ Harpedonapts ว่าวิธีการก่อสร้างของพวกเขาจะซ้ำซากหากใครใช้ ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมไม้ที่ช่างไม้ทุกคนใช้ อันที่จริงภาพวาดอียิปต์เป็นที่รู้จักซึ่งพบเครื่องมือดังกล่าวเช่นภาพวาดที่แสดงถึงการประชุมเชิงปฏิบัติการช่างไม้

ค่อนข้างเป็นที่รู้จักมากขึ้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่งย้อนหลังไปถึงสมัยของฮัมมูราบี นั่นคือ ถึง 2000 ปีก่อนคริสตกาล e. ให้การคำนวณโดยประมาณของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในเมโสโปเตเมียพวกเขาสามารถคำนวณด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างน้อยก็ในบางกรณี ในด้านหนึ่ง ในระดับความรู้ปัจจุบันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์อียิปต์และบาบิโลน และอีกด้านหนึ่ง จากการศึกษาที่สำคัญของแหล่งข้อมูลกรีก Van der Waerden (นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์) สรุปได้ดังนี้:

วรรณกรรม

ภาษารัสเซีย

• Skopets Z.A.เพชรประดับทางเรขาคณิต ม., 1990
• เยเลนสกี้ ช.ตามรอยพีทาโกรัส ม., 2504
• Van der Waerden บี.แอล.ศาสตร์แห่งการตื่นรู้. คณิตศาสตร์ อียิปต์โบราณ, บาบิโลนและกรีซ. ม., 2502
• เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ม., 1982
• W. Litzman "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" M. , 1960.
  • เว็บไซต์เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก เนื้อหานี้นำมาจากหนังสือโดย V. Litzman จำนวนมากภาพวาดถูกนำเสนอเป็นไฟล์กราฟิกแยกต่างหาก
• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและพีทาโกรัสสามบทจากหนังสือโดย D. V. Anosov “ดูคณิตศาสตร์และอะไรบางอย่างจากมัน”
• เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์ G. Glaser นักวิชาการของ Russian Academy of Education, Moscow

เป็นภาษาอังกฤษ

• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ WolframMathWorld
• Cut-The-Knot ส่วนในทฤษฎีบทพีทาโกรัส ประมาณ 70 ข้อพิสูจน์และข้อมูลเพิ่มเติมมากมาย (อังกฤษ)

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010 .

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวว่า:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

a 2 + b 2 = c 2,

• เอและ ข- ขาเป็นมุมฉาก
• กับคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม

สูตรทฤษฎีบทพีทาโกรัส

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยสูตร:

S = \frac(1)(2)ab

ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพลการ สูตรพื้นที่คือ:

• พี- ครึ่งวงกลม p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• rคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ สำหรับสี่เหลี่ยม r=\frac(1)(2)(a+b-c)

จากนั้นเราเทียบด้านขวาของทั้งสองสูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = เป็^(2)+b^(2)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน:

หากสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมด้านใดด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของอีกสองด้านที่เหลือ สามเหลี่ยมนั้นก็คือสามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ สำหรับจำนวนบวกสามเท่าใดๆ ก, ขและ ค, ดังนั้น

a 2 + b 2 = c 2,

มีขาสามเหลี่ยมมุมฉาก เอและ ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส- หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก ได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์นักคณิตศาสตร์และปราชญ์ Pythagoras

ความหมายของทฤษฎีบทโดยสามารถนำไปใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นๆ และแก้ปัญหาได้

วัสดุเพิ่มเติม:

ประการหนึ่ง คุณสามารถมั่นใจได้ร้อยเปอร์เซ็นต์ว่าเมื่อถูกถามว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร ผู้ใหญ่คนใดจะตอบอย่างกล้าหาญ: "ผลรวมของกำลังสองของส่วนขา" ทฤษฎีบทนี้ฝังแน่นอยู่ในจิตใจของผู้มีการศึกษาทุกคน แต่พอเพียงขอให้ใครสักคนพิสูจน์มัน แล้วความยากลำบากก็อาจเกิดขึ้นได้ มาระลึกและพิจารณากัน วิธีทางที่แตกต่างบทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ภาพรวมโดยย่อของชีวประวัติ

เกือบทุกคนคุ้นเคยกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างชีวประวัติของผู้สร้างจึงไม่เป็นที่นิยม เราจะแก้ไขมัน ดังนั้น ก่อนที่จะศึกษาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณต้องทำความคุ้นเคยกับบุคลิกภาพของเขาโดยสังเขป

พีธากอรัส - นักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ นักคิด มีพื้นเพมาจาก วันนี้ เป็นการยากที่จะแยกแยะชีวประวัติของเขาออกจากตำนานที่พัฒนาขึ้นในความทรงจำของชายผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ แต่จากงานเขียนของผู้ติดตามของเขา Pythagoras of Samos เกิดที่เกาะ Samos พ่อของเขาเป็นช่างตัดหินธรรมดา แต่แม่ของเขามาจากตระกูลผู้สูงศักดิ์

ตามตำนานเล่าว่าการกำเนิดของพีทาโกรัสนั้นถูกทำนายโดยผู้หญิงคนหนึ่งชื่อพีเธีย ซึ่งตั้งชื่อตามเด็กชายคนนั้นเพื่อเป็นเกียรติแก่เด็กชาย ตามคำทำนายของเธอ เด็กชายที่เกิดมาจะต้องนำประโยชน์และความดีมากมายมาสู่มวลมนุษยชาติ ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาทำจริงๆ

กำเนิดทฤษฎีบท

ในวัยหนุ่มของเขา พีธากอรัสย้ายไปอียิปต์เพื่อพบกับปราชญ์ชาวอียิปต์ที่มีชื่อเสียงที่นั่น หลังจากพบกับพวกเขา เขาเข้ารับการศึกษา ซึ่งเขาได้เรียนรู้ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ของปรัชญา คณิตศาสตร์ และการแพทย์ของอียิปต์

อาจเป็นไปได้ว่าในอียิปต์นั้นพีทาโกรัสได้รับแรงบันดาลใจจากความยิ่งใหญ่และความงามของปิรามิดและสร้างทฤษฎีที่ยิ่งใหญ่ของเขา สิ่งนี้อาจทำให้ผู้อ่านตกใจ แต่นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่เชื่อว่าพีทาโกรัสไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเขา แต่เขาเพียงถ่ายทอดความรู้ของเขาให้กับผู้ติดตามของเขาซึ่งต่อมาได้เสร็จสิ้นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมด

อย่างไรก็ตาม วันนี้ไม่มีใครรู้จักเทคนิคเดียวในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่มีหลายวิธีในครั้งเดียว วันนี้เราสามารถเดาได้เพียงว่าชาวกรีกโบราณทำการคำนวณอย่างไร ดังนั้นที่นี่เราจะพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ก่อนที่คุณจะเริ่มการคำนวณใดๆ คุณต้องคิดก่อนว่าทฤษฎีใดที่จะพิสูจน์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสฟังดังนี้: "ในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุม 90 o ผลรวมของกำลังสองของขาจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก"

มี 15 วิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสทั้งหมด นี่เป็นตัวเลขที่ค่อนข้างใหญ่ดังนั้นเรามาดูความนิยมสูงสุดกัน

วิธีที่หนึ่ง

มากำหนดสิ่งที่เรามีกันก่อน ข้อมูลนี้จะนำไปใช้กับวิธีอื่นในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ดังนั้นคุณควรจำสัญกรณ์ที่มีอยู่ทั้งหมดทันที

สมมติให้สามเหลี่ยมมุมฉากมีขา a, b และด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ c วิธีแรกในการพิสูจน์ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าต้องดึงสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องวาดส่วนที่เท่ากับขาในความยาวของขา a และในทางกลับกัน มันจึงควรกลายเป็นสองด้านเท่ากันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เหลือเพียงการวาดเส้นคู่ขนานสองเส้นและสี่เหลี่ยมก็พร้อม

ภายในผลลัพธ์ที่ได้ คุณต้องวาดสี่เหลี่ยมอีกอันที่มีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมเดิม ในการทำเช่นนี้ จากจุดยอด ac และ sv คุณต้องวาดส่วนคู่ขนานสองส่วนเท่ากับ c ดังนั้นเราจึงได้ด้านสามด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หนึ่งในนั้นคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากดั้งเดิม มันยังคงเป็นเพียงการวาดส่วนที่สี่

จากตัวเลขผลลัพธ์เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอกคือ (a + b) 2 หากคุณมองเข้าไปในรูป คุณจะเห็นว่านอกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในแล้ว ยังมีสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป พื้นที่แต่ละแห่งคือ 0.5 av.

ดังนั้น พื้นที่คือ: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

ดังนั้น (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

และด้วยเหตุนี้ด้วย 2 \u003d a 2 + ใน2

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีที่สอง: สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สูตรนี้สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้มาจากข้อความจากหมวดเรขาคณิตเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน มันบอกว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม 90 o

ข้อมูลเริ่มต้นยังคงเหมือนเดิม เรามาเริ่มกันเลยด้วยการพิสูจน์กัน ให้เราวาดแผ่นซีดีส่วนตั้งฉากกับด้าน AB จากข้อความข้างต้น ขาของสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

ในการตอบคำถามว่าจะพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างไร ต้องวางการพิสูจน์โดยการยกกำลังสองอสมการทั้งสองออก

AC 2 \u003d AB * HELL และ SV 2 \u003d AB * DV

ตอนนี้เราต้องบวกความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV) โดยที่ AD + DV \u003d AB

ปรากฎว่า:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

และดังนั้นจึง:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและ วิธีต่างๆการแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางที่หลากหลายในการแก้ไขปัญหานี้ อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่ง

วิธีการคำนวณอื่น

คำอธิบายของวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจไม่พูดอะไร จนกว่าคุณจะเริ่มฝึกฝนด้วยตัวเอง หลายวิธีไม่เพียงเกี่ยวข้องกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการสร้างตัวเลขใหม่จากสามเหลี่ยมเดิมด้วย

ในกรณีนี้ จำเป็นต้องกรอก VSD สามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันจากขาเครื่องบิน ดังนั้น จึงมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขาร่วม BC

เมื่อรู้ว่าพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายคลึงกันมีอัตราส่วนเท่ากับกำลังสองของมิติเชิงเส้นที่คล้ายคลึงกัน ดังนั้น:

S avs * s 2 - S avd * ใน 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (จาก 2 ถึง 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

จาก 2 ถึง 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + ใน2

เนื่องจากตัวเลือกนี้ไม่ค่อยเหมาะกับวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับเกรด 8 ด้วยวิธีต่างๆ คุณจึงใช้เทคนิคต่อไปนี้ได้

วิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความคิดเห็น

นักประวัติศาสตร์เชื่อว่าวิธีนี้ถูกใช้ครั้งแรกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทใน กรีกโบราณ. เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด เนื่องจากไม่ต้องมีการคำนวณใดๆ เลย หากคุณวาดภาพอย่างถูกต้อง หลักฐานของข้อความที่ว่า a 2 + b 2 \u003d c 2 จะมองเห็นได้ชัดเจน

เงื่อนไขสำหรับวิธีนี้จะแตกต่างจากวิธีก่อนหน้าเล็กน้อย เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท สมมติว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เป็นหน้าจั่ว

เราหาด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เป็นด้านของสี่เหลี่ยมแล้ววาดด้านทั้งสามของมัน นอกจากนี้ จำเป็นต้องวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ได้ คุณจะได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่อันภายในนั้น

สำหรับขา AB และ CB คุณต้องวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวาดเส้นทแยงหนึ่งเส้นในแต่ละส่วน เราวาดเส้นแรกจากจุดยอด A ส่วนที่สอง - จาก C

ตอนนี้คุณต้องดูภาพที่ได้อย่างระมัดระวัง เนื่องจากมีสามเหลี่ยมสี่รูปบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เท่ากับอันเดิมและสองรูปที่ขา นี่จึงระบุถึงความจริงของทฤษฎีบทนี้

ต้องขอบคุณวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ทำให้วลีที่มีชื่อเสียงเกิดขึ้น: "กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง"

พิสูจน์โดย J. Garfield

James Garfield เป็นประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา นอกจากจะทิ้งร่องรอยไว้บนประวัติศาสตร์ในฐานะผู้ปกครองแห่งสหรัฐอเมริกาแล้ว เขายังเป็นผู้มีพรสวรรค์ในการเรียนรู้ด้วยตนเองอีกด้วย

ในตอนเริ่มต้นอาชีพของเขา เขาเป็นครูธรรมดาในโรงเรียนพื้นบ้านแห่งหนึ่ง แต่ในไม่ช้าก็กลายเป็นผู้อำนวยการของหนึ่งในผู้สูงกว่า สถาบันการศึกษา. ความปรารถนาในการพัฒนาตนเองและทำให้เขาเสนอทฤษฎีใหม่ของการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทและตัวอย่างของการแก้ปัญหามีดังนี้

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปบนแผ่นกระดาษเพื่อให้ขาของหนึ่งในนั้นเป็นส่วนต่อของส่วนที่สอง จุดยอดของสามเหลี่ยมเหล่านี้ต้องเชื่อมต่อกันจึงจะมีสี่เหลี่ยมคางหมู

ดังที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง

S=a+b/2 * (a+b)

หากเราพิจารณาผลลัพธ์ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสามเหลี่ยมสามรูป พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะพบได้ดังนี้:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

ตอนนี้เราต้องทำให้นิพจน์ดั้งเดิมทั้งสองเท่ากัน

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + ใน2

สามารถเขียนหนังสือเรียนเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้มากกว่าหนึ่งเล่มและจะพิสูจน์อย่างไร แต่มันสมเหตุสมผลหรือไม่เมื่อความรู้นี้ไม่สามารถนำไปปฏิบัติได้?

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในทางปฏิบัติ

น่าเสียดายในยุคปัจจุบัน โปรแกรมโรงเรียนการใช้ทฤษฎีบทนี้มีให้เฉพาะในปัญหาทางเรขาคณิตเท่านั้น บัณฑิตจะจากไปในไม่ช้า กำแพงโรงเรียนโดยไม่รู้ว่าจะนำความรู้และทักษะไปปฏิบัติได้อย่างไร

อันที่จริง ทุกคนสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวันได้ และไม่เพียงแต่ใน กิจกรรมระดับมืออาชีพแต่ยังทำงานบ้านตามปกติ ลองพิจารณาหลายกรณีที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์มีความจำเป็นอย่างยิ่ง

ความเชื่อมโยงของทฤษฎีบทและดาราศาสตร์

ดูเหมือนว่าดาวและสามเหลี่ยมสามารถเชื่อมต่อกันบนกระดาษได้อย่างไร อันที่จริง ดาราศาสตร์เป็นสาขาวิทยาศาสตร์ที่มีการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างแพร่หลาย

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการเคลื่อนที่ของลำแสงในอวกาศ เรารู้ว่าแสงเดินทางทั้งสองทิศทางด้วยความเร็วเท่ากัน เราเรียกเส้นโคจร AB ที่รังสีแสงเคลื่อนที่ l. และใช้เวลาครึ่งหนึ่งในการให้แสงจากจุด A ไปยังจุด B เรียกว่า t. และความเร็วของลำแสง - ค. ปรากฎว่า: c*t=l

หากคุณดูลำแสงเดียวกันนี้จากระนาบอื่น เช่น จากยานอวกาศที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v จากนั้นเมื่อสังเกตวัตถุดังกล่าว ความเร็วของมันจะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้ แม้แต่องค์ประกอบที่อยู่นิ่งก็จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ไปในทิศทางตรงกันข้าม

สมมุติว่าการ์ตูนกำลังแล่นไปทางขวา จากนั้นจุด A และ B ซึ่งระหว่างที่รังสีวิ่งจะเคลื่อนที่ไปทางซ้าย นอกจากนี้ เมื่อลำแสงเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B จุด A มีเวลาเคลื่อนที่และด้วยเหตุนี้ แสงก็มาถึงจุดใหม่ C แล้ว หากต้องการหาระยะทางครึ่งหนึ่งที่จุด A เลื่อนไป คุณต้องคูณ ความเร็วของซับโดยครึ่งหนึ่งของเวลาการเดินทางของลำแสง (t ")

และเพื่อค้นหาว่ารังสีของแสงสามารถเดินทางได้ไกลแค่ไหนในช่วงเวลานี้ คุณต้องกำหนดเส้นทางครึ่งทางของต้นบีชใหม่และได้นิพจน์ต่อไปนี้:

หากเราจินตนาการว่าจุดแสง C และ B รวมทั้งเส้นแบ่งพื้นที่ คือจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนจากจุด A ถึงเส้นแบ่งจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ดังนั้น ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณสามารถค้นหาระยะทางที่รังสีของแสงสามารถเดินทางได้

แน่นอนว่าตัวอย่างนี้ไม่ได้ประสบความสำเร็จมากที่สุด เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คนที่โชคดีพอที่จะลองใช้มันในทางปฏิบัติ ดังนั้นเราจึงพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้ทางโลกมากขึ้น

ช่วงการส่งสัญญาณมือถือ

ชีวิตสมัยใหม่ไม่สามารถจินตนาการได้อีกต่อไปหากไม่มีสมาร์ทโฟน แต่จะมีประโยชน์มากแค่ไหนหากพวกเขาไม่สามารถเชื่อมต่อสมาชิกผ่านการสื่อสารผ่านมือถือได้!

คุณภาพของการสื่อสารเคลื่อนที่โดยตรงขึ้นอยู่กับความสูงที่เสาอากาศของผู้ให้บริการมือถือตั้งอยู่ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อคำนวณว่าโทรศัพท์สามารถรับสัญญาณได้ไกลจากเสาเคลื่อนที่แค่ไหน

สมมติว่าคุณต้องหาความสูงโดยประมาณของหอคอยที่อยู่นิ่ง เพื่อให้สามารถแพร่สัญญาณภายในรัศมี 200 กิโลเมตรได้

AB (ความสูงของหอคอย) = x;

BC (รัศมีการส่งสัญญาณ) = 200 กม.;

OS (รัศมีของโลก) = 6380 กม.;

OB=OA+ABOB=r+x

เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบว่าความสูงขั้นต่ำของหอคอยควรอยู่ที่ 2.3 กิโลเมตร

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวัน

น่าแปลกที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์แม้ในชีวิตประจำวัน เช่น การกำหนดความสูงของตู้เสื้อผ้า เป็นต้น เมื่อมองแวบแรก ไม่จำเป็นต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนเช่นนี้ เพราะคุณสามารถวัดค่าด้วยตลับเมตรได้อย่างง่ายดาย แต่หลายคนแปลกใจว่าทำไมปัญหาบางอย่างจึงเกิดขึ้นระหว่างกระบวนการประกอบ หากการวัดทั้งหมดทำมากกว่าความแม่นยำ

ความจริงก็คือตู้เสื้อผ้าถูกประกอบในแนวนอนแล้วยกขึ้นและติดตั้งกับผนัง ดังนั้นผนังด้านข้างของตู้ในกระบวนการยกโครงสร้างต้องผ่านทั้งความสูงและแนวทแยงมุมของห้องอย่างอิสระ

สมมติว่ามีตู้เสื้อผ้าที่มีความลึก 800 มม. ระยะห่างจากพื้นถึงเพดาน - 2600 มม. ผู้ผลิตเฟอร์นิเจอร์ที่มีประสบการณ์จะบอกว่าความสูงของตู้ควรน้อยกว่าความสูงของห้อง 126 มม. แต่ทำไม 126 มม. กันแน่? มาดูตัวอย่างกัน

ด้วยขนาดในอุดมคติของตู้ เรามาตรวจสอบการทำงานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 มม. - ทุกอย่างมาบรรจบกัน

สมมุติว่าความสูงของตู้ไม่ใช่ 2474 มม. แต่เป็น 2505 มม. แล้ว:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 มม.

ดังนั้นตู้นี้จึงไม่เหมาะกับการติดตั้งในห้องนี้ เนื่องจากเมื่อยกขึ้นในแนวตั้งอาจทำให้เกิดความเสียหายต่อร่างกายได้

บางที เมื่อพิจารณาวิธีการต่าง ๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยนักวิทยาศาสตร์หลายคน เราก็สรุปได้ว่ามันเป็นมากกว่าความจริง ตอนนี้คุณสามารถใช้ข้อมูลที่ได้รับในชีวิตประจำวันของคุณและต้องแน่ใจว่าการคำนวณทั้งหมดจะไม่เพียงมีประโยชน์เท่านั้น แต่ยังถูกต้องอีกด้วย