شرح نظرية فيثاغورس. نظرية فيثاغورس: مربع الوتر هو مجموع تربيع الساقين

نظرية

في المثلث القائم ، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الساقين (الشكل 1):

$ c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2) $

إثبات نظرية فيثاغورس

لنفترض أن المثلث $ A B C $ مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة $ C $ (الشكل 2).

لنرسم ارتفاعًا من الرأس $ C $ إلى الوتر $ A B $ ، ونشير إلى أن قاعدة الارتفاع هي $ H $.

المثلث الأيمن $ A C H $ مشابه للمثلث $ A B C $ في زاويتين ($ \ الزاوية A C B = \ الزاوية C H A = 90 ^ (\ circ) $، $ \ angle A $ شائعة). وبالمثل ، فإن المثلث $ C B H $ مشابه لـ $ A B C $.

تقديم التدوين

$$ ب ج = أ ، أ ج = ب ، أ ب = ج $$

من تشابه المثلثات نحصل على ذلك

$$ \ frac (a) (c) = \ frac (H B) (a) ، \ frac (b) (c) = \ frac (A H) (b) $$

ومن ثم لدينا ذلك

$$ a ^ (2) = c \ cdot H B ، b ^ (2) = c \ cdot A H $$

بإضافة المساواة التي تم الحصول عليها نحصل عليها

$$ a ^ (2) + b ^ (2) = c \ cdot H B + c \ cdot A H $$

$$ a ^ (2) + b ^ (2) = c \ cdot (H B + A H) $$

$$ a ^ (2) + b ^ (2) = c \ cdot A B $$

$$ a ^ (2) + b ^ (2) = c \ cdot c $$

$$ a ^ (2) + b ^ (2) = c ^ (2) $$

Q.E.D.

الصيغة الهندسية لنظرية فيثاغورس

نظرية

في المثلث القائم ، تكون مساحة المربع المبني على الوتر مساوية لمجموع مناطق المربعات المبنية على الأرجل (الشكل 2):

أمثلة على حل المشكلات

مثال

يمارس.لديك مثلث قائم الزاوية $ A B C $ طول رجليه 6 سم و 8 سم ، أوجد وتر هذا المثلث.

قرار.وفقًا لحالة الساق $ a = 6 $ cm ، $ b = 8 $ cm ، ثم وفقًا لنظرية فيثاغورس ، مربع الوتر

$ c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2) = 6 ^ (2) + 8 ^ (2) = 36 + 64 = 100 دولار

ومن ثم نحصل على الوتر المطلوب

$ c = \ sqrt (100) = 10 $ (سم)

إجابه. 10 سم

مثال

يمارس.أوجد مساحة المثلث القائم الزاوية إذا علمت أن إحدى رجليه أطول من الأخرى بمقدار 5 سم وأن طول الوتر 25 سم.

قرار.لنفترض أن $ x $ cm هو طول الساق الأصغر ، ثم $ (x + 5) $ cm هو طول الساق الأكبر. بعد ذلك ، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، لدينا:

$$ x ^ (2) + (x + 5) ^ (2) = 25 ^ (2) $$

نفتح الأقواس ونخفض الأقواس المتشابهة ونحل النتيجة معادلة من الدرجة الثانية:

$ x ^ (2) +5 x-300 = 0 دولار

وفقًا لنظرية فييتا ، حصلنا على ذلك

$ x_ (1) = 15 دولارًا (سم) ، $ x_ (2) = - 20 دولارًا (سم)

لا تفي قيمة $ x_ (2) $ بشرط المشكلة ، مما يعني أن الضلع الأصغر يبلغ 15 سم والأكبر 20 سم.

مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب أطوال ساقيه ، أي

$$ S = \ frac (15 \ cdot 20) (2) = 15 \ cdot 10 = 150 \ يسار (\ mathrm (سم) ^ (2) \ يمين) $$

إجابه.$ S = 150 \ left (\ mathrm (cm) ^ (2) \ right) $

مرجع التاريخ

نظرية فيثاغورس- إحدى النظريات الأساسية للهندسة الإقليدية ، إنشاء العلاقة بين أضلاع المثلث القائم.

يتحدث الكتاب الصيني القديم "Zhou bi suan jing" عن مثلث فيثاغورس بجوانب 3 و 4 و 5. يعتقد أكبر مؤرخ ألماني للرياضيات موريتز كانتور (1829 - 1920) أن المساواة 3 ^ (2) + 4 ^ (2) ) = 5 ^ (2) $ كان معروفًا بالفعل للمصريين حوالي 2300 قبل الميلاد. وفقًا للعالم ، قام البناة بعد ذلك ببناء الزوايا القائمة باستخدام مثلثات ذات زوايا قائمة مع جوانب 3 و 4 و 5. إلى حد ما ، يُعرف المزيد عن نظرية فيثاغورس بين البابليين. نص واحد يعطي حسابًا تقريبيًا لوتر المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين.

في الوقت الحالي ، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. من المحتمل أن نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على مثل هذا العدد المذهل من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا من خلال الأهمية الأساسية لنظرية الهندسة.

عندما بدأت في التعرف على الجذور التربيعية وكيفية حل المعادلات غير المنطقية (المساواة التي تحتوي على مجهول تحت علامة الجذر) ، ربما تكون قد حصلت على الفكرة الأولى للاستخدام العملي. القدرة على استخراج الجذر التربيعي للأرقام ضرورية أيضًا لحل المشكلات في تطبيق نظرية فيثاغورس. تتعلق هذه النظرية بأطوال أضلاع أي مثلث قائم الزاوية.

دع أطوال أرجل المثلث القائم (الضلعان اللذان يتقاربان بزاوية قائمة) يُشار إليها بالحروف و ، وطول الوتر (الضلع الأطول في المثلث المقابل زاوية مستقيمة) بالحرف. ثم ترتبط الأطوال المقابلة بالعلاقة التالية:

تسمح لك هذه المعادلة بإيجاد طول ضلع في مثلث قائم الزاوية في الحالة التي يكون فيها طول ضلعيه الآخرين معروفين. بالإضافة إلى ذلك ، يسمح لك بتحديد ما إذا كان المثلث المدروس قائمًا بزاوية ، بشرط أن تكون أطوال الأضلاع الثلاثة معروفة مسبقًا.

حل المسائل باستخدام نظرية فيثاغورس

لدمج المادة ، سنحل المشكلات التالية لتطبيق نظرية فيثاغورس.

لذلك معطى:

1. طول إحدى الساقين 48 ، والوتر 80.
2. طول الساق 84 ، والوتر 91.

دعنا نصل إلى الحل:

أ) استبدال البيانات في المعادلة أعلاه يعطي النتائج التالية:

48 2 + ب 2 = 80 2

2304 + ب 2 = 6400

ب 2 = 4096

ب= 64 أو ب = -64

نظرًا لأنه لا يمكن التعبير عن طول أحد أضلاع المثلث كرقم سالب ، يتم تجاهل الخيار الثاني تلقائيًا.

الجواب على الصورة الأولى: ب = 64.

ب) تم العثور على طول ضلع المثلث الثاني بنفس الطريقة:

84 2 + ب 2 = 91 2

7056 + ب 2 = 8281

ب 2 = 1225

ب= 35 أو ب = -35

كما في الحالة السابقة ، يتم تجاهل الحل السلبي.

الجواب على الصورة الثانية: ب = 35

نعطي:

1. أطوال ضلعي المثلث الأصغر 45 و 55 على التوالي ، والأكبر منها 75.
2. أطوال أضلاع المثلث الأصغر هي 28 و 45 على التوالي ، والأكبر منها 53.

نحل المشكلة:

أ) من الضروري التحقق مما إذا كان مجموع مربعات أطوال الأضلاع الأصغر لمثلث معين يساوي مربع طول المثلث الأكبر:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

وبالتالي ، فإن المثلث الأول ليس مثلثًا قائمًا.

ب) يتم إجراء نفس العملية:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

إذن ، المثلث الثاني مثلث قائم الزاوية.

أولاً ، أوجد طول الجزء الأكبر المكون من النقاط ذات الإحداثيات (-2 ، -3) و (5 ، -2). للقيام بذلك ، نستخدم الصيغة المعروفة لإيجاد المسافة بين النقاط في نظام إحداثيات مستطيل:

وبالمثل ، نجد طول المقطع المحصور بين النقاط ذات الإحداثيات (-2 ، -3) و (2 ، 1):

أخيرًا ، نحدد طول المقطع بين النقاط ذات الإحداثيات (2 ، 1) و (5 ، -2):

بما أن هناك مساواة:

ثم المثلث المقابل هو مثلث قائم الزاوية.

وبالتالي ، يمكننا صياغة إجابة المشكلة: نظرًا لأن مجموع مربعات الأضلاع ذات أصغر طول يساوي مربع الضلع الذي يحتوي على أكبر طول، النقاط هي رؤوس مثلث قائم الزاوية.

تشكل القاعدة (الموجودة أفقيًا تمامًا) والدعامة (الموجودة بشكل عمودي تمامًا) والكابل (الممتد قطريًا) مثلثًا قائمًا ، على التوالي ، يمكن استخدام نظرية فيثاغورس للعثور على طول الكابل:

وبذلك يبلغ طول الكابل 3.6 متر تقريبًا.

معطى: المسافة من النقطة R إلى النقطة P (ضلع المثلث) هي 24 ، من النقطة R إلى النقطة Q (الوتر) - 26.

لذلك ، نساعد Vitya في حل المشكلة. نظرًا لأنه من المفترض أن تشكل أضلاع المثلث الموضح في الشكل مثلثًا قائمًا ، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الثالث:

إذن ، عرض البركة 10 أمتار.

سيرجي فاليريفيتش

نظرية فيثاغورس: مجموع مساحات المربعات التي تدعمها الأرجل ( أو ب) ، يساوي مساحة المربع المبني على الوتر ( ج).

صياغة هندسية:

تمت صياغة النظرية في الأصل على النحو التالي:

الصيغة الجبرية:

أي ، تدل على طول وتر المثلث من خلال جوأطوال الساقين أو ب :

أ 2 + ب 2 = ج 2

كلا الصيغتين للنظرية متكافئتان ، لكن الصيغة الثانية أكثر بدائية ، ولا تتطلب مفهوم المنطقة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المنطقة وقياس أطوال أضلاع المثلث القائم فقط.

نظرية فيثاغورس المعكوسة:

الدليل ل

في الوقت الحالي ، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. من المحتمل أن نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على مثل هذا العدد المذهل من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا من خلال الأهمية الأساسية لنظرية الهندسة.

بالطبع ، من الناحية المفاهيمية ، يمكن تقسيمهم جميعًا إلى عدد صغير من الفصول. وأشهرها: براهين المنطقة ، البراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال ، استخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات متشابهة

الدليل التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين المبنية مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص ، لا يستخدم مفهوم منطقة الشكل.

اسمحوا ان ABCيوجد مثلث قائم الزاوية ج. دعونا نرسم ارتفاع من جوالدلالة على قاعدتها بواسطة ح. مثلث ACHعلى غرار المثلث ABCفي زاويتين. وبالمثل ، المثلث CBHمشابه ABC. تقديم التدوين

نحن نحصل

ما هو معادل

مضيفا ، نحصل عليه

براهين المنطقة

البراهين التالية ، على الرغم من بساطتها الظاهرة ، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كلهم يستخدمون خصائص المنطقة ، وإثباتها أكثر تعقيدًا من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.

إثبات عن طريق المعادلة

1. ترتيب أربعة متساوية مثلث قائمكما هو موضح في الشكل 1.
2. رباعي مع جوانب جمربع لأن مجموع زاويتين حادتين 90 درجة والزاوية المستقيمة 180 درجة.
3. مساحة الشكل كله تساوي ، من ناحية ، مساحة مربع مع ضلع (أ + ب) ، ومن ناحية أخرى ، مجموع مساحات أربعة مثلثات واثنين من الداخل مربعات.

Q.E.D.

الدليل من خلال التكافؤ

برهان تبديل أنيق

يظهر مثال على أحد هذه البراهين في الرسم على اليمين ، حيث يتم تحويل المربع المبني على الوتر عن طريق التبديل إلى مربعين مبنيين على الساقين.

دليل إقليدس

الرسم لإثبات إقليدس

رسم توضيحي لإثبات إقليدس

فكرة برهان إقليدس هي كالتالي: دعنا نحاول إثبات أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ، ثم مناطق المربعان الكبيران والصغيران متساويان.

ضع في اعتبارك الرسم الموجود على اليسار. على ذلك ، قمنا ببناء مربعات على جانبي مثلث قائم الزاوية ورسمنا شعاعا من رأس الزاوية اليمنى C عموديًا على الوتر AB ، ويقطع المربع ABIK ، المبني على الوتر ، إلى مستطيلين - BHJI و HAKJ ، على التوالى. اتضح أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة.

دعنا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK للقيام بذلك ، نستخدم ملاحظة إضافية: مساحة المثلث بنفس الارتفاع والقاعدة المعطاة المستطيل يساوي نصف مساحة المستطيل المعطى. هذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. من هذه الملاحظة يترتب على ذلك أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير موضح) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK.

دعونا الآن نثبت أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة مربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات المساواة بين المثلثات ACK و BDA (حيث أن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع بواسطة الخاصية المذكورة أعلاه). هذه المساواة واضحة ، والمثلثات متساوية في ضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB = AK ، AD = AC - من السهل إثبات المساواة بين الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: دعنا ندير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، فمن الواضح أن الأضلاع المقابلة للمثلثين المعتبرين سيتطابق (نظرًا لحقيقة أن الزاوية عند رأس المربع تساوي 90 درجة).

الحجة حول المساواة بين مناطق المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابهة تمامًا.

وهكذا أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر هي مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل. يتم توضيح الفكرة وراء هذا الدليل بشكل أكبر مع الرسوم المتحركة أعلاه.

إثبات ليوناردو دافنشي

إثبات ليوناردو دافنشي

العنصران الرئيسيان للإثبات هما التماثل والحركة.

ضع في اعتبارك الرسم ، كما يتضح من التناظر ، المقطع جأنايشريح المربع أبحي إلى جزأين متطابقين (منذ المثلثات أبجو يحأنامتساوية في البناء). باستخدام دوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، نرى مساواة الأشكال المظللة جأيأنا و جيدأب . من الواضح الآن أن مساحة الشكل المظلل بواسطتنا تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. من ناحية أخرى ، فهي تساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر ، زائد مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات متروكة للقارئ.

إثبات بطريقة متناهية الصغر

غالبًا ما يُعزى الدليل التالي باستخدام المعادلات التفاضلية إلى عالم الرياضيات الإنجليزي الشهير هاردي ، الذي عاش في النصف الأول من القرن العشرين.

النظر في الرسم الموضح في الشكل وملاحظة التغيير في الجانب أ، يمكننا كتابة العلاقة التالية لزيادات الضلع اللامتناهية في الصغر معو أ(باستخدام مثلثات مماثلة):

إثبات بطريقة متناهية الصغر

باستخدام طريقة فصل المتغيرات نجد

تعبير أكثر عمومية لتغيير الوتر في حالة الزيادات في كلا الساقين

دمج هذه المعادلة واستخدام الشروط الأولية ، نحصل عليها

ج 2 = أ 2 + ب 2 + ثابت.

وهكذا ، نصل إلى الإجابة المطلوبة

ج 2 = أ 2 + ب 2 .

من السهل أن نرى أن الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية يظهر بسبب التناسب الخطي بين جانبي المثلث والزيادات ، بينما يرجع المجموع إلى المساهمات المستقلة من زيادة الأرجل المختلفة.

يمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن إحدى الساقين لا تشهد زيادة (في هذه الحالة ، الساق ب). ثم نحصل على ثابت التكامل

الاختلافات والتعميمات

• إذا تم إنشاء أشكال أخرى مماثلة على الأرجل ، بدلاً من المربعات ، فإن التعميم التالي لنظرية فيثاغورس يكون صحيحًا: في المثلث القائم ، يكون مجموع مساحات الأشكال المتشابهة المبنية على الأرجل مساويًا لمساحة الشكل المبني على الوتر.خاصه:
  • مجموع مساحات المثلثات العادية المبنية على الأرجل يساوي مساحة المثلث العادي المبني على الوتر.
  • مجموع مساحات أنصاف الدوائر المبنية على الأرجل (كما في القطر) يساوي مساحة نصف الدائرة المبنية على الوتر. يستخدم هذا المثال لإثبات خصائص الأشكال المقيدة بأقواس من دائرتين وتحمل اسم أبقراط لونولا.

قصة

Chu-pei 500-200 قبل الميلاد. على اليسار يوجد نقش: مجموع مربعي أطوال الارتفاع والقاعدة هو مربع طول الوتر.

يتحدث الكتاب الصيني القديم Chu-pei عن مثلث فيثاغورس بجوانب 3 و 4 و 5: في نفس الكتاب ، تم اقتراح رسم يتزامن مع أحد رسومات الهندسة الهندوسية في باسكارا.

يعتقد Kantor (أكبر مؤرخ ألماني للرياضيات) أن المساواة 3 ² + 4 ² = 5² كانت معروفة بالفعل للمصريين حوالي 2300 قبل الميلاد. هـ ، في عهد الملك أمنمحات الأول (حسب البردية 6619 لمتحف برلين). وفقا لكانتور ، فإن الحاربين ، أو "المراسلين" ، قاموا ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة مع جوانب 3 و 4 و 5.

من السهل جدًا إعادة إنتاج طريقة البناء الخاصة بهم. خذ حبلًا طوله 12 مترًا واربطه به على طول شريط ملون على مسافة 3 أمتار. من طرف و 4 أمتار من الطرف الآخر. ستُحاط الزاوية اليمنى بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار. قد يعترض على Harpedonapts أن طريقة بنائهم تصبح زائدة عن الحاجة إذا استخدم المرء ، على سبيل المثال ، المربع الخشبي الذي يستخدمه جميع النجارين. في الواقع ، تُعرف الرسومات المصرية التي توجد بها مثل هذه الأداة ، على سبيل المثال ، رسومات تصور ورشة نجارة.

يُعرف المزيد إلى حد ما عن نظرية فيثاغورس بين البابليين. في نص واحد يعود إلى زمن حمورابي أي إلى 2000 ق. هـ ، يتم إعطاء حساب تقريبي لوتر المثلث القائم. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين كانوا قادرين على إجراء حسابات بمثلثات قائمة الزاوية ، على الأقل في بعض الحالات. استنادًا إلى المستوى الحالي للمعرفة حول الرياضيات المصرية والبابلية ، من ناحية ، ومن ناحية أخرى ، بناءً على دراسة نقدية للمصادر اليونانية ، خلص Van der Waerden (عالم رياضيات هولندي) إلى ما يلي:

المؤلفات

بالروسية

• Skopets Z. A.المنمنمات الهندسية. م ، 1990
• يلنسكي ش.على خطى فيثاغورس. م ، 1961
• Van der Waerden B. L.علم الصحوة. الرياضيات مصر القديمةوبابل واليونان. م ، 1959
• جليزر جي.تاريخ الرياضيات في المدرسة. م ، 1982
• دبليو ليتسمان ، "نظرية فيثاغورس" م ، 1960.
  • موقع حول نظرية فيثاغورس مع عدد كبير من البراهين ، المادة مأخوذة من كتاب ف. ليتزمان ، رقم ضخميتم تقديم الرسومات كملفات رسومات منفصلة.
• نظرية فيثاغورس وثلاثيات فيثاغورس من كتاب دي في أنوسوف "نظرة على الرياضيات وشيء منها"
• حول نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها جلاسر ، الأكاديمي في الأكاديمية الروسية للتربية ، موسكو

باللغة الإنجليزية

• نظرية فيثاغورس في WolframMathWorld
• Cut-The-Knot ، قسم في نظرية فيثاغورس ، حوالي 70 دليلًا ومعلومات إضافية شاملة (هندسة)

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

تقول نظرية فيثاغورس:

في المثلث القائم ، مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر:

أ 2 + ب 2 = ص 2,

• أو ب- تشكل الأرجل الزاوية اليمنى.
• معهو وتر المثلث.

صيغ نظرية فيثاغورس

• أ = \ الجذر التربيعي (ج ^ (2) - ب ^ (2))
• ب = \ الجذر التربيعي (ج ^ (2) - أ ^ (2))
• ج = \ الجذر التربيعي (أ ^ (2) + ب ^ (2))

إثبات نظرية فيثاغورس

يتم حساب مساحة المثلث القائم الزاوية بالصيغة:

S = \ frac (1) (2) أب

لحساب مساحة المثلث التعسفي ، فإن صيغة المنطقة هي:

• ص- سيميبرميتر. ص = \ فارك (1) (2) (أ + ب + ج) ،
• صهو نصف قطر الدائرة المنقوشة. بالنسبة للمستطيل r = \ frac (1) (2) (a + b-c).

ثم نقوم بمساواة الجانبين الأيمن لكلا الصيغتين لمساحة المثلث:

\ frac (1) (2) ab = \ frac (1) (2) (a + b + c) \ frac (1) (2) (a + b-c)

2 أب = (أ + ب + ج) (أ + ب ج)

2 أب = \ يسار ((أ + ب) ^ (2) -c ^ (2) \ يمين)

2ab = a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 = أ ^ (2) + ب ^ (2) -c ^ (2)

ج ^ (2) = أ ^ (2) + ب ^ (2)

نظرية فيثاغورس المعكوسة:

إذا كان مربع أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين ، فإن المثلث هو مثلث قائم الزاوية. هذا هو ، لأي ثلاثة أرقام موجبة أ ، بو ج، مثل ذلك

أ 2 + ب 2 = ص 2,

هناك مثلث قائم بذاته مع أرجل أو بوالوتر ج.

نظرية فيثاغورس- إحدى النظريات الأساسية للهندسة الإقليدية ، إنشاء العلاقة بين أضلاع المثلث القائم. تم إثبات ذلك من قبل عالم الرياضيات والفيلسوف فيثاغورس.

معنى النظريةمن حيث أنه يمكن استخدامه لإثبات النظريات الأخرى وحل المشكلات.

مواد اضافية:

هناك شيء واحد يمكنك التأكد منه بنسبة مائة بالمائة ، وهو أنه عند السؤال عن مربع الوتر ، فإن أي شخص بالغ سيجيب بجرأة: "مجموع مربعات الأرجل". هذه النظرية مغروسة بقوة في أذهان كل شخص متعلم ، لكن يكفي أن نطلب من شخص ما إثباتها ، ومن ثم يمكن أن تنشأ الصعوبات. لذلك دعونا نتذكر ونفكر طرق مختلفةدليل على نظرية فيثاغورس.

لمحة موجزة عن السيرة الذاتية

نظرية فيثاغورس مألوفة للجميع تقريبًا ، ولكن لسبب ما ، لا تحظى سيرة الشخص الذي أنتجها بشعبية كبيرة. سنقوم بإصلاحه. لذلك ، قبل دراسة الطرق المختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس ، تحتاج إلى التعرف بإيجاز على شخصيته.

فيثاغورس - فيلسوف وعالم رياضيات ومفكر من اليوم ، من الصعب جدًا التمييز بين سيرته الذاتية والأساطير التي تطورت في ذكرى هذا الرجل العظيم. ولكن كما يلي من كتابات أتباعه ، ولد فيثاغورس الساموسي في جزيرة ساموس. كان والده قاطع أحجار عادي ، لكن والدته كانت من عائلة نبيلة.

وفقًا للأسطورة ، تم التنبؤ بميلاد فيثاغورس من قبل امرأة تدعى Pythia ، تم تسمية الصبي على شرفها. وفقًا لتنبؤاتها ، كان على الولد المولود أن يجلب الكثير من الفوائد والخير للبشرية. وهو ما فعله بالفعل.

ولادة نظرية

في شبابه ، انتقل فيثاغورس إلى مصر للقاء الحكماء المصريين المشهورين هناك. بعد لقائه بهم ، تم قبوله للدراسة ، حيث تعلم كل الإنجازات العظيمة للفلسفة والرياضيات والطب المصري.

ربما كان فيثاغورس مستوحى من عظمة وجمال الأهرامات في مصر وخلق نظريته العظيمة. قد يصدم هذا القراء ، لكن المؤرخين المعاصرين يعتقدون أن فيثاغورس لم يثبت نظريته. لكنه نقل معرفته فقط إلى أتباعه ، الذين أكملوا لاحقًا جميع الحسابات الرياضية اللازمة.

مهما كان الأمر ، لا يُعرف اليوم أسلوب واحد لإثبات هذه النظرية ، ولكن العديد منها في وقت واحد. اليوم يمكننا فقط أن نخمن كيف أجرى الإغريق القدماء حساباتهم بالضبط ، لذلك سننظر هنا في طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس

قبل أن تبدأ في أي حسابات ، تحتاج إلى معرفة النظرية التي يجب إثباتها. تبدو نظرية فيثاغورس كما يلي: "في المثلث الذي تكون فيه إحدى زواياه 90 o ، يكون مجموع مربعات الساقين مساويًا لمربع الوتر."

هناك 15 طريقة مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس في المجمل. هذا رقم كبير إلى حد ما ، لذلك دعونا ننتبه إلى أكثرها شهرة.

الطريقة الأولى

لنحدد أولاً ما لدينا. ستنطبق هذه البيانات أيضًا على طرق أخرى لإثبات نظرية فيثاغورس ، لذلك يجب أن تتذكر على الفور جميع الرموز المتاحة.

لنفترض أن مثلث قائم الزاوية موجود ، حيث تساوي الأرجل أ ، ب ، وتر المثلث ج. تعتمد الطريقة الأولى في الإثبات على حقيقة أنه يجب رسم مربع من مثلث قائم الزاوية.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى رسم قطعة مساوية للساق في طول الساق أ ، والعكس صحيح. لذلك يجب أن يتحول إلى جانبين متساويين من المربع. يبقى فقط لرسم خطين متوازيين ، والمربع جاهز.

داخل الشكل الناتج ، تحتاج إلى رسم مربع آخر له جانب يساوي وتر المثلث الأصلي. للقيام بذلك ، من الرؤوس ac و sv ، تحتاج إلى رسم جزأين متوازيين يساوي c. وهكذا ، نحصل على ثلاثة جوانب من المربع ، أحدها هو وتر المثلث القائم الزاوية الأصلي. يبقى فقط لرسم الجزء الرابع.

بناءً على الشكل الناتج ، يمكننا أن نستنتج أن مساحة المربع الخارجي هي (أ + ب) 2. إذا نظرت داخل الشكل ، يمكنك أن ترى أنه بالإضافة إلى المربع الداخلي ، يحتوي على أربعة مثلثات قائمة الزاوية. مساحة كل منها 0.5 av.

لذلك ، فإن المنطقة هي: 4 * 0.5av + s 2 \ u003d 2av + s 2

ومن ثم (أ + ج) 2 \ u003d 2av + ج 2

وبالتالي ، مع 2 \ u003d a 2 + في 2

لقد تم إثبات النظرية.

الطريقة الثانية: مثلثات متشابهة

تم اشتقاق هذه الصيغة لإثبات نظرية فيثاغورس على أساس بيان من قسم الهندسة حول المثلثات المتشابهة. تقول أن ضلع المثلث القائم هو المتوسط ​​المتناسب مع الوتر والجزء الوتر المنبثق من رأس الزاوية 90 o.

تظل البيانات الأولية كما هي ، لذلك لنبدأ على الفور بالإثبات. لنرسم قطعة CD متعامدة على الضلع AB. بناءً على البيان أعلاه ، فإن أرجل المثلثات متساوية:

AC = √AB * AD ، SW = √AB * DV.

للإجابة على السؤال الخاص بكيفية إثبات نظرية فيثاغورس ، يجب تقديم الدليل بتربيع كلا المتراجحتين.

AC 2 \ u003d AB * HELL و SV 2 \ u003d AB * DV

الآن علينا إضافة المتباينات الناتجة.

AC 2 + SV 2 \ u003d AB * (AD * DV) ، حيث AD + DV \ u003d AB

لقد أتضح أن:

AC 2 + CB 2 \ u003d AB * AB

وبالتالي:

AC 2 + CB 2 \ u003d AB 2

إثبات نظرية فيثاغورس و طرق مختلفةتتطلب حلولها مقاربة متعددة الأوجه لهذه المشكلة. ومع ذلك ، فإن هذا الخيار هو أحد أبسط الخيارات.

طريقة حساب أخرى

قد لا يقول وصف الطرق المختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس أي شيء ، حتى تبدأ في التدرب بنفسك. لا تتضمن العديد من الطرق الحسابات الرياضية فحسب ، بل تتضمن أيضًا تكوين أشكال جديدة من المثلث الأصلي.

في هذه الحالة ، من الضروري إكمال مثلث VSD آخر بزاوية قائمة من ساق الطائرة. وهكذا ، يوجد الآن مثلثين مع ضلع مشترك BC.

مع العلم أن المساحات ذات الأشكال المتشابهة لها نسبة المربعات ذات الأبعاد الخطية المتشابهة ، إذن:

S avs * s 2 - S avd * في 2 \ u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (من 2 إلى 2) \ u003d a 2 * (S avd -S vvd)

من 2 إلى 2 \ u003d أ 2

ج 2 \ u003d أ 2 + في 2

نظرًا لأن هذا الخيار غير مناسب تقريبًا من بين طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس للصف الثامن ، يمكنك استخدام التقنية التالية.

أسهل طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس. المراجعات

يعتقد المؤرخون أن هذه الطريقة قد استخدمت لأول مرة لإثبات النظرية مرة أخرى اليونان القديمة. إنه أبسط ، لأنه لا يتطلب أي حسابات على الإطلاق. إذا قمت برسم صورة بشكل صحيح ، فسيكون دليل البيان على أن 2 + b 2 \ u003d c 2 سيكون مرئيًا بوضوح.

ستكون شروط هذه الطريقة مختلفة قليلاً عن سابقتها. لإثبات هذه النظرية ، افترض أن المثلث القائم الزاوية ABC متساوي الساقين.

نأخذ الوتر AC على أنه ضلع من المربع ونرسم أضلاعه الثلاثة. بالإضافة إلى ذلك ، من الضروري رسم خطين قطريين في المربع الناتج. بحيث تحصل بداخلها على أربعة مثلثات متساوية الساقين.

بالنسبة للأرجل AB و CB ، تحتاج أيضًا إلى رسم مربع ورسم خط قطري واحد في كل منهما. نرسم الخط الأول من الرأس A ، والثاني - من C.

أنت الآن بحاجة إلى إلقاء نظرة فاحصة على الرسم الناتج. نظرًا لوجود أربعة مثلثات على الوتر AC ، تساوي المثلث الأصلي ، واثنان على الساقين ، فهذا يدل على صحة هذه النظرية.

بالمناسبة ، بفضل هذه الطريقة لإثبات نظرية فيثاغورس ، ولدت العبارة الشهيرة: "سروال فيثاغورس متساوٍ في كل الاتجاهات."

دليل من قبل J.Garfield

جيمس جارفيلد هو الرئيس العشرين للولايات المتحدة الأمريكية. بالإضافة إلى ترك بصماته على التاريخ كحاكم للولايات المتحدة ، فقد كان أيضًا موهوبًا علم نفسه بنفسه.

في بداية حياته المهنية ، كان مدرسًا عاديًا في مدرسة شعبية ، لكنه سرعان ما أصبح مديرًا لإحدى المدارس العليا المؤسسات التعليمية. الرغبة في تطوير الذات وسمحت له بتقديم نظرية جديدة لإثبات نظرية فيثاغورس. النظرية ومثال على حلها على النحو التالي.

تحتاج أولاً إلى رسم مثلثين قائم الزاوية على قطعة من الورق بحيث تكون ضلع أحدهما استمرارًا للثاني. يجب أن تكون رؤوس هذه المثلثات متصلة لتنتهي بشبه منحرف.

كما تعلم ، مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب نصف مجموع قاعدته وارتفاعه.

S = أ + ب / 2 * (أ + ب)

إذا أخذنا في الاعتبار أن شبه المنحرف الناتج هو شكل يتكون من ثلاثة مثلثات ، فيمكن العثور على مساحته على النحو التالي:

S \ u003d av / 2 * 2 + s 2/2

الآن علينا معادلة المقدارين الأصليين

2av / 2 + s / 2 \ u003d (أ + ج) 2/2

ج 2 \ u003d أ 2 + في 2

يمكن كتابة أكثر من مجلد من كتاب مدرسي حول نظرية فيثاغورس وكيفية إثباتها. ولكن هل من المنطقي عدم إمكانية تطبيق هذه المعرفة؟

التطبيق العملي لنظرية فيثاغورس

لسوء الحظ ، في الحديث البرامج المدرسيةيتم توفير استخدام هذه النظرية فقط في المسائل الهندسية. الخريجين سيغادرون قريبا جدران المدرسةدون معرفة كيف يمكنهم تطبيق معارفهم ومهاراتهم في الممارسة.

في الواقع ، يمكن للجميع استخدام نظرية فيثاغورس في حياتهم اليومية. وليس فقط في النشاط المهنيولكن أيضًا في الأعمال المنزلية العادية. لنأخذ في الاعتبار عدة حالات يمكن أن تكون فيها نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها ضرورية للغاية.

ربط النظرية وعلم الفلك

يبدو كيف يمكن ربط النجوم والمثلثات على الورق. في الواقع ، علم الفلك هو مجال علمي تستخدم فيه نظرية فيثاغورس على نطاق واسع.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك حركة شعاع الضوء في الفضاء. نعلم أن الضوء ينتقل في كلا الاتجاهين بنفس السرعة. نسمي المسار AB الذي يتحرك على طوله شعاع الضوء ل. ونصف الوقت الذي يستغرقه الضوء للانتقال من النقطة أ إلى النقطة ب ، دعنا نسميها ر. وسرعة الشعاع - ج. لقد أتضح أن: ج * ر = ل

إذا نظرت إلى هذا الشعاع نفسه من مستوى آخر ، على سبيل المثال ، من خط فضاء يتحرك بسرعة v ، فعند هذه الملاحظة للأجسام ، ستتغير سرعتها. في هذه الحالة ، حتى العناصر الثابتة ستتحرك بسرعة v في الاتجاه المعاكس.

لنفترض أن الخط الهزلي يبحر إلى اليمين. ثم تنتقل النقطتان A و B ، حيث يندفع الشعاع بينهما ، إلى اليسار. علاوة على ذلك ، عندما يتحرك الشعاع من النقطة A إلى النقطة B ، فإن النقطة A لديها وقت للتحرك ، وبناءً عليه ، سيصل الضوء بالفعل إلى نقطة جديدة C. لإيجاد نصف المسافة التي انقلبت فيها النقطة A ، تحتاج إلى ضرب سرعة البطانة بمقدار نصف زمن انتقال الحزمة (t ").

ومن أجل معرفة المدى الذي يمكن أن يقطعه شعاع الضوء خلال هذا الوقت ، تحتاج إلى تحديد نصف مسار خشب الزان الجديد والحصول على التعبير التالي:

إذا تخيلنا أن نقطتي الضوء C و B ، وكذلك خط الفضاء ، هي رؤوس مثلث متساوي الساقين ، فإن المقطع من النقطة A إلى الخط المستقيم سيقسمه إلى مثلثين قائم الزاوية. لذلك ، بفضل نظرية فيثاغورس ، يمكنك إيجاد المسافة التي يمكن أن يقطعها شعاع الضوء.

هذا المثال ، بالطبع ، ليس هو الأكثر نجاحًا ، لأن القليل منهم فقط يمكن أن يكون محظوظًا بما يكفي لتجربته في الممارسة العملية. لذلك ، فإننا نعتبر المزيد من التطبيقات الدنيوية لهذه النظرية.

نطاق نقل إشارة المحمول

لم يعد من الممكن تخيل الحياة العصرية بدون وجود الهواتف الذكية. ولكن ما مدى نفعهم إذا لم يتمكنوا من توصيل المشتركين عبر اتصالات الجوال ؟!

تعتمد جودة الاتصالات المتنقلة بشكل مباشر على الارتفاع الذي يقع عنده هوائي مشغل الهاتف المحمول. من أجل حساب المسافة التي يمكن أن يستقبلها الهاتف للإشارة من برج جوّال ، يمكنك تطبيق نظرية فيثاغورس.

لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد الارتفاع التقريبي لبرج ثابت حتى يتمكن من نشر إشارة داخل دائرة نصف قطرها 200 كيلومتر.

AB (ارتفاع البرج) = x ؛

BC (نصف قطر إرسال الإشارة) = 200 كم ؛

OS (نصف قطر الكرة الأرضية) = 6380 كم ؛

OB = OA + ABOB = r + x

بتطبيق نظرية فيثاغورس ، وجدنا أن الحد الأدنى لارتفاع البرج يجب أن يكون 2.3 كيلومتر.

نظرية فيثاغورس في الحياة اليومية

من الغريب أن نظرية فيثاغورس يمكن أن تكون مفيدة حتى في الأمور اليومية ، مثل تحديد ارتفاع خزانة ، على سبيل المثال. للوهلة الأولى ، ليست هناك حاجة لاستخدام مثل هذه الحسابات المعقدة ، لأنه يمكنك ببساطة إجراء قياسات باستخدام شريط قياس. لكن يتفاجأ الكثيرون من سبب ظهور بعض المشكلات أثناء عملية التجميع إذا تم إجراء جميع القياسات بدقة أكبر.

الحقيقة هي أن خزانة الملابس يتم تجميعها في وضع أفقي وعندها فقط ترتفع ويتم تثبيتها على الحائط. لذلك ، يجب أن يمر الجدار الجانبي للخزانة في عملية رفع الهيكل بحرية على طول ارتفاع الغرفة وقطرها.

لنفترض وجود خزانة ملابس بعمق 800 مم. المسافة من الأرض إلى السقف - 2600 مم. سيقول صانع أثاث متمرس أن ارتفاع الخزانة يجب أن يكون 126 مم أقل من ارتفاع الغرفة. لكن لماذا بالضبط 126 مم؟ لنلقي نظرة على مثال.

بالأبعاد المثالية للخزانة ، دعنا نتحقق من عمل نظرية فيثاغورس:

AC \ u003d √AB 2 + √BC 2

AC \ u003d √ 2474 2 +800 2 \ u003d 2600 مم - كل شيء يتقارب.

لنفترض أن ارتفاع الخزانة ليس 2474 مم ، بل 2505 مم. ثم:

AC \ u003d √2505 2 + √800 2 \ u003d 2629 مم.

لذلك ، هذه الخزانة غير مناسبة للتركيب في هذه الغرفة. لأنه عند رفعه إلى وضع عمودي ، يمكن أن يحدث ضرر لجسمه.

ربما ، بعد النظر في طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس من قبل علماء مختلفين ، يمكننا أن نستنتج أنها أكثر من صحيحة. يمكنك الآن استخدام المعلومات الواردة في حياتك اليومية والتأكد تمامًا من أن جميع الحسابات لن تكون مفيدة فحسب ، بل ستكون صحيحة أيضًا.